60 câu trắc nghiệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM
Bài toán: Cho hàm số $y = fleft( x right)$, có đồ thị $left( C right)$ và điểm ${M_0}left( {{x_0};{y_0}} right) in left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$.
Phương pháp giải:
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ tại $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là: $y = f’left( {{x_0}} right) cdot left( {x – {x_0}} right) + {y_0}left( * right)$
• Tính $y’ = f’left( x right) Rightarrow f’left( {{x_0}} right)$
• Thay $f’left( {{x_0}} right)$ vào $left( * right)$ ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Mở rộng:
• Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành Ox: Cho ${y_0} = 0$.
• Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành Oy: Cho ${x_0} = 0$.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}left( {{x_0};{y_0}} right)$
Áp dụng công thức: $y = f’left( {{x_0}} right) cdot left( {x – {x_0}} right) + {y_0}left( * right)$
Câu 1. Cho hàm số $y = fleft( x right)$, có đồ thị $left( C right)$ và điểm ${M_0}left( {{x_0};fleft( {{x_0}} right)} right) in left( C right)$. Phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại ${M_0}$ là: A. $y = f’left( x right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$. B. $y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right)$. C. $y – {y_0} = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right)$. D. $y – {y_0} = f’left( {{x_0}} right)x$.
Lời giải
Chọn C
Câu 2. Cho đường cong $left( C right):y = {x^2}$. Phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm $Mleft( { – 1;1} right)$ là A. $y = – 2x + 1$. B. $y = 2x + 1$. C. $y = – 2x – 1$. D. $y = 2x – 1$.
Lời giải
Chọn C.
$y = {x^2} Rightarrow y’ = 2x$.
$y’left( { – 1} right) = – 2$.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y = – 2left( {x + 1} right) + 1 Leftrightarrow y = – 2x – 1$.
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của $left( C right):y = {x^3}$ tại điểm ${M_0}left( { – 1; – 1} right)$ là: A. $y = 3x – 2$. B. $y = 3x + 2$. C. $y = 3x + 3$. D. $y = – 3x + 3$.
Lời giải
Chọn B.
$ + y’ = 3{x^2} Rightarrow y’left( { – 1} right) = 3$
PTTT của $left( C right)$ tại điểm ${M_0}left( { – 1; – 1} right)$ là $y = 3left( {x + 1} right) – 1 Leftrightarrow y = 3x + 2$.
Câu 4. Cho hàm số $y = frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 7x + 2$. Phương trình tiếp tuyến tại $Aleft( {0;2} right)$ là: A. $y = 7x + 2$. B. $y = 7x – 2$. C. $y = – 7x + 2$. D. $y = – 7x – 2$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có : $y’ = {x^2} – 6x + 7$
Hệ số góc tiếp tuyến $y’left( 0 right) = 7$
Phương trình tiếp tuyến tại $Aleft( {0;2} right)$ : $y = 7left( {x – 0} right) + 2 = 7x + 2$.
Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $fleft( x right) = frac{x}{{x + 2}}$ tại điểm $Mleft( { – 1; – 1} right)$ là: A. $y = – 2x – 1$. B. $y = – 2x + 1$. C. $y = 2x + 1$. D. $y = 2x – 1$.
Lời giải
Chọn C
$f’left( x right) = frac{2}{{{{(x + 2)}^2}}}$
Ta có ${x_0} = – 1;{y_0} = – 1;f’left( {{x_0}} right) = 2$ Phương trình tiếp tuyến $y = 2x + 1$.
Câu 6. Cho hàm số $y = frac{{{x^2} + x}}{{x – 2}}$. Phương trình tiếp tuyến tại $Aleft( {1; – 2} right)$ là A. $y = – 4left( {x – 1} right) – 2$. B. $y = – 5left( {x – 1} right) + 2$. C. $y = – 5left( {x – 1} right) – 2$. D. $y = – 3left( {x – 1} right) – 2$.
Lời giải
Chọn C.
$y = frac{{{x^2} + x}}{{x – 2}} Rightarrow y’ = frac{{{x^2} – 4x – 2}}{{{{(x – 2)}^2}}},y’left( 1 right) = – 5$.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y = – 5left( {x – 1} right) – 2 Leftrightarrow y = – 5x + 3$.
Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = frac{1}{{sqrt {2x} }}$ tại điểm $Aleft( {frac{1}{2};1} right)$ có phương trình là: A. $2x + 2y = – 3$. B. $2x – 2y = – 1$. C. $2x + 2y = 3$. D. $2x – 2y = 1$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $y’ = – frac{1}{{2xsqrt {2x} }}$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là $:k = y’left( {frac{1}{2}} right) = – 1$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ là : $y = kleft( {x – {x_0}} right) + {y_0} Leftrightarrow 2x + 2y = 3$.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$
+ $x = {x_0} Rightarrow {y_0} = f({x_0}) = y({x_0})$
+ Tính $y’ Rightarrow f'({x_0})$
+ Thay vào công thức $y = f’left( {{x_0}} right) cdot left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$
Chú ý: Nếu tìm giao điểm với trục tung $Oy$ thì cho ${x_0} = 0$.
Câu 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $fleft( x right) = {x^3} – 2{x^2} + 3x$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 1$ là: A. $y = 10x + 4$. B. $y = 10x – 5$. C. $y = 2x – 4$. D. $y = 2x – 5$.
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định: $D = mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} – 4x + 3$.
$y’left( { – 1} right) = 10;yleft( { – 1} right) = – 6$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $left( d right):y = 10left( {x + 1} right) – 6 = 10x + 4$.
Câu 9. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ biết hoành độ tiếp điểm bằng 1 A. $y = 3x – 6$ B. $y = 3x – 7$ C. $y = 3x – 4$ D. $y = 3x – 5$
Lời giải
Chọn C.
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.
Ta có: ${x_0} = 1 Rightarrow {y_0} = – 1,y’left( 1 right) = 3$
Phương trình tiếp tuyến là: $y = y’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0} = 3left( {x – 1} right) – 1 = 3x – 4$
Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = frac{4}{{x – 1}}$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 1$ có phương trình là: A. $y = – x + 2$. B. $y = x + 2$. C. $y = x – 1$. D. $y = – x – 3$.
Lời giải
Chọn D.
Tập xác định: $D = mathbb{R} setminus left{ 1 right}$.
${x_0} = – 1 Rightarrow {y_0} = – 2$
Đạo hàm: $y’ = – frac{4}{{{{(x – 1)}^2}}}$.
$ Rightarrow f'({x_0}) = y'({x_0}) = f'( – 1) = – 1$
Phương trình của tiếp tuyến là $y = y’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0} = – 1(x + 1) – 2 = – x – 3$
Câu 11. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {(x + 1)^2}left( {x – 2} right)$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là A. $y = – 8x + 4$. B. $y = 9x + 18$. C. $y = – 4x + 4$. D. $y = 9x – 18$.
Lời giải
Chọn D.
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm.
Ta có ${x_0} = 2 Rightarrow {y_0} = 0$.
$y = {(x + 1)^2}left( {x – 2} right) = {x^3} – 3x + 2 Rightarrow y’ = 3{x^2} – 3 Rightarrow y’left( 2 right) = 9$.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 9left( {x – 2} right) + 0 Leftrightarrow y = 9x – 18$.
Câu 12. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số $y = x{(3 – x)^2}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là A. $y = – 3x + 8$. B. $y = – 3x + 6$. C. $y = 3x – 8$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm.
Ta có ${x_0} = 2 Rightarrow {y_0} = 2$.
$y = x{(3 – x)^2} = {x^3} – 6{x^2} + 9x Rightarrow y’ = 3{x^2} – 12x + 9 Rightarrow y’left( 2 right) = – 3$.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = – 3left( {x – 2} right) + 2 Leftrightarrow y = – 3x + 8$.
Câu 13. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = fleft( x right) = tanleft( {frac{pi }{4} – 3x} right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = frac{pi }{6}$ là: A. $y = – x + frac{pi }{6} + 6$. B. $y = – x – frac{pi }{6} – 6$. C. $y = – 6x + pi – 1$. D. $y = – x – frac{pi }{6} + 6$.
Lời giải
Chọn C
$f’left( x right) = frac{{ – 3}}{{co{s^2}left( {frac{pi }{4} – 3x} right)}};$
${x_0} = frac{pi }{6};{y_0} = – 1;f’left( {{x_0}} right) = – 6$
Phương trình tiếp tuyến: $y = – 6x + pi – 1$.
Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $fleft( x right) = {x^3} – 2{x^2} – 2$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 2$ có phương trình là: A. $y = 4x – 8$. B. $y = 20x + 22$. C. $y = 20x – 22$. D. $y = 20x – 16$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $f’left( x right) = 3{x^2} – 4x$. Tại điểm A có hoành độ ${x_0} = – 2 Rightarrow {y_0} = fleft( {{x_0}} right) = – 18$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là : $k = f’left( { – 2} right) = 20$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ là : $y = kleft( {x – {x_0}} right) + {y_0} Leftrightarrow y = 20x + 22$.
