I. Công thức nhị thức Niu – Tơn
1. Công thức nhị thức Niu – Tơn
Với (a, b) là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên (n ≥ 1), ta có:
({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … +)
(C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}(1))
Ví dụ:
Viết khai triển ({left( {a + b} right)^5}).
Hướng dẫn:
Ta có:
({left( {a + b} right)^5})
( = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2}) ( + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5})
( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2}) ( + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^5} + {b^5})
2. Quy ước
Với (a) là số thực khác (0) và (n) là số tự nhiên khác (0), ta quy ước:
(a^0 = 1); (a^{-n}= {1 over {{a^n}}}).
3. Chú ý
Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện (a) và (b) đều khác (0), có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:
({left( {a + b} right)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k} = sumlimits_{k = 0}^n {{a^k}{b^{n – k}}} } )
Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.
II. Tam giác Pa-xcan
1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng
2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan
– Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng (1).
– Xét hai số ở cột (k) và cột (k + 1), đồng thời cùng thuộc dòng (n), ((k ≥ 0; n ≥1)), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột (k + 1) và dòng (n + 1).
3. Tính chất của tam giác Pa-xcan
Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:
a) Giao của dòng (n) và cột (k) là (C_n^k)
b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:
(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1})
c) Các số ở dòng (n) là các hệ số trong khai triển của nhị thức ({(a + b)}^n) (theo công thức nhị thức Niu – Tơn), với (a, b) là hai số thực tùy ý.
Chẳng hạn, các số ở dòng (4) là các hệ số trong khai triển của ((a + b)^4) (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) dưới đây:
({left( {a{rm{ }} + {rm{ }}b} right)^4} )(= {rm{ }}{a^4} + {rm{ }}4{a^3}b{rm{ }} + {rm{ }}6{a^2}{b^{2}} + {rm{ }}4a{b^3}{rm{ }} + {rm{ }}{b^4})
Loigiaihay.com
