Lời giải chi tiết:
Ta có (left{ begin{array}{l}left( {SBI} right) bot left( {ABC{rm{D}}} right)left( {SIC} right) bot left( {ABC{rm{D}}} right)left( {SIB} right) cap left( {SIC} right) = SIend{array} right. Rightarrow SI bot left( {ABC{rm{D}}} right))
Trong (ABCD) kéo dài DI cắt BC tại P, khi đó ta có (DI cap left( {SBC} right) = P).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: (dfrac{{PD}}{{PA}} = dfrac{{CD}}{{AB}} = dfrac{a}{{2a}} = dfrac{1}{2}) ( Rightarrow D) là trung điểm của AP.
( Rightarrow DP = AD = 2a,,,IP = ID + DP = a + 2a = 3a).
(begin{array}{l} Rightarrow dfrac{{DP}}{{IP}} = dfrac{{2a}}{{3a}} = dfrac{2}{3} Rightarrow dfrac{{dleft( {D;left( {SBC} right)} right)}}{{dleft( {I;left( {SBC} right)} right)}} = dfrac{{DP}}{{IP}} = dfrac{2}{3} Rightarrow dleft( {D;left( {SBC} right)} right) = dfrac{2}{3}dleft( {I;left( {SBC} right)} right).end{array})
Trong (ABCD) kẻ (IK bot BC,,left( {K in BC} right)), trong (SIK) kẻ (IH bot SK,,left( {H in SK} right)) ta có:
(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}BC bot SIBC bot IKend{array} right. Rightarrow BC bot left( {SIK} right) Rightarrow BC bot IHleft{ begin{array}{l}IH bot BCIH bot SKend{array} right. Rightarrow IH bot left( {SBC} right) Rightarrow dleft( {I;left( {SBC} right)} right) = IHend{array})
Ta có hình thang ABCD vuông tại A và D có (ID = IA = dfrac{{AD}}{2} = a;) (DC = a;) (AB = 2a).
Áp dụng định lí Pytago ta có:
(begin{array}{l}IC = sqrt {I{D^2} + C{D^2}} = sqrt {{a^2} + {a^2}} = asqrt 2 IB = sqrt {I{A^2} + A{B^2}} = sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = asqrt 5 end{array})
Kẻ (CM bot AB) ta có: AMCD là hình chữ nhật nên (CM = AD = 2a), (MB = AB – AM = 2a – a = a).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BCM có: (BC = sqrt {B{M^2} + C{M^2}} = sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = asqrt 5 ).
Trong (ABCD) kẻ (IK bot BC,,left( {K in BC} right)) ta có:
(begin{array}{l}{S_{BIC}} = dfrac{1}{2}IK.BC = {S_{ABCD}} – {S_{DIC}} – {S_{ABI}},,,,,,,,,, = dfrac{1}{2}.AD.left( {AB + CD} right) – dfrac{1}{2}ID.CD – dfrac{1}{2}IA.AB,,,,,,,,,, = dfrac{1}{2}.2a.left( {2a + a} right) – dfrac{1}{2}.a.a – dfrac{1}{2}.a.2a,,,,,,,,,, = 3{a^2} – dfrac{1}{2}{a^2} – {a^2} = dfrac{{3{a^2}}}{2}end{array})
Lại có
(begin{array}{l}{S_{BIC}} = dfrac{1}{2}IK.BC Rightarrow dfrac{{3{a^2}}}{2} = dfrac{1}{2}.IK.asqrt 5 Rightarrow IK = dfrac{{3asqrt 5 }}{5}.end{array})
Ta có: (left{ begin{array}{l}left( {SBC} right) cap left( {ABCD} right) = BCSK subset left( {SBC} right),,,SK bot BCIK subset left( {ABCD} right),,,IK bot BCend{array} right.) ( Rightarrow angle left( {left( {SBC} right);left( {ABCD} right)} right) = angle left( {SK;IK} right) = angle SKI = {60^0}).
Xét tam giác vuông IHK có: (IH = IK.sin angle SKI = dfrac{{3asqrt 5 }}{5}.dfrac{{sqrt 3 }}{2} = dfrac{{3asqrt {15} }}{{10}}).
Vậy (dleft( {D;left( {SBC} right)} right) = dfrac{2}{3}dleft( {I;left( {SBC} right)} right) = dfrac{2}{3}IH = dfrac{{asqrt {15} }}{5}.)
Chọn A.
