I. Lý thuyết
Bài toán 1: Viết PTTT của đồ thị y = f(x) tại điểm M(x0;y0) PTTT
(y=f'(x_0).(x-x_0)+y_0)
Chú ý: (y_0=f(x_0)) Bài toán 2: Viết PTTT của đồ thị y = f(x) của hệ số góc k Cách 1: + Gọi hoành độ tiếp điểm là x0 + Giải phương trình (f'(x_0)=kRightarrow x_0) + Đưa về bt 1 Cách 2: Đường thẳng (Delta) có hệ số góc k thì có pt dạng y = kx + b
(Delta) là tiếp tuyến (Leftrightarrow left{begin{matrix} f(x)=kx+b f'(x)=k co nghiem end{matrix}right.Rightarrow bRightarrow Delta) Chú ý: 1) y = f(x) tiếp xúc y = g(x) Khi hệ (left{begin{matrix} f(x)=g(x) f'(x)=g'(x) co nghiem end{matrix}right.) Bài toán 3: Viết PTTT của đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua N(x1;y1) Cách 1: + Gọi hoành độ tiếp điểm là x0 + PTTT: (y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)) + Tiếp điểm đi qua N(x1;y1) nên (y_1=f'(x_0)(x_1-x_0)+f(x_0)Rightarrow x_0Rightarrow) đưa về bt 1 Cách 2: + Đường thẳng (Delta) đi qua N(x1;y1) có phương trình dạng y = k(x-x1)+y1 + (Delta) là tiếp tuyến (Leftrightarrow left{begin{matrix} f(x)=k(x-x_1)+y_1 f'(x)=k co nghiem end{matrix}right.)(Rightarrow kRightarrow Delta) Chú ý: 1) ((Delta _1)y=a_1x+b_1, y=a_2x+b_2) (Delta _1 // Delta _2Leftrightarrow left{begin{matrix} a_1=a_2 b_1neq b_2 end{matrix}right.) (Delta _1 perp Delta _2Leftrightarrow a_1a_2=-1) 2) Góc giữa 2 đường thẳng (begin{matrix} a_1x+b_1y+c_1=0 (Delta _1) a_2x+b_2y+c_2=0 (Delta _2) end{matrix}) (cos(Delta _1,Delta _2)=frac{left | a_1.a_2+b_1b_2 right |}{sqrt{ a_1^2+b_1^2}.sqrt{a_2^2+b_2^2}}) 3) (M(x_0;y_0) in) đồ thị y =f(x) bt viết phương trình tiếp tuyến tại M (neq) bt viết phương trình tiếp tuyến tại M II. Bài tập
VD1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (y=frac{x-1}{x+2}) (C) tại giao điểm của (C) và trục tung. Giải Tọa độ giao điểm của (C) và trục tung là nghiệm của hệ (left{begin{matrix} x=0 y=frac{x-1}{x+2} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x=0 y=-frac{1}{2} end{matrix}right.Rightarrow M(0;-frac{1}{2})) (y’=frac{x+2-(x-1)}{(x+2)^2}=frac{3}{(x+2)^2}) (y'(0)=frac{3}{4}) (y=frac{3}{4}(x-0)-frac{1}{2} hay y=frac{3}{4}x-frac{1}{2}) VD2: Viết PTTT của đồ thị (y=frac{2x+1}{x-2}). Biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai. Giải PT phân giác góc (frac{1}{4}) thứ hai là y = -x (Delta //Delta _1) nên có hệ số góc k =-1 (Leftrightarrow y'(x_0)=-1), trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm (Leftrightarrow frac{-5}{(x_0-2)^2}=-1Leftrightarrow (x_0-2)^2=5) (Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} x_0-2=sqrt{5} x_0-2=-sqrt{5} end{matrix}Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} x_0=2+sqrt{5} x_0=2-sqrt{5} end{matrix}) TH1: (x_0=2+sqrt{5}Rightarrow y_0=frac{5+2sqrt{5}}{sqrt{5}}=sqrt{5}+2) PTTT (y=-1(x-2-sqrt{5})+2+sqrt{5}) hay (y=-x+4+2sqrt{5}) TH2: (x_0=2-sqrt{5}Rightarrow y_0=frac{5-2sqrt{5}}{-sqrt{5}}=2-sqrt{5}) PTTT (y=-(x-2+sqrt{5})+2-sqrt{5}) hay (y=-x+4-2sqrt{5}) KL: (y=-x+4+2sqrt{5}) (y=-x+4-2sqrt{5}) Chú ý: Đường phân giác góc (frac{1}{4}) thứ hai: y = -x Đường phân giác góc (frac{1}{4}) thứ nhất: y = x VD3: Viết PTTT của độ thị (y = x^3-3x^2+2 (C)) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1;0). Giải Gọi hoành độ tiếp điểm là x0 (y'(x_0)=3x_0^2-6x_0) PTTT là tiếp điểm (y=(3x^2_0-6x_0)(x-x_0)+x_0^3-3x^2_0+2 (Delta )) (begin{matrix} M(1;0)in Delta Leftrightarrow (3x^2_0-6x_0)(1-x_0)+x_0^3-3x^2_0+2 =0 Leftrightarrow -(3x^2_0-6x_0)(x_0-1)+(x_0-1)(x^2-2x_0-2) =0 Leftrightarrow (x_0-1)(-2x_0^2+4x_0-2)=0 Leftrightarrow -2(x_0-1)(x_0^2-2x_0+1)=0Leftrightarrow (x_0-1)^3=0 Leftrightarrow x_0=1 end{matrix})
PTTT y=-3(x-1) hay y = -3x +3 VD4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (y=x^3-3x+2) biết tiếp tuyến đi qua M(2;4). Giải + (y’=3x^2-3) + Gọi hoành độ tiếp điểm N là x0 Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm N là (y=(3x_0-3)(x-x_0)+x_0^3-3x_0+2) – Tiếp tuyến đi qua M(2;4) nên ((3x_0^2-3)(2-x_0)+x_0^3-3x_0+2=4) (Leftrightarrow -(3x_0^2-3)(x_0-2)+(x_0-2)(x_0^2+2x_0+1)=0) (Leftrightarrow (x_0-2)(-2x_0^2+2x_0+4)=0) (Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} x_0=2 -x_0^2+x_0+2=0 end{matrix}Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} x_0=2 x_0=-1 end{matrix}) (x_0=2) pttt (y=9(x-2)+4 hay y=9x-14) (x_0=-1) pttt (y=4) Vậy có 2 tiếp tuyến y = 4, y = 9x – 14 VD5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (y=x^4-2x^2+1) tại điểm cực đại Giải (y’=4x^3-4x) (y’=0Leftrightarrow 4x(x^2-1)=0Leftrightarrow begin{bmatrix} x=0 x=1 x=-1 end{matrix}) Bt trở thành viết pttt tại điểm K(0;1) PTTT’ (y=y'(0)(x-0)+1) hay y = 1 hay y – 1 = 0
