Chuyên đề hệ phương trình Toán 9 là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt cần thiết cho các bạn học sinh chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Trong chuyên đề này, chúng tôi sẽ tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức cần nhớ, các phương pháp giải hệ phương trình lớp 9 (phương pháp thế, phương pháp cộng đại số), kèm theo hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Với cách trình bày rõ ràng, dễ hiểu, chuyên đề sẽ giúp bạn nắm vững bản chất của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, rèn luyện kỹ năng tư duy và phản xạ khi làm bài thi. Đây là tài liệu ôn tập hữu ích dành cho học sinh lớp 9 muốn củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi quan trọng. Hãy cùng bắt đầu hành trình chinh phục hệ phương trình ngay bây giờ!
A. Các phương pháp giải hệ phương trình
Dạng 1: Giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số:
1) Cách giải bằng phương pháp cộng đại số:
Chú ý: Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).
2) Cách giải bằng phương pháp thế:
Lưu ý: Trong trường hợp nếu có một ẩn trong 2 phương trình có hệ số là 1 hoặc -1 ta hãy sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình để tránh phức tạp.
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} (m – 1)x + y = 3m – 4 x + (m – 1)y = m end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x^{2} – 5xy – 4y^{2} = – 3 9y^{2} + 11xy – 8x = 6 end{matrix} right.)
c, (left{ begin{matrix} mx – y = 1 m^{3}x + left( 3m^{2} – 1 right)y = 2 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} |x| + 2|y| = 3 7x + 5y = 2 end{matrix} right.)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 4x + y = 2 8x + 2y = 1 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x – y = 3 3x – 4y = 2 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} 7x – 3y = 5 4x + y = 2 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} 2x + 3y = – 2 3x – 2y = – 3 end{matrix} right.)
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} x + 3y = – 2 5x – 4y = 11 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 3x – 2y = 11 4x – 5y = 3 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} frac{x}{2} – frac{y}{3} = 1 5x – 8y = 3 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} 0,3x + 0,5y = 3 1,5x – 2y = 1,5 end{matrix} right.)
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} x + ysqrt{5} = 0 xsqrt{5} + 3y = 1 – sqrt{5} end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} left( 2 – sqrt{3} right)x – 3y = 2 + 5sqrt{3} 4x + y = 4 – 2sqrt{3} end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} xsqrt{2} – 3y = 1 2x + ysqrt{2} = – 2 end{matrix} right.)
Bài 5: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} x + 3y = 1 left( a^{2} + 1 right)x + 6y = 2a end{matrix} right.) (với a=-1, a=0, a=1)
b, (left{ begin{matrix} left( sqrt{2} – 1 right)x – y = sqrt{2} x + left( sqrt{2} + 1 right)y = 1 end{matrix} right.)
Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 3x – y = 5 5x + 2y = 23 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 3x + 5y = 1 2x – y = – 8 end{matrix} right.)
c, (left{ begin{matrix} xsqrt{2} – ysqrt{3} = 1 x + ysqrt{3} = sqrt{2} end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} – 5x + 2y = 4 6x – 3y = – 7 end{matrix} right.)
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
a, (frac{x}{y} = frac{2}{3}) b, (left{ begin{matrix} x – 2sqrt{2}y = sqrt{5} xsqrt{2} + y = 1 – sqrt{10} end{matrix} right.)
c, (left{ begin{matrix} 2x – y = 1 x + y = 2 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} 2x – 3y = 11 – 4x + 6y = 5 end{matrix} right.)
Bài 8: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 2x + y = 3 x – y = 6 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 2x + 2y = 9 2x – 3y = 4 end{matrix} right.)
c, (left{ begin{matrix} 3x + 2y = 7 2x + 3y = 3 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} 3x – 2y = 10 x – frac{2}{3}y = 3frac{1}{3} end{matrix} right.)
Bài 9: Giải hệ phương trình sau:
a,(left{ begin{matrix} 3x + y = 3 2x – y = 7 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 2x + 5y = 8 2x – 3y = 0 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} 4x + 3y = 6 2x + y = 4 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} 2x – y = 6 3x + 5y = 22 end{matrix} right.)
