Các dạng bài tập trả lời ngắn về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$int {{x^alpha }dx = frac{{{x^{alpha + 1}}}}{{alpha + 1}}} + C$ với $alpha ne – 1$;
$int {kdx = k} x + C$;
$int {kf(x)dx = k} int {f(x)dx} $;
$int {left( {f(x) + g(x)} right)dx = } int {f(x)dx} + int {g(x)dx} $;
$int {left( {f(x) – g(x)} right)dx = } int {f(x)dx} – int {g(x)dx} $.
Câu 1. Biết $Fleft( x right) = a{x^3} + b{x^2} + cx$là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 3{x^2} + 2x – 6$. Khi đó giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {3{x^2} + 2x – 6} right)dx} = {x^3} + {x^2} – 6x + C$
Vậy $a + b + c = 1 + 1 + ( – 6) = – 4$
Câu 2. Cho hàm số $fleft( x right) = – frac{1}{{{x^6}}} + frac{1}{{{x^7}}}$. Nguyên hàm $Fleft( x right)$ của hàm số $f(x)$ là $Fleft( x right) = frac{1}{{a{x^5}}} + frac{1}{{b{x^6}}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $a + b$.
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( { – frac{1}{{{x^6}}} + frac{1}{{{x^7}}}} right)dx} $
$ = int {left( { – {x^{ – 6}} + {x^{ – 7}}} right)dx} = – frac{{{x^{ – 5}}}}{{ – 5}} + frac{{{x^{ – 6}}}}{{ – 6}} = frac{1}{{5{x^5}}} + frac{1}{{ – 6{x^6}}}$
Vậy $a + b = 5 – 6 = – 1$
Câu 3. Biết $Fleft( x right) = a.frac{1}{{{x^5}}} + b.frac{1}{{{x^6}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = frac{5}{{{x^6}}} + frac{2}{{{x^7}}}$. Khi đó giá trị $a + 12b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {frac{5}{{{x^6}}} + frac{2}{{{x^7}}}} right)dx} $
$ = int {left( {5{x^{ – 6}} + 2{x^{ – 7}}} right)dx} = 5.frac{{{x^{ – 5}}}}{{ – 5}} + 2.frac{{{x^{ – 6}}}}{{ – 6}} + C = – frac{1}{{{x^5}}} – frac{1}{{3{x^6}}}$
Vậy $a + 12b = – 1 + 12.left( { – frac{1}{3}} right) = – 5$
Câu 4. Cho hàm số $fleft( x right) = sqrt x + sqrt[3]{x}$. Nguyên hàm $Fleft( x right)$ của hàm số $f(x)$ là $Fleft( x right) = a.sqrt {{x^3}} + b.sqrt[3]{{{x^4}}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $3a + 4b$.
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {sqrt x + sqrt[3]{x}} right)dx} $
$ = int {left( {{x^{frac{1}{2}}} + {x^{frac{1}{3}}}} right)dx} = frac{{{x^{frac{1}{2} + 1}}}}{{frac{1}{2} + 1}} + frac{{{x^{frac{1}{3} + 1}}}}{{frac{1}{3} + 1}} + C$
$ = frac{{{x^{frac{3}{2}}}}}{{frac{3}{2}}} + frac{{{x^{frac{4}{3}}}}}{{frac{4}{3}}} + C = frac{2}{3}sqrt {{x^3}} + frac{3}{4}sqrt[3]{{{x^4}}} + C$
Vậy $3a + 4b = 2 + 3 = 5$
Câu 5. Tìm nguyên hàm $Fleft( x right)$ của hàm số $fleft( x right) = frac{2}{{sqrt x }} + {3^x} + 3x – 2$ ta được $Fleft( x right) = asqrt x + frac{{{3^x}}}{{ln b}} + c{x^2} + dx + C$. Tính $a + b + 2c + d$.
