20 câu hỏi trả lời ngắn tiệm cận của đồ thị hàm số giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = frac{{10x}}{{2x – 1}}$ là:
Lời giải
Trả lời: $5$
Ta có : $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = frac{{10}}{2} = 5$ và $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = frac{{10}}{2} = 5$ nên $y = 5$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 2: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = frac{{5 + x}}{{x – 3}}$ là
Lời giải
Trả lời: $3$
Tập xác định $D = mathbb{R}backslash { 3} $.
Ta có $mathop {lim }limits_{x to {3^ – }} y = – infty $; $mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} y = + infty $ suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là $x = 3$
Câu 3: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = frac{{{x^2} – 4x + 5}}{{x – 4}}$ là.
Lời giải
Trả lời: $y = x$
$y = frac{{{x^2} – 4x + 5}}{{x – 4}} = x + frac{5}{{x – 4}}$
$ Rightarrow $TCX: $y = x$
Câu 4: Với giá trị nào của tham số $m$ thì đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = frac{{mx + 3}}{{2x – 2025}}$ đi qua điểm $M(1;3)$?
Lời giải
Trả lời: $6$
Ta có $mathop {lim }limits_{x to pm infty } y = mathop {lim }limits_{x to pm infty } frac{{m + frac{3}{x}}}{{2 – frac{{2025}}{x}}} = frac{m}{2}, Rightarrow $Tiệm cận ngang $y = frac{m}{2}$
Vì tiệm cận ngang đi qua điểm $M(1;3)$nên $3 = frac{m}{2} Leftrightarrow m = 6$
Câu 5: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Tìm tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho:
Lời giải
Trả lời: $3$
* Tìm tiệm cận đứng
Hàm số không xác định tại ${x_0} = 3$.
Ta có:
$mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} y = 4$; $mathop {lim }limits_{x to {3^ – }} y = – infty $
$ Rightarrow $ Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 3$
* Tìm tiệm cận ngang
Ta có:
$mathop {lim }limits_{x to + infty } y = 5$; $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = 2$
$ Rightarrow $Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 20$ và $y = 2$
Vậy hàm số có 3 tiệm cận
Câu 6: Cho hàm số $fleft( x right)$ có bảng biến thiền như sau
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là.
Lời giải
Trả lời: $1$
* Tìm tiệm cận đứng
Hàm số không xác định tại ${x_0} = 4$.
Ta có:
$mathop {lim }limits_{x to {4^ + }} y = 1$; $mathop {lim }limits_{x to {4^ – }} y = – 3$
$ Rightarrow $$x = 4$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
* Tìm tiệm cận ngang
Ta có:
$mathop {lim }limits_{x to + infty } y = 2025$; $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty $
$ Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2025$.
Vậy hàm số có $1$ tiệm cận.
Câu 7: Cho hàm số $y = fleft( x right)$có bảng biến thiên như sau
Tính tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải
Ta có: $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = 0 Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
$mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} y = + infty Rightarrow x = – 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
$mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} y = + infty Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Câu 8: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = frac{{sqrt {x + 16} – 4}}{{{x^2} + x}}$ là
Lời giải
Trả lời: 1
Tập xác định của hàm số: $D = left[ { – 16; + infty } right)backslash left{ {0; – 1} right}$
Ta có:
* $mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} y = – infty $; $mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} y = + infty $
$ Rightarrow $ Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = – 1$
* $mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{sqrt {x + 16} – 4}}{{{x^2} + x}}$
$ = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{left( {sqrt {x + 16} – 4} right)left( {sqrt {x + 16} + 4} right)}}{{left( {{x^2} + x} right)left( {sqrt {x + 16} + 4} right)}}$$ = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{x}{{left( {{x^2} + x} right)left( {sqrt {x + 16} + 4} right)}}$
$ = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{1}{{left( {x + 1} right)left( {sqrt {x + 16} + 4} right)}} = frac{1}{{left( {0 + 1} right)left( {sqrt {0 + 16} + 4} right)}} = frac{1}{8}$;
Tương tự $mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} y = frac{1}{8}$
$ Rightarrow x = 0$ không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Câu 9: Đồ thị hàm số $fleft( x right) = frac{{2 – x}}{{sqrt {{x^2} – 4} }}$ có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Lời giải
Trả lời: 1 TCĐ, 2 TCN
Tập xác định của hàm số $D = left( { – infty ; – 2} right) cup left( {2; + infty } right)$.