Bài 10: Giải hệ phương trình sau:
a,(left{ begin{matrix} x – 2y + 6 = 0 5x – 3y – 5 = 0 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 3x + y = 1 9x + 3y = 3 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} 2x – y = 7 3x + 5y + 22 = 0 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} x + 4y = 11 5x – 7y = 1 end{matrix} right.)
Bài 11: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} left( 1 + sqrt{2} right)x + left( 1 – sqrt{2} right)y = 5 3(x – 2) – 2(1 + y) = – 3 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 2(x + y) + 3(x – y) = 4 (x + y) + 2(x – y) = 5 end{matrix} right.)
Bài 12: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 2(x – 2) + 3(1 + y) = – 2 3(x – 2) – 2(1 + y) = – 3 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} (3x – y)(4x – 5y) = 56 (x + y)(4x – 5y) = 28 end{matrix} right.)
Bài 13: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} xsqrt{3} – ysqrt{2} = – 1 xsqrt{3} + y = sqrt{2} end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} left( sqrt{3} – 1 right)x + y = sqrt{2} sqrt{3}x + left( sqrt{2} + 2 right)y = 1 + sqrt{3} end{matrix} right.)
Bài 14: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} (2x – y)(x + 3y) = 4 (5x + y)(x + 3y) = 24 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} (2x + 1)(y – 2) = (x – 3)2y (x – 3)(y + 1) = (x + 1)(y – 2) end{matrix} right.)
Bài 15: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} frac{2x}{3} – frac{y}{2} = 4 x + frac{2y}{5} = 1 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} frac{2x – y}{3} = x + y + 1 x – 3y – 5 = frac{2x – y}{2} end{matrix} right.)
Bài 16: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} (x + 2)^{2} + 3y = (x – 2)^{2} 2x + (2y – 3)^{2} = 4(y – 3)^{2} end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x^{2} + y^{2} – 2xy = 1 2x^{2} + 2y^{2} – 2xy – 3y = 2 end{matrix} right.)
Bài 17: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} xy = 3x – 2y xy = 3y – 2x end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} (x + 3)(y – 2) = – 3 (x + 1)(y – 4) = – 3 end{matrix} right.)
Bài 18: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 2(x + y) = 3x – y + 7 3(x – 2y) = x + y + 8 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 4(2x – y + 3) – 3(x – 2y + 3) = 48 3(3x – 4y + 3) + 4(4x – 2y – 9) = 48 end{matrix} right.)
Bài 19: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 6(x + y) = 8 + 2x – 3y 5(y – x) = 5 + 3x + 2y end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} – 2(2x + 1) + 1,5 = 3(y – 2) – 6x 11,5 – 4(3 – x) = 2y – (5 – x) end{matrix} right.)
Bài 20: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} frac{8x – 5y – 3}{7} + frac{11y – 4x – 7}{5} = 12 frac{9x + 4y – 13}{5} + frac{3(x – 2)}{4} = 15 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} frac{x + 2}{y} = frac{x + 1}{y – 2} frac{5x + 1}{5x – 2} = frac{y – 2}{y + 2} end{matrix} right.)
Bài 21: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 2sqrt{3} – sqrt{5}y = 2sqrt{6} – sqrt{15} 3x – y = 3sqrt{2} – sqrt{3} end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x + 2y = 5sqrt{5} sqrt{5}x + y = 5 + 2sqrt{5} end{matrix} right.)
c, (left{ begin{matrix} x + 2y = – sqrt{7} 2x – sqrt{7}y = 2sqrt{7} + sqrt{7} end{matrix} right.)
Bài 22: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 3x – y = 3sqrt{2} x + sqrt{2}y = 2sqrt{6} + sqrt{6} end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 3(4x – 7y) – 4(x – y) = – 12 5(2x + 3y) – 3(4x – y) = 58 end{matrix} right.)
Bài 23: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} (x – 5)(y – 2) = (x + 2)(y – 1) (x – 4)(y + 7) = (x – 3)(y + 4) end{matrix} right.)
b, (left{ begin{matrix} (2x + 1)(y – 2) = (x – 3)2y (x – 3)(y + 1) = (x + 1)(y – 2) end{matrix} right.)
Bài 24: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} (x + 2)^{2} + 3y = (x – 2)^{2} 2x + (2y – 3)^{2} = 4(y – 3)^{2} end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} frac{x}{2} + frac{y}{3} = 4 frac{x}{4} + frac{y}{2} = – 2 end{matrix} right.)