Lời giải
$int {left( {frac{2}{{sqrt x }} + {3^x} + 3x – 2} right)dx} = 4sqrt x + frac{{{3^x}}}{{ln 3}} + frac{3}{2}{x^2} – 2x + C$
Vậy $a + b + 2c + d = 4 + 3 + 3 + ( – 2) = 8$
Câu 6. Biết $Fleft( x right) = a.sqrt x + b.sqrt[3]{{{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = frac{2}{{sqrt x }} + frac{6}{{sqrt[3]{x}}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {frac{2}{{sqrt x }} + frac{6}{{sqrt[3]{x}}}} right)dx} = int {left( {frac{2}{{{x^{frac{1}{2}}}}} + frac{6}{{{x^{frac{1}{3}}}}}} right)dx} $
$ = int {left( {2{x^{ – frac{1}{2}}} + 6{x^{ – frac{1}{3}}}} right)dx} = 2.frac{{{x^{frac{1}{2}}}}}{{frac{1}{2}}} + 6.frac{{{x^{frac{2}{3}}}}}{{frac{2}{3}}} + C$
$ = 4{x^{frac{1}{2}}} + 9{x^{frac{2}{3}}} + C = 4sqrt x + 9sqrt[3]{{{x^2}}} + C$
Vậy $a + b = 4 + 9 = 13$
Câu 7. Biết $Fleft( x right) = a{x^2} + bx + cln left| x right|$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = frac{{{{left( {3x – 5} right)}^2}}}{x}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {frac{{{{left( {3x – 5} right)}^2}}}{x}} right)dx} = int {left( {frac{{9{x^2} – 30x + 25}}{x}} right)dx} $
$ = int {left( {9x – 30 + frac{{25}}{x}} right)dx} = frac{9}{2}{x^2} – 30x + 25ln left| x right| + C$
Vậy $2a + b + c = 9 – 30 + 25 = 4$.
Câu 8. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 3{x^2} + 4x$ và $F( – 1) = 2025$. Tính $F(1)$.
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {3{x^2} + 4x} right)dx} $
$ = 3.frac{{{x^3}}}{3} + 4.frac{{{x^2}}}{2} + C = {x^3} + 2{x^2} + C$
Theo đề ta có $F( – 1) = 2025$
$ Leftrightarrow {left( { – 1} right)^3} + 2{left( { – 1} right)^2} + C = 2025 Leftrightarrow C = 2024$.
Suy ra, $F(x) = {x^3} + 2{x^2} + C = {x^3} + 2{x^2} + 2024$
Vậy $F(1) = {1^3} + {2.1^2} + 2024 = 2027$
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$int {cosxdx = sin x} + C$; $int {cosleft( {ax + b} right)dx = frac{1}{a}sin left( {ax + b} right)} + C$;
$int {sin xdx = – cosx} + C$; $int {sin left( {ax + b} right)dx = – frac{1}{a}cosxleft( {ax + b} right)} + C$;
$int {frac{1}{{co{s^2}x}}dx = tan x} + C$;
$int {frac{1}{{{{sin }^2}x}}dx = – cot x} + C$;
Câu 9. Biết $Fleft( x right) = asin x + bcosx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5cos x + 7sin x$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {5cos x + 7sin x} right)} dx = 5sin x – 7cosx + C$
Vậy $a + b = 5 – 7 = – 2$
Câu 10. Biết $Fleft( x right) = atan x + bcot x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{3}{{{{cos }^2}x}} + frac{{11}}{{{{sin }^2}x}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {frac{3}{{{{cos }^2}x}} + frac{{11}}{{{{sin }^2}x}}} right)} dx = 3tan x – 11cot x + C$
Vậy $a + b = 3 – 11 = – 8$.
Câu 11. Biết $Fleft( x right) = ax + bsin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2026 – 2{sin ^2}frac{x}{2}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {2026 – 2{{sin }^2}frac{x}{2}} right)} dx = int {left( {2026 – 2.frac{{1 – cos x}}{2}} right)} dx$
$ = int {left( {2026 – left( {1 – cos x} right)} right)} dx = int {left( {2025 + cos x} right)} dx$
$ = 2025x – sin x + C$
Vậy $a + b = 2025 – 1 = 2024$.
Câu 12. Biết $Fleft( x right) = ax + bsin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2025 + 2co{s^2}frac{x}{2}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {2025 + 2co{s^2}xfrac{x}{2}} right)} dx = int {left( {2025 + 2.frac{{1 + cos x}}{2}} right)} dx$
$ = int {left( {2026 + cos x} right)} dx = 2026x + sin x + C$
Vậy $a + b = 2026 + 1 = 2027$.