* Tìm tiệm cận đứng
+ $mathop {lim }limits_{x to – {2^ – }} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to – {2^ – }} frac{{2 – x}}{{sqrt {{x^2} – 4} }} = + infty $
$ Rightarrow $ Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = – 2$
+ $mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} frac{{2 – x}}{{sqrt {{x^2} – 4} }} = mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} frac{{ – {{left( {sqrt {x – 2} } right)}^2}}}{{sqrt {x – 2} .sqrt {x + 2} }} = mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} frac{{ – sqrt {x – 2} }}{{sqrt {x + 2} }} = 0$
$ Rightarrow x = 2$ không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
* Tìm tiệm cận ngang
Ta có:
+ $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2 – x}}{{sqrt {{x^2} – 4} }} = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{xleft( {frac{2}{x} – 1} right)}}{{left| x right|sqrt {1 – frac{4}{{{x^2}}}} }}$
$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{xleft( {frac{2}{x} – 1} right)}}{{xsqrt {1 – frac{4}{{{x^2}}}} }} = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{left( {frac{2}{x} – 1} right)}}{{sqrt {1 – frac{4}{{{x^2}}}} }} = – 1$;
$ Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = – 1$.
+ $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{2 – x}}{{sqrt {{x^2} – 4} }} = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{xleft( {frac{2}{x} – 1} right)}}{{left| x right|sqrt {1 – frac{4}{{{x^2}}}} }}$
$ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{xleft( {frac{2}{x} – 1} right)}}{{ – xsqrt {1 – frac{4}{{{x^2}}}} }} = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{left( {frac{2}{x} – 1} right)}}{{ – sqrt {1 – frac{4}{{{x^2}}}} }} = 1$;
$ Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$.
Vậy hàm số 2 TCN và 1 TCĐ
Câu 10: Đồ thị hàm số $y = frac{{1 – sqrt {4 – {x^2}} }}{{{x^2} – 2x – 3}}$ có số đường tiệm cận đứng là $m$ và số đường tiệm cận ngang là $n$. Tính giá trị của $m + n$.
Lời giải
Trả lời: 1
$D = left[ { – 2;2} right] setminus left{ { – 1} right}$
$mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} frac{{1 – sqrt {4 – {x^2}} }}{{{x^2} – 2x – 3}} = + infty $;
$mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} frac{{1 – sqrt {4 – {x^2}} }}{{{x^2} – 2x – 3}} = – infty $
$ Rightarrow x = – 1$ là tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
Vậy $m + n = 1$.
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = mx + sqrt {{x^2} + x + 1} $ có tiệm cận ngang?
Lời giải
Trả lời: $2$
Nếu $m > 0$ thì đồ thị hàm số tiệm cận ngang khi $x to – infty $ và $mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {mx + sqrt {{x^2} + x + 1} } right)$ hữu hạn.
Xét: $mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {mx + sqrt {{x^2} + x + 1} } right) = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {frac{{left( {{m^2} – 1} right){x^2} – x – 1}}{{mx – sqrt {{x^2} + x + 1} }}} right)$
Giới hạn có kết quả hữu hạn khi: ${m^2} – 1 = 0 Leftrightarrow m = 1{text{ }}left( {m > 0} right)$
Nếu $m < 0$ thì đồ thị hàm số tiệm cận ngang khi $x to + infty $ và $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {mx + sqrt {{x^2} + x + 1} } right)$ hữu hạn.
Xét: $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {mx + sqrt {{x^2} + x + 1} } right) = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {frac{{left( {{m^2} – 1} right){x^2} – x – 1}}{{mx – sqrt {{x^2} + x + 1} }}} right)$
Giới hạn có kết quả hữu hạn khi: ${m^2} – 1 = 0 Leftrightarrow m = – 1{text{ }}left( {m < 0} right)$
Vậy có $2$ giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
Câu 12: Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên $m$ để đồ thị hàm số $y = frac{{sqrt {x + 2} }}{{sqrt {{x^2} – 6x + 2m} }}$ có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của $S$ là.
Lời giải
Trả lời: 12
Điều kiện xác định $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x + 2 geqslant 0} {{x^2} – 6x + 2m > 0} end{array}} right.$.