Bài 25: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4 4(x + 1) – (x + 2y) = 9 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 2x – y = 3 3x + 2y = 8 end{matrix} right.)
Bài 26: Giải các hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 3x + y = 8 7x – 2y = 23 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x – 3y = 5 2x + 3y = 1 end{matrix} right.)
Bài 27: Giải các hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 2x – y = 3 3x + 2y = 1 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x – y = 3 3x + y = 1 end{matrix} right.)
Bài 28: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 4sqrt{x} – 3sqrt{y} = 4 2sqrt{x} + sqrt{y} = 2 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x + 2y = 6 3x – y = 4 end{matrix} right.)
Bài 29: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} x + y = xy – 1 x + 2y = xy + 1 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} frac{2}{x} + y = 3 frac{1}{x} – 2y = 4 end{matrix} right.)
Bài 30: Giải hệ phương trình sau:
A, (left{ begin{matrix} 2x + |y| = 4 4x – 3y = 1 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} (x + 3)(y + 2) = 7 + xy (x + 1)(y + 1) = xy + 2 end{matrix} right.)
Trắc nghiệm kiểm tra kiến thức
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 3: Giải hệ phương trình ba ẩn
Dạng 4: Giải và biện luận hệ phương trình:
Dạng 5: Các bài toán có liên quan
Dạng 6: Hệ phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 7: Hệ phương trình đối xứng loại I
Dạng 8 : Hệ phương trình đối xứng loại II
Dạng 9 : Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
B. Bài tập giải hệ phương trình có hướng dẫn
Dạng 1: Giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số:
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} (m – 1)x + y = 3m – 4 x + (m – 1)y = m end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x^{2} – 5xy – 4y^{2} = – 3 9y^{2} + 11xy – 8x = 6 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} mx – y = 1 m^{3}x + left( 3m^{2} – 1 right)y = 2 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} |x| + 2|y| = 3 7x + 5y = 2 end{matrix} right.)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
c, (left{ begin{matrix} 7x – 3y = 5 4x + y = 2 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} 2x + 3y = – 2 3x – 2y = – 3 end{matrix} right.) a, (left{ begin{matrix} 4x + y = 2 8x + 2y = 1 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x – y = 3 3x – 4y = 2 end{matrix} right.)
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} x + 3y = – 2 5x – 4y = 11 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 3x – 2y = 11 4x – 5y = 3 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} frac{x}{2} – frac{y}{3} = 1 5x – 8y = 3 end{matrix} right.) d, (left{ begin{matrix} 0,3x + 0,5y = 3 1,5x – 2y = 1,5 end{matrix} right.)
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} sqrt{x – 1} – 3sqrt{y + 2} = 2 2sqrt{x – 1} + 5sqrt{y + 2} = 15 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} (x + 3)^{2} – 3y^{3} = 6 3(x + 3)^{2} + 5y^{3} = 7 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} frac{2x – 1}{x} + frac{y – 1}{y + 1} = 3 frac{2x – 1}{2x} + frac{3y – 3}{y + 1} = 2 end{matrix} right.)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} frac{2}{x + 3} – frac{5}{y – 2} = 1 frac{x + 4}{x + 3} + frac{y}{y – 2} = 2 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} frac{2x + 1}{x + 1} + frac{y – 1}{y + 1} = 3 frac{4x – 2}{x + 1} – frac{3y – 3}{y + 1} = – 4 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} x^{2} + frac{1}{y} = 5 2x^{2} – frac{3}{y} = 5 end{matrix} right.)
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 2x^{2} + frac{1}{x – y} = 3 3x^{2} – frac{5}{x – y} + 2 = 0 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} frac{2x – y}{x + y} + frac{x – y}{2x + y} = 8 frac{2x – y}{x + y} – frac{x – y}{2x + y} = 4 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} frac{2}{x + 1} – frac{3}{y + 2} = 0 frac{2x + 4}{x + 1} + frac{5y – 2}{y + 2} = 4 end{matrix} right.)
