Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm (left( C right)) và (Ox) là ({{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m=0,,,,,,,,,,,,left( * right).)
Đặt (t={{x}^{2}}ge 0,) khi đó (left( * right)Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+m=0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( I right).)
Để (left( C right)) cắt (Ox) tại bốn điểm phân biệt khi (left( I right)) có 2 nghiệm dương phân biệt
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0 – frac{b}{a} > 0frac{c}{a} > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}9 – 4m > 03 > 0m > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m < frac{9}{4}m > 0end{array} right.,, Leftrightarrow 0 < m < frac{9}{4}.)
Khi đó, gọi ({{t}_{1}},,,{{t}_{2}},,,left( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} right)) là nghiệm của phương trình (left( I right).)
Suy ra (left( * right)) có bốn nghiệm theo thứ tự phân biệt là ({{x}_{1}}=-,sqrt{{{t}_{2}}},,,{{x}_{2}}=-,sqrt{{{t}_{1}}},,,{{x}_{3}}=sqrt{{{t}_{1}}},,,{{x}_{4}}=sqrt{{{t}_{2}}}.)
Do tính đối xứng của (left( C right)) nên ({{S}_{1}}={{S}_{2}})
(begin{align} & Leftrightarrow ,intlimits_{0}^{{{x}_{3}}}{left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m right),text{d}x}=intlimits_{{{x}_{3}}}^{{{x}_{4}}}{left( -,{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-m right),text{d}x} & left. Leftrightarrow left( frac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx right) right|_{0}^{{{x}_{3}}}=left. left( -,frac{{{x}^{5}}}{5}+{{x}^{3}}-mx right) right|_{{{x}_{3}}}^{{{x}_{4}}} & Leftrightarrow frac{x_{3}^{5}}{5}-x_{3}^{3}+m{{x}_{3}}=-frac{x_{4}^{5}}{5}+x_{4}^{3}-m{{x}_{4}}+frac{x_{3}^{5}}{5}-x_{3}^{3}+m{{x}_{3}} & Leftrightarrow -frac{x_{4}^{5}}{5}+x_{4}^{3}-m{{x}_{4}}=0. end{align})
Mà (a={{x}_{4}}) là nghiệm của phương trình (left( * right)) nên suy ra
(left{ begin{array}{l}x_4^4 – 3x_4^2 + m = 0 – ,frac{{x_4^5}}{5} + x_4^3 – m{x_4} = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m = – ,{a^4} + 3{a^2}m = – frac{{{a^4}}}{5} + {a^2}end{array} right.)
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m = – ,{a^4} + 3{a^2} – ,{a^4} + 3{a^2} = – ,frac{{{a^4}}}{5} + {a^2}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m = – ,{a^4} + 3{a^2}left[ begin{array}{l}{a^2} = 0{a^2} = frac{5}{2}end{array} right.end{array} right.,, Rightarrow ,,left[ begin{array}{l}m = 0m = frac{5}{4}end{array} right..)
Kết hợp với điều kiện (0<m<frac{9}{4},,xrightarrow{{}},,m=frac{5}{4}) là giá trị cần tìm.
Chọn D