Câu 13. Biết $Fleft( x right) = acos3x + bsin frac{x}{9}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = sin 3x + cosfrac{x}{9}$. Khi đó giá trị $3a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {sin 3x + cosfrac{x}{9}} right)} dx$
$ = – frac{1}{3}cos3x + frac{1}{{frac{1}{9}}}sin frac{x}{9} + C = – frac{1}{3}cos3x + 9sin frac{x}{9} + C$
Vậy $3a + b = – 1 + 9 = 8$.
Câu 14. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 6sin x – 3cosx$ và $Fleft( {frac{pi }{2}} right) = 2025$. Tính$Fleft( { – frac{pi }{2}} right)$.
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {6sin x – 3cosx} right)dx} = – 6cosx – 3sin x + C$
Theo đề ta có $Fleft( {frac{pi }{2}} right) = 2025 Leftrightarrow – 6cosfrac{pi }{2} – 3sin frac{pi }{2} + C = 2025$
$ Leftrightarrow – 3 + C = 2025 Leftrightarrow C = 2028$.
Suy ra, $F(x) = – 6cosx – 3sin x + C = – 6cosx – 3sin x + 2028$
Vậy $Fleft( { – frac{pi }{2}} right) = – 6cosleft( { – frac{pi }{2}} right) – 3sin left( { – frac{pi }{2}} right) + 2028$
$ = 3 + 2028 = 2031$
Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ
Chú ý:
$int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $int {{e^{ax + b}}dx = frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$int {{a^x}dx = frac{{{a^x}}}{{ln a}}} + C$
Câu 15. Biết $Fleft( x right) = a{e^x} + bx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5{e^x} + 7$. Khi đó giá trị $2a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {5{e^x} + 7} right)} dx$$ = 5{e^x} + 7x + C$
Vậy $2a + b = 2.5 + 7 = 17$.
Câu 16. Biết $Fleft( x right) = a{e^{2x}} + b{e^x} + cx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {left( {{e^x} + 3} right)^2}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {{{left( {{e^x} + 3} right)}^2}} dx = int {left( {{e^{2x}} + 6{e^x} + 9} right)} dx = frac{1}{2}{e^{2x}} + 6{e^x} + 9x + C$
Vậy $2a + b + c = 2.frac{1}{2} + 6 + 9 = 16$.
Câu 17. Biết $Fleft( x right) = a{e^{2x}} + b{e^x} + cx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {left( {3{e^x} – 2} right)^2}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {{{left( {3{e^x} – 2} right)}^2}} dx = int {left( {9{e^{2x}} – 12{e^x} + 4} right)} dx$
$ = frac{9}{2}{e^{2x}} – 12{e^x} + 4x + C$
Vậy $2a + b + c = 2.frac{9}{2} – 12 + 4 = 1$.
Câu 18. Biết $Fleft( x right) = ax + frac{b}{{{e^x}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{{2{e^x} + 3}}{{{e^x}}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {frac{{2{e^x} + 3}}{{{e^x}}}} right)} dx = int {left( {2 + frac{3}{{{e^x}}}} right)} dx$
$ = int {left( {2 + 3.{e^{ – x}}} right)} dx = 2x – 3.{e^{ – x}} + C = 2x – frac{3}{{{e^x}}} + C$
Vậy $a + b = 2 – 3 = – 1$.
Câu 19. Biết $Fleft( x right) = a.frac{{{7^x}}}{{ln 7}} + b.frac{{{2^x}}}{{ln 2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {7^{x + 1}} + {2^{x + 1}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {{7^{x + 1}} + {2^{x + 1}}} right)} dx = int {left( {{{7.7}^x} + {{2.2}^x}} right)} dx$
$ = 7.frac{{{7^x}}}{{ln 7}} + 2.frac{{{2^x}}}{{ln 2}} + C$
Vậy $a + b = 7 + 2 = 9$.
Câu 20. Biết $Fleft( x right) = frac{{{a^x}}}{b}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^x}{.7^x}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {{3^x}{{.7}^x}} right)} dx = int {{{21}^x}} dx = frac{{{{21}^x}}}{{ln 21}} + C$
Vậy $a + b = 21 + 21 = 42$.
Câu 21. Cho hàm số $fleft( x right) = {2^{3x}} + {7^{2x}}$. Nguyên hàm $Fleft( x right)$ của hàm số $f(x)$ là $Fleft( x right) = frac{{{a^x}}}{{bln 2}} + frac{{{m^x}}}{{nln 7}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $a + b + m + n$.