Dạng 3: Giải hệ phương trình ba ẩn
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 2x – y = 8 3x – z = 10 x + 2y + 3z = 10 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x – 2y = 5 x + 3z = – 8 x + y + z = 3 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} x + y + z = 6 2x – y + 3z = 9 x + z = 4 end{matrix} right.)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} x – y – 3z = – 4 x + y – z = 0 x – y + 2z = 6 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 2x + 3y – z = 11 x – y + 2z = – 7 x – y = 3 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} 3x + y – z = 1 x + 5y + z = 4 4x + 2y – 3z = 5 end{matrix} right.)
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} x + 2y + 3z = 11 3x + y + 2z = 3 2x + 3y + z = – 2 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 2x + y = 7 x – y + 2z = 7 z – 3y = – 5 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} x + y – z = 1 2x + y + z = 3 end{matrix} right.)
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} frac{xy}{x + y} = frac{2}{3} frac{yz}{y + z} = frac{3}{2} frac{xz}{x + z} = frac{6}{7} end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} frac{x + y}{xyz} = frac{1}{2} frac{y + z}{xyz} = frac{5}{6} frac{x + z}{xyz} = frac{2}{3} end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} frac{1}{x + 1} + frac{2}{y + 2} + frac{3}{y + 3} = 10 frac{2}{x + 1} + frac{3}{y + 2} + frac{1}{y + 3} = 13 frac{3}{x + 1} + frac{1}{y + 2} + frac{2}{y + 3} = 13 end{matrix} right.)
Hướng dẫn
a, Nếu x = y = z = 0 không phải là nghiệm của hệ, đảo ngược :
Bài 5: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} frac{x + y}{xy} = frac{5}{6} frac{y + z}{yz} = frac{2}{3} frac{x + z}{xz} = frac{1}{2} end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} frac{xy}{x + y} = frac{6}{5} frac{yz}{y + z} = frac{4}{3} frac{zx}{z + x} = frac{12}{7} end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} 6xy = 5(x + y) 3yz = 2(y + z) 7zx = 10(z + x) end{matrix} right.)
Hướng dẫn
c, Dễ thấy x=y=z=0 là 1 nghiệm của hệ, Với (x,y,z neq 0) khi đó (6xy = 5(x + y) Leftrightarrow frac{x + y}{xy} = frac{6}{5}).
Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} xy – x – y = 5 yz – y – z = 11 zx – z – x = 7 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x(y – z) = – 4 y(z – x) = 9 z(x + y) = 1 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} 3x^{2} + xz – yz + y^{2} = 2 y^{2} + xy – yz + z^{2} = 0 x^{2} – xy – xz – z^{2} = 2 end{matrix} right.)
Hướng dẫn
a, Phân tích các phương trình thành nhân tử: (xy – x – y = 5 Leftrightarrow (x – 1)(y – 1) = 6)
b, Cộng ba vế của pt ta được: 2yz = 6 => yz = 3
Cộng (1) với (2) rồi trừ cho (3) ta được: xz = – 2
Cộng (1) với (3) rồi trừ cho (2) ta được: xy = – 6
c, Lấy (1) + (2) – (3) ta được: ((x + y)^{2} + (y – z)^{2} + (x + z)^{2} = 0 = > x = – y = – z)
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
a, (left{ begin{matrix} 2x – y + z = 12 3x + 4y – 5z = – 17 8x – 6y – 3z = 42 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x + 2y + 3z = 11 3x + y + 2z = 3 2x + 3y + z = – 2 end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} (x + y)(y + z) = 187 (y + z)(z + x) = 154 (z + x)(x + y) = 238 end{matrix} right.)
Dạng 4: Giải biện luận hệ phương trình
Bài 1: Cho hệ phương trình: (left{ begin{matrix} mx + 4y = m + 2 x + my = m end{matrix} right.)
a, Giải hệ phương trình khi m=1
b, Giải và biện luận hệ phương trình
c, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x,y nguyên
Bài 2: Cho hệ phương trình: (left{ begin{matrix} (m – 1)x + y = 3m – 4 x + (m – 1)y = m end{matrix} right.)
a, Giải hệ khi m=-1
b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x+y=3
Bài 3: Cho hệ phương trình: (left{ begin{matrix} (2m + 1)x + y = 2m – 2 m^{2}x – y = m^{2} – 3m end{matrix} right.)