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình ${x^2} – 6x + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ lớn hơn $ – 2$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{Delta ^prime } = 9 – 2m > 0} {{x_1} + {x_2} > – 2} {{{( – 2)}^2} – 6 cdot ( – 2) + 2m > 0} end{array}} right.$$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {m < frac{9}{2}} {3 > – 2} {4 + 12 + 2m > 0} end{array}} right.$$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {m < frac{9}{2}} {m > – 8} end{array}} right.$
Do đó tập $S = left{ { – 7; – 6; – 5; ldots ;4} right}$ có 12 giá trị.
Câu 13: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho đồ thị hàm số $fleft( x right) = frac{x}{{sqrt {{x^3} + mx + 1} – sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}$ nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Tính tổng các phần tử của $S$.
Lời giải
Trả lời: $ – frac{1}{2}$
Ta có: $mathop {lim }limits_{x to 0} f(x) = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{1}{{frac{{sqrt {{x^3} + mx + 1} – sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}{x}}}$.
Mà $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {{x^3} + mx + 1} – sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}{{{text{ x }}}}$
$ = mathop {lim }limits_{x to 0} left[ {frac{{sqrt {{x^3} + mx + 1} – 1}}{x} – frac{{sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} – 1}}{x} + frac{{{m^2}x}}{x}} right]$
$ = mathop {lim }limits_{x to 0} left[ {frac{{{x^3} + mx}}{{xleft( {sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1} right)}} – frac{{{x^4} + x}}{{xleft( {sqrt[3]{{{{left( {{x^4} + x + 1} right)}^2}}} + sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1} right)}} + {m^2}} right]$
$ = mathop {lim }limits_{x to 0} left[ {frac{{{x^2} + m}}{{left( {sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1} right)}} – frac{{{x^3} + 1}}{{left( {sqrt[3]{{{{left( {{x^4} + x + 1} right)}^2}}} + sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1} right)}} + {m^2}} right]$
$ = frac{m}{2} – frac{1}{2} + {m^2} = {m^2} + frac{m}{2} – frac{1}{2}$
Đồ thị hàm số $f(x)$ nhận trục tung làm tiệm cận đứng
$ Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to 0} left( {frac{{left( {{x^2} + m} right)}}{{left( {sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1} right)}} – frac{{left( {{x^3} + 1} right)}}{{sqrt[3]{{{{left( {{x^4} + x + 1} right)}^2}}} + sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1}} + {m^2}} right) = 0$
$ Leftrightarrow {m^2} + frac{m}{2} – frac{1}{2} = 0$$ Leftrightarrow 6{m^2} + 3m – 2 = 0$
$ Rightarrow {m_1} + {m_2} = frac{{ – b}}{a} = frac{{ – 3}}{6} = – frac{1}{2}.$
Câu 14: Cho hàm số $y = fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = frac{{2025}}{{fleft( x right)}}$ là
Lời giải
Trả lời: $3$
Từ bảng biến thiên ta thấy $fleft( x right) = 0$ có 3 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3}$ phân biệt.
Do vậy $mathop {lim }limits_{x to {x_1}} y = pm infty ;mathop {lim }limits_{x to {x_2}} y = pm infty ;mathop {lim }limits_{x to {x_3}} y = pm infty $ nên đồ thị hàm số $y = frac{{2025}}{{fleft( x right)}}$ có 3 đường tiệm cận đứng.
Câu 15: Cho hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Tổng số đường tiệm cận của hàm số $y = frac{1}{{fleft( x right) + 1}}$ là:
Lời giải
Trả lời: 4
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình $fleft( x right) + 1 = 0 Leftrightarrow fleft( x right) = – 1$.
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số $y = frac{1}{{fleft( x right) + 1}}$ có hai đường tiệm cận đứng.
Ta có$mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{1}{{f(x) + 1}} = frac{1}{{3 + 1}} = frac{1}{4}$; $mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{1}{{f(x) + 1}} = frac{1}{{1 + 1}} = frac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là $y = frac{1}{4}$ và $y = frac{1}{2}$.
Vậy đồ thị hàm số $y = frac{1}{{fleft( x right) + 1}}$ có bốn đường tiệm cận.
Câu 16: Cho hàm số $y = fleft( x right)$ xác định, liề tục trên $mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = frac{1}{{fleft( {{x^3} + x} right) + 3}}$ là:
Lời giải
Trả lời: 4
Đặt $t = {x^3} + x$, ta có khi $x to – infty $ thì $t to – infty $ và khi $x to + infty $ thì $t to + infty $.
