Bài viết Các dạng bài tập về hàm số và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.
Các dạng bài tập về hàm số và cách giải bài tập
(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST
I. Lý thuyết
1. Khái niệm hàm số
– Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị của y thì y được gọi là hàm số của x, x là biến số. Ta viết:
y = f(x); y = g(x)…
Ví dụ: y = 2x + 4; y = -3x + 5 là hàm số của y theo x.
Chú ý: Khi x thay đổi mà y không thay đổi thì hàm số y = f(x) là hàm hằng.
2. Điều kiện xác định của hàm số
Điều kiện xác định của hàm số y = f(x) là tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa.
3. Giá trị của hàm số
Giá trị của hàm số f(x) tại điểm x0 là y0=fx0.
4. Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho x, y thỏa mãn y = f(x).
5. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là ℝ.
– Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên ℝ.
– Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên ℝ.
– Nếu x1<x2 và fx1<fx2 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên ℝ.
– Nếu x1<x2 và fx1>fx2 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên ℝ.
Để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số ta xét dấu của T, với T=fx2−fx1x2−x1 và x1,x2∈ℝ
Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên ℝ.
Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên ℝ.
II. Các dạng bài và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số
Phương pháp giải: Chú ý đến một số biểu thức có điều kiện đặc biệt như căn, phân thức.
Hàm số dạng căn thức y=P(x) có nghĩa khi P(x)≥0
Hàm số dạng phân thức y=AxBx có nghĩa khi Bx≠0
Hàm số dạng phân thức y=AxBx có nghĩa khi Bx>0.
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau
a) y=2x−13x−5
b) y=2x+1+1x+2
c) y=1+3−xx+3.
Lời giải:
a) Hàm số y=2x−13x−5 xác định khi và chỉ khi
3x−5≠0
⇔3x≠5
⇔x≠5:3
⇔x≠53
Vậy điều kiện xác định của hàm số là x≠53.
b) Hàm số y=2x+1+1x+2 xác định khi và chỉ khi
2x+1≥0x+2≠0
⇔2x≥−1x≠−2
⇔x≥−1:2x≠−2
⇔x≥−12x≠−2
⇒x≥−12
Vậy điều kiện xác định của hàm số là x≥−12.
c) Hàm số y=1+3−xx+3 xác định khi và chỉ khi:
3−x≥0x+3≠0
⇔−x≥−3x≠−3
⇔x≤3x≠−3
Vậy điều kiện xác định của hàm số là x≤3 và x≠−3.
Dạng 2: Tính giá trị hàm số tại một điểm
Phương pháp giải: Để tính giá trị hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thay x = x0 vào y = f(x) được y0=fx0
Ví dụ 1: Tính giá trị hàm số
a) y = f(x) = x3+3x−2 tại x0= 1
b) y = f(x) = 3x+1 tại x0=2.
Lời giải:
a) y = f(x) = x3+3x−2
Thay x = x0 = 1 vào hàm số ta được:
f1=13+3.1−2 = 1 + 3 – 2 = 2
Vậy với x0 = 1 thì giá trị hàm số là 2.
b) y = f(x) = 3x+1
Thay x = x0=2 vào hàm số ta được:
f2=3.2+1=7
Vậy với x0=2 thì giá trị hàm số là 7.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = f(x) = 3x+1+mx2−2x+3 có f(3) = f(-1) với m là tham số.
Lời giải:
Thay x = 3 ta có:
f3=33+1+m.32−2.3+3
⇔f3=6+9m−6+3
⇔f3=9m+3
Thay x = -1 ta có:
f−1=3−1+1+m.−12−2.−1+3
⇔f−1=0+m+2+3
⇔f−1=m+5
Vì f(3) = f(-1) nên ta có:
9m + 3 = m + 5
⇔9m – m = 5 – 3
⇔8m = 2
⇔m = 2 : 8
⇔m = 14
Vậy m = 14 thì f(3) = f(-1).
Dạng 3: Biểu diễn tọa độ một điểm trên hệ trục tọa độ Oxy
Phương pháp giải: Biểu diễn điểm Mx0;y0
Bước 1: Xác định x0 sau đó vẽ một đường thẳng song song với Oy đi qua x0
Bước 2: Xác định y0 sau đó vẽ một đường thẳng song song với Ox đi qua y0
Bước 3: Tọa độ điểm M chính là giao của hai đường thẳng trên.