Trong đó m nguyên và (m neq – 1), Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên
Hướng dẫn
Với (m neq – 1) thì (x = frac{m – 2}{m + 1},y = frac{3m}{m + 1}) tìm m để x,y nguyên.
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của a để các hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất
a, (left{ begin{matrix} 3x – 2y = 6 ax + y = – 3 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x – (a – 2)y = a + 2 ax + y = a + 2 end{matrix} right.)
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của a để các hệ phương trình sau có vô số nghiệm:
a, (left{ begin{matrix} 3x + ay = 3 ax + 3y = 3 end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} (a + 1)x + 8y = 4a ax + (a + 3)y = 3a – 1 end{matrix} right.)
Hướng dẫn
b, Nếu a=0 => hệ có 1 nghiệm (loại)
Nếu a= -1 hệ (Leftrightarrow left{ begin{matrix} a(a + 1)x + 8ay = 4a^{2} a(a + 1)x + (a + 1)(a + 3)y = (3a – 1)(a + 1) end{matrix} right.)=>(- (a – 1)(a – 3)y = (a – 1)^{2})
Với a=-1 thì hệ vô số nghiệm
Với a (neq)-1 thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của b để các hệ phương trình sau vô nghiệm:
a, (left{ begin{matrix} – 4x + by = 1 + b (6 + b)x + 2y = 3 + b end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x + by = 1 bx – 3by = 2b + 3 end{matrix} right.)
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị của m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a, (left{ begin{matrix} 2x + 3y = 5 x – y = 2 x + 4y = m end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x + 2y = 3 mx – 4y = – 6 x + y = 1 end{matrix} right.)
Hướng dẫn giải
a. Ta đi giải hệ (left{ begin{matrix} 2x + 3y = 5 x – y = 2 end{matrix} right. = > left{ begin{matrix} x = 11/5 y = 1/5 end{matrix} right.)
Để hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm (x;y) cũng là nghiệm của phương trình (3)
Bài 8: Cho hệ phương trình: (left{ begin{matrix} (m – 1)x – my = 3m – 1 2x – y = m + 5 end{matrix} right.)
a, Giải hệ khi m=2
b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn: (S = x^{2} + y^{2})đặt gái trị nhỏ nhất
Hướng dẫn
b, Từ ((2) = > y = 2x – m – 5 = > (m + 1)x = (m + 1)^{2}), Điều kiện hệ có nghiệm là m # -1
=> x = m+1, y = m – 3 => (S = (m + 1)^{2} + (m – 3)^{2} = 2m^{2} – 4m + 10)
Bài 9: Cho hệ phương trình: (left{ begin{matrix} x + my = 2 mx – 2y = 1 end{matrix} right.)
a, Giải hệ phương trình khi m=2
b, Tìm tất cả các giá trị của m nguyên để pt có nghiệm duy nhất t/m x>0, y<0
c, Tìm số m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất cũng là các số nguyên
Bài 10: Cho hệ phương trình: (left{ begin{matrix} mx + 4y = m + 2 x + my = m end{matrix} right.)
a, Giải hệ phương trình khi m=1
b, Giải và biện luận hệ phương trình
c, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x,y nguyên
Bài 11: Cho hệ phương trình: (left{ begin{matrix} (m – 1)x + y = 3m – 4 x + (m – 1)y = m end{matrix} right.)
a, Giải hệ khi m=-1
b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x+y=3
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
–
Trên đây là toàn bộ nội dung chuyên đề hệ phương trình Toán 9, bao gồm phần lý thuyết cô đọng, các dạng bài tập thường gặp trong đề thi và hướng dẫn giải chi tiết. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh lớp 9 học tốt môn Toán, đặc biệt là trong giai đoạn ôn thi vào lớp 10 đầy áp lực.
Để học tốt phần giải hệ phương trình lớp 9, bạn nên luyện tập thường xuyên, ghi nhớ các bước giải và rút ra phương pháp phù hợp với từng dạng bài. Đừng quên theo dõi thêm các chuyên đề Toán lớp 9 khác như: căn bậc hai, phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Vi-et, phương trình đường thẳng… để xây dựng nền tảng vững chắc cho kỳ thi sắp tới.
Chúc các bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả thật tốt trong kỳ thi vào 10!