Mặt khác ta có $t’ = 3{x^2} + 1 > 0,forall x in mathbb{R}$ nên với mọi $t in mathbb{R}$ phương trình ${x^3} + x = t$ có duy nhất một nghiệm $x$.
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình
$fleft( t right) + 3 = 0 Leftrightarrow fleft( t right) = – 3$
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số $y = frac{1}{{fleft( {{x^3} + x} right) + 3}}$ có một tiệm cận đứng.
Ta có $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{1}{{fleft( {{x^3} + x} right) + 3}} = mathop {lim }limits_{t to + infty } frac{1}{{f(t) + 3}} = 0$;
$mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{1}{{fleft( {{x^3} + x} right) + 3}} = mathop {lim }limits_{t to – infty } frac{1}{{f(t) + 3}} = 0$
nên đồ thị hàm số $y = frac{1}{{fleft( {{x^3} + x} right) + 3}}$ có một tiệm cận ngang là $y = 0$.
Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận
Câu 17: Cho hàm số bậc ba $fleft( x right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + dleft( {a,b,c,d in mathbb{R}} right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Đồ thị hàm số $gleft( x right) = frac{1}{{fleft( {4 – {x^2}} right) – 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Lời giải
Trả lời: 4
Đặt $t = 4 – {x^2}$, ta có khi $x to pm infty $ thì $t to – infty $.
Khi đó $mathop {lim }limits_{x to pm infty } g(x) = mathop {lim }limits_{t to – infty } frac{1}{{f(t) – 3}} = 0$ nên $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $g(x)$.
Mặt khác $fleft( {4 – {x^2}} right) – 3 = 0 Leftrightarrow fleft( {4 – {x^2}} right) = 3$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {4 – {x^2} = – 2} {4 – {x^2} = 4} end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = pm sqrt 6 } {x = 0} end{array}} right.} right.$
$ Rightarrow $ Đồ thị hàm số $gleft( x right)$ có ba đương tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số $gleft( x right)$ có bốn đường tiệm cận.
Câu 18: Cho đồ thị hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ như hình vẽ dưới đây:
Đồ thị của hàm số $gleft( x right) = frac{{3{x^2} – x – 2}}{{3{f^2}left( x right) – 6fleft( x right)}}$ có bao nhiêu đường tiện cận đứng?
Lời giải
Trả lời: 5
Xét phương trình $3{f^2}left( x right) – 6fleft( x right) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {fleft( x right) = 0} {fleft( x right) = 2} end{array}} right.$
Dựa vào đồ thị ta suy ra:
Phương trình $fleft( x right) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = – 2} {x = 1} end{array}} right.$, với $x = – 2$ là nghiệm đơn và $x = 1$ là nghiệm kép.
Suy ra: $fleft( x right) = aleft( {x + 2} right){(x – 1)^2},left( {a ne 0} right)$.
Phương trình $fleft( x right) = 2 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 0} {x = m,( – 2 < m < – 1),;;} {x = n(n > 1)} end{array}} right.$
Suy ra $fleft( x right) – 2 = axleft( {x – m} right)left( {x – n} right),left( {a ne 0} right)$.
Khi đó: $gleft( x right) = frac{{{a^2}left( {x – 1} right)left( {3x + 2} right)}}{{3fleft( x right)left[ {fleft( x right) – 2} right]}}$$ = frac{{left( {x – 1} right)left( {3x + 2} right)}}{{3{a^2}left( {x + 2} right){{(x – 1)}^2}xleft( {x – m} right)left( {x – n} right)}}$
$ = frac{{left( {3x + 2} right)}}{{3{a^2}xleft( {x + 2} right)left( {x – 1} right)left( {x – m} right)left( {x – n} right)}},left( {a ne 0} right)$
Vậy đồ thị hàm số $gleft( x right)$ có 5 đường tiệm cận đứng
Cách 2: Chọn hàm số $fleft( x right)$.
Ta có $fleft( x right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$
Đồ thị hàm số qua 4 điểm $Aleft( { – 2;0} right),Bleft( { – 1;4} right)$, $Cleft( {0;2} right),Dleft( {1;0} right)$.
suy ra $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {a = 1} {b = 0} {c = – 3} {d = 2} end{array}} right.$ hay $fleft( x right) = {x^3} – 3x + 2$
Khi đó:
$gleft( x right) = frac{{3{x^2} – x – 2}}{{3{f^2}left( x right) – 6fleft( x right)}}$$ = frac{{3{x^2} – x – 2}}{{3fleft( x right)left( {fleft( x right) – 2} right)}}$
$ = frac{{3{x^2} – x – 2}}{{3left( {{x^3} – 3x + 2} right)left( {{x^3} – 3x} right)}}$$ = frac{{left( {x – 1} right)left( {3x + 2} right)}}{{3left( {x + 2} right){{(x – 1)}^2}xleft( {{x^2} – 3} right)}}$
Vậy đồ thị hàm số $gleft( x right)$ có 5 đường tiệm cận đứng
Câu 19: Cho hàm số bậc ba $y = fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới.