Lời giải
$int {f(x)dx} = int {left( {{2^{3x}} + {7^{2x}}} right)dx} = int {left( {{8^x} + {{49}^x}} right)dx} $
$ = frac{{{8^x}}}{{ln 8}} + frac{{{{49}^x}}}{{ln 49}} + C = frac{{{8^x}}}{{ln 8}} + frac{{{{49}^x}}}{{ln 49}} + C$
$ = frac{{{8^x}}}{{ln {2^3}}} + frac{{{{49}^x}}}{{ln {7^2}}} + C = frac{{{8^x}}}{{3ln 2}} + frac{{{{49}^x}}}{{2ln 7}} + C$
Vậy $a + b + m + n = 8 + 3 + 49 + 2 = 62$
Câu 22. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {e^x} + frac{1}{{ln 2}}$ và $Fleft( {ln 2} right) = 15$. Tính $Fleft( 0 right)$
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {{e^x} + frac{1}{{ln 2}}} right)dx} = {e^x} + frac{1}{{ln 2}}.x + C$
Theo đề ta có $Fleft( {ln 2} right) = 15 Leftrightarrow {e^{ln 2}} – ln 2.frac{1}{{ln 2}} + C = 15$
$ Leftrightarrow 2 – operatorname{l} + C = 15 Leftrightarrow C = 14$
Suy ra, $F(x) = {e^x} + frac{1}{{ln 2}}.x + 14$
Vậy $F(0) = {e^0} + frac{1}{{ln 2}}.0 + 14 = 15$.
Câu 23. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 10{e^x} – 2x$ và $Fleft( {ln 5} right) = 2026$. Tính $Fleft( 0 right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {10{e^x} – 2x} right)dx} = 10{e^x} – {x^2} + C$
Theo đề ta có $Fleft( {ln 5} right) = 2026 Leftrightarrow 10{e^{ln 5}} – {ln ^2}5 + C = 2026$
$ Leftrightarrow 50 – {ln ^2}5 + C = 2026 Leftrightarrow C = 1976 + {ln ^2}5$.
Suy ra, $F(x) = 10{e^x} – {x^2} + 1976 + {ln ^2}5$
Vậy $F(x) = 10{e^0} – {0^2} + 1976 + {ln ^2}5 = 1989$
Câu 24. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 2x + cosx + {e^x}$ và $Fleft( 0 right) = 2026$. Tính $Fleft( 1 right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {2x + cosx + {e^x}} right)dx} = {x^2} + sin x + {e^x} + C$
Theo đề ta có $Fleft( 0 right) = 2026 Leftrightarrow {0^2} + sin 0 + {e^0} + C = 2026$
$ Leftrightarrow 1 + C = 2026 Leftrightarrow C = 2025$
Suy ra, $F(x) = {x^2} + sin x + {e^x} + 2025$
Vậy $F(x) = {1^2} + sin 1 + {e^1} + 2025 = 2030$
Câu 25. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {left( {sin x – cosx} right)^2} + sin 2x + frac{3}{x} + {7^x}$ và $Fleft( {{e^3}} right) = 5$. Tính $Fleft( 1 right)$ (làm tròn đến hàng phần chục)
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left[ {{{left( {sin x – cosx} right)}^2} + sin 2x + frac{3}{x} + {7^x}} right]dx} $
$ = int {left[ {{{sin }^2}x – 2sin xcos x + co{s^2}x + sin 2x + frac{3}{x} + 7} right]dx} $
$ = int {left[ {1 – sin 2x + sin 2x + frac{3}{x} + 7} right]dx} $
$ = int {left[ {8 + frac{3}{x}} right]dx = 8x + 3ln left| x right| + C} $
Theo đề ta có $Fleft( {{e^3}} right) = 5 Leftrightarrow 8{e^3} + 3ln left| {{e^3}} right| + C = 5$
$ Leftrightarrow 8{e^3} + 9 + C = 5 Leftrightarrow C = – 4 – 8{e^3}$
Suy ra, $F(x) = 8x + 3ln left| x right| – 4 – 8{e^3}$
Vậy $F(1) = 8.1 + 3ln left| 1 right| – 4 – 8{e^3} = 4 – 8{e^3} = – 156,7$.