Ví dụ 1: Biểu diễn các điểm sau trên hệ trục tọa độ:
A2;3; B12;−2; C−3;2
Lời giải:
Ví dụ 2: Trong các điểm M(1; -1); N(2; 0), P(-2; 2) điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=12×2
Lời giải:
– Xét điểm M(1; -1) có x = 1 và y = -1
Thay x = 1 vào hàm số ta được y=12.12=12≠−1
Vậy M không thuộc đồ thị hàm số
– Xét điểm N(2; 0) có x = 2; y = 0
Thay x = 2 vào hàm số ta được y=12.22=12.4=2≠0
Vậy điểm N không thuộc đồ thị hàm số
– Xét điểm P(-2; 2) có x = -2; y = 2
Thay x = -2 vào hàm số ta được y=12.−22=12.4=2
Vậy điểm P thuộc đồ thị hàm số.
Dạng 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp giải: Để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số ta xét dấu của T, với T=fx2−fx1x2−x1 và x1,x2∈ℝ
Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên ℝ.
Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên ℝ.
Ví dụ : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số sau
a) y = f(x) = 3x + 1
b) y = f(x) = -6x – 3.
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là ℝ
Với x1,x2∈ℝ ta có:
fx1=3×1+1
fx2=3×2+1
Xét T=fx2−fx1x2−x1=3×2+1−3×1+1×2−x1
=3×2+1−3×1−1×2−x1=3×2−3x1x2−x1
=3×2−x1x2−x1=3>0
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên ℝ.
b) Tập xác định của hàm số là ℝ
Với x1,x2∈ℝ ta có:
fx1=−6×1−3
fx2=−6×2−3
Xét T=fx2−fx1x2−x1=−6×2−3−−6×1−3×2−x1
=−6×2−3+6×1+3×2−x1=−6×2+6x1x2−x1
=−6×2−x1x2−x1=−6<0
Vậy hàm số đã xét nghịch biến trên ℝ.
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau:
a) y=3x+1
b) y=3x−2x−1
c) y=x+23x−3
d) y=4x+1−2x+1x.
Bài 2: Tính giá trị hàm số
a) y=3x+22x+1 tại x = 5
b) y=4x+1−6x+1x+3 tại x = 0
c) y=x2+2x−13x+3 tại x = 5
d) y=3×3+2x−5 tại x = 2.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x
a) y=m+1x+3
b) y=x2−3x−1mx+5.
Bài 4: Cho các điểm M(-1; 2); N(0; -3); P(4; 2)
a) Biểu diễn các điểm trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Trong các điểm đã cho, điểm nào thuộc hàm số y=2×2+12x−3.
Bài 5: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho ta giác ABC, biết A(2; 5); B(-1; 1); C(3; 1).
a) Vẽ tam giác ABC trên hệ trục tọa độ.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 6: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau
a) y=5x−1
b) y=−12x+3
c) y=23x+3a với a là tham số.
Bài 7: Chứng minh
a) y=2x−5 luôn đồng biến trên ℝ.
b) y=2x+1−3 luôn nghịch biến trên ℝ.
c) y=a2+1.x+3−a luôn đồng biến trên ℝ.
Bài 8: Tìm m để hàm số y=fx=x−1+mx+2 (với m là tham số) thỏa mãn f5−23=f2.
Bài 9: Cho tứ giác ABCD có A(-1; 2); B(-3; 0); C(2; 0); D(2; 2)
a) Vẽ tứ giác ABCD trên hệ trục tọa độ
b) Coi độ dài mỗi đơn vị trên các trục Ox; Oy là 1cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 10: Tìm m để hàm số y=fx=m2+4−mx2−2mx+5 (với m là tham số) thỏa mãn f(0) = f(1).
(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Các bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải bài tập
- Hàm số bậc nhất, cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và cách giải bài tập
- Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau và cách giải bài tập
- Các bài toán về hệ số góc của đường thẳng và cách giải bài tập
- Phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải bài tập
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