Đồ thị hàm số $gleft( x right) = frac{{2x + 7 – 3sqrt {4x + 5} }}{{left| {fleft( x right)} right| – 1}}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
Lời giải
Trả lời: 2
Hàm số $gleft( x right)$ xác định khi $left{ begin{gathered} x geqslant – frac{5}{4} hfill f(x) ne pm 1 hfill end{gathered} right.$
Ta có $y = fleft( x right)$ là hàm bậc ba và dựa vảo bảng biến thiên ta có $y’ = aleft( {{x^2} – 1} right)$
$ Rightarrow y = frac{a}{3}{x^3} – ax + b$.
$left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {yleft( { – 1} right) = 3} {yleft( 1 right) = – 1} end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} { – frac{a}{3} + a + b = 3} {frac{a}{3} – a + b = – 1;} end{array}} right.} right.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {a = 3} {b = 1} end{array} Rightarrow y = {x^3} – 3x + 1} right.$
$mathop {lim }limits_{x to + infty } g(x) = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2x + 7 – 3sqrt {4x + 5} }}{{left| {{x^3} – 3x + 1} right| – 1}}$
$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{frac{2}{{{x^2}}} + frac{7}{{{x^3}}} – 3sqrt {frac{4}{{{x^5}}} + frac{5}{{{x^6}}}} }}{{left| {1 – frac{3}{{{x^2}}} + frac{1}{{{x^3}}}} right| – frac{1}{{{x^3}}}}} = 0$
$ Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$gleft( x right) = frac{{2x + 7 – 3sqrt {4x + 5} }}{{left| {fleft( x right)} right| – 1}}$
$ = frac{{left( {4{x^2} – 8x + 4} right)left( {left| {fleft( x right)} right| + 1} right)}}{{left( {{f^2}left( x right) – 1} right)left( {2x + 7 + 3sqrt {4x + 5} } right)}}$
$ = frac{{4{{(x – 1)}^2}left( {left| {fleft( x right)} right| + 1} right)}}{{left( {fleft( x right) – 1} right)left( {fleft( x right) + 1} right)left( {2x + 7 + 3sqrt {4x + 5} } right)}}$
$ = frac{{4{{(x – 1)}^2}left( {left| {fleft( x right)} right| + 1} right)}}{{xleft( {x + sqrt 3 } right)left( {x – sqrt 3 } right)left( {x + 2} right){{(x – 1)}^2}left( {2x + 7 + 3sqrt {4x + 5} } right)}}$
$ = frac{{4left( {left| {fleft( x right)} right| + 1} right)}}{{xleft( {x + sqrt 3 } right)left( {x – sqrt 3 } right)left( {x + 2} right)left( {2x + 7 + 3sqrt {4x + 5} } right)}}$
$left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} g(x) = – infty } {mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} g(x) = + infty } end{array} Rightarrow x = 0} right.$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {mathop {lim }limits_{x to {{sqrt 3 }^ + }} g(x) = + infty } {mathop {lim }limits_{x to {{sqrt 3 }^ – }} g(x) = – infty } end{array} Rightarrow x = sqrt 3 } right.$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có tiện cận ngang là $y = 0$ và tiệm cận đứng là $y = sqrt 3 $
Câu 20: Cho hàm trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số $y = frac{{left( {{x^2} – 4} right)left( {{x^2} + 2x} right)}}{{{{[fleft( x right)]}^2} + 2fleft( x right) – 3}}$ có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?
Lời giải
Trả lời : 4
Ta có: $y = frac{{left( {{x^2} – 4} right)left( {{x^2} + 2x} right)}}{{{{[fleft( x right)]}^2} + 2fleft( x right) – 3}}$$ = frac{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)xleft( {x + 2} right)}}{{{{[fleft( x right)]}^2} + 2fleft( x right) – 3}}$
$ = frac{{left( {x – 2} right){{(x + 2)}^2}x}}{{{{[fleft( x right)]}^2} + 2fleft( x right) – 3}}$.
Xét ${[fleft( x right)]^2} + 2fleft( x right) – 3 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {;f(x) = 1;} {fleft( x right) = – 3} end{array}} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{gathered} x = m,m < – 2 hfill x = 0 hfill x = n,,n > 2 hfill x = 2 hfill x = – 2 hfill end{gathered} right.$.
Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm $x = 0;x = pm 2$ là các nghiệm kép (nghiệm bội 2 ).
Do đó đa thức ${[fleft( x right)]^2} + 2fleft( x right) – 3$ có bậc là 8 .
Suy ra $y = frac{{left( {x – 2} right){{(x + 2)}^2}x}}{{{a^2}{x^2}{{(x + 2)}^2}{{(x – 2)}^2}left( {x – m} right)left( {x – n} right)}}$
$ = frac{1}{{{a^2}xleft( {x – 2} right)left( {x – m} right)left( {x – n} right)}}$.
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng là $x = 0,x = 2,x = m,x = n$.
Câu 21: Cho hàm số bậc ba $fleft( x right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số $gleft( x right) = frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{xleft[ {{f^2}left( x right) – fleft( x right)} right]}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
Lời giải
Trả lời: 6
Điều kiện xác định của hàm số $gleft( x right)$ là $x geqslant 1$.
Xét phương trình $xleft[ {{f^2}left( x right) – fleft( x right)} right] = 0$$ Leftrightarrow x.fleft( x right) cdot left[ {fleft( x right) – 1} right] = 0$$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 0} {fleft( x right) = 0.} {fleft( x right) = 1} end{array}} right.$
Xét phương trình $fleft( x right) = 0$ có nghiệm kép $x = 2$ và nghiệm đơn $x = 1$.
Xét phương trình $fleft( x right) = 1$ có ba nghiệm đơn $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = a,1 < a < 2} {x = b,1 < b < 2,b ne a} {x = c,c > 2} end{array}} right.$. Ta thấy $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = + infty } {mathop {lim }limits_{x to – infty } f(x) = – infty } end{array}} right.$
Nên không mất tính tổng quát, ta có
$ + fleft( x right) = 0 Leftrightarrow left( {x – 1} right){(x – 2)^2} = 0$
$ + fleft( x right) = 1 Leftrightarrow left( {x – a} right)left( {x – b} right)left( {x – c} right) = 0$
Do đó:
$gleft( x right) = frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{xleft[ {{f^2}left( x right) – fleft( x right)} right]}} = frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{xleft( {x – 1} right){{(x – 2)}^2}left( {x – a} right)left( {x – b} right)left( {x – c} right)}}$
Khi đó
+$left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} g(x)} {mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} g(x)} end{array}} right.$.
không tồn tại giới hạn $ Rightarrow x = 0$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $gleft( x right)$
$ + mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} g(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + infty $.
$ Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $gleft( x right)$.
$ + left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} g(x) = mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = – infty } {mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} g(x) = mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + infty } end{array}} right.$
$ Rightarrow x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $gleft( x right)$
$ + left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} g(x) = mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = – infty } {mathop {lim }limits_{x to {a^ – }} g(x) = mathop {lim }limits_{x to {a^ – }} frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + infty } end{array}} right.$
$ Rightarrow x = a$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $gleft( x right)$.
$ + left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {mathop {lim }limits_{x to {b^ + }} g(x) = mathop {lim }limits_{x to {b^ + }} frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + infty } {mathop {lim }limits_{x to {b^ – }} g(x) = mathop {lim }limits_{x to {b^ – }} frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = – infty } end{array}} right.$
$ Rightarrow x = b$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g(x)$.
$ + left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {mathop {lim }limits_{x to {c^ + }} g(x) = mathop {lim }limits_{x to {c^ + }} frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + infty } {mathop {lim }limits_{x to {c^ – }} g(x) = mathop {lim }limits_{x to {c^ – }} frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = – infty } end{array}} right.$
$ Rightarrow x = c$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g(x)$.
$ + mathop {lim }limits_{x to pm infty } g(x) = mathop {lim }limits_{x to pm infty } frac{{{x^2} – 3x + 2sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = 0$.
$ Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $g(x)$.
Vậy đồ thị hàm số $gleft( x right)$ có 6 đường tiệm cận.