Câu 15. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = frac{{{x^4}}}{4} + frac{{{x^2}}}{2} – 1$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 1$ là: A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
Lời giải
Ta có $f’left( { – 1} right) = – 2$.
Chọn A.
Câu 16. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với trục tung. A. $y = – 3x + 12$ B. $y = – 3x + 11$ C. $y = – 3x + 1$ D. $y = – 3x + 2$
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Ta có: ${x_0} = 0 Rightarrow {y_0} = 1,y’left( {{x_0}} right) = – 3$
Phương trình tiếp tuyến: $y = – 3x + 1$.
Câu 17. Đồ thị $left( C right)$ của hàm số $y = frac{{3x + 1}}{{x – 1}}$ cắt trục tung tại điểm $A$. Tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm $A$ có phương trình là: A. $y = – 4x – 1$. B. $y = 4x – 1$. C. $y = 5x – 1$. D. $y = – 5x – 1$.
Lời giải
Chọn A.
Cho ${x_0} = 0 Rightarrow {y_0} = – 1$
Ta có : điểm $Aleft( {0; – 1} right)$
$y’ = frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}} Rightarrow $ hệ số góc tiếp tuyến $y’left( 0 right) = – 4$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ tại điểm $Aleft( {0; – 1} right)$ là :
$y = – 4left( {x – 0} right) – 1 = – 4x – 1$.
Câu 18. Gọi $left( P right)$ là đồ thị của hàm số $y = 2{x^2} – x + 3$. Phương trình tiếp tuyến với $left( P right)$ tại điểm mà $left( P right)$ cắt trục tung là: A. $y = – x + 3$. B. $y = – x – 3$. C. $y = 4x – 1$. D. $y = 11x + 3$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có : $left( P right)$ cắt trục tung tại điểm $Mleft( {0;3} right)$.
$y’ = 4x – 1$
Hệ số góc tiếp tuyến : $y’left( 0 right) = – 1$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( P right)$ tại $Mleft( {0;3} right)$ là $y = – 1left( {x – 0} right) + 3 = – x + 3$.
Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = frac{{{x^2} – 3x + 1}}{{2x – 1}}$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có phương trình là: A. $y = x – 1$. B. $y = x + 1$. C. $y = x$. D. $y = – x$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $y’ = frac{{2{x^2} – 2x + 1}}{{{{(2x – 1)}^2}}}$.
Giao điểm $M$ của đồ thị với trục tung : ${x_0} = 0 Rightarrow {y_0} = – 1$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ là : $k = y’left( 0 right) = 1$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M$ là : $y = kleft( {x – {x_0}} right) + {y_0} Leftrightarrow y = x – 1$.
Câu 20. Gọi $M$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y = frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm $M$ là: A. $y = frac{3}{2}x – frac{1}{2}$ B. $y = – frac{3}{4}x + frac{1}{2}$ C. $y = frac{3}{4}x + frac{1}{2}$ D. $y = – frac{3}{2}x – frac{1}{2}$
Lời giải
Chọn B.
Vì $M$ là giao điểm của đồ thị với trục $Oy Rightarrow Mleft( {0;frac{1}{2}} right)$
$y’ = frac{{ – 3}}{{{{(x – 2)}^2}}} Rightarrow k = y’left( 0 right) = – frac{3}{4}$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$ là: $y = – frac{3}{4}x + frac{1}{2}$
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ $y = {y_0}$
+ $y = {y_0} Rightarrow f({x_0}) = {y_0} Rightarrow x = {x_0}$
+ Tính $y’ Rightarrow f'({x_0})$
+ Thay vào công thức $y = f’left( {{x_0}} right) cdot left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$
Chú ý: Nếu tìm giao điểm với trục hoành $Ox$ thì cho ${y_0} = 0$.
Câu 21. Cho hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$, biết tung độ tiếp điểm bằng 1 A. $y = 2$ B. $y = 1$ C. $y = 3$ D. $y = 4$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 2x$. Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Ta có ${y_0} = 1 Leftrightarrow x_0^4 + x_0^2 = 0 Leftrightarrow {x_0} = 0,y’left( {{x_0}} right) = 0$
Phương trình tiếp tuyến: $y = 1$
Câu 22. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$, biết tung độ tiếp điểm bằng 3 A. $y = 9x – 1$ hay $y = 3$ B. $y = 9x – 4$ hay $y = 3$ C. $y = 9x – 3$ hay $y = 3$ D. $y = 9x – 13$ hay $y = 3$
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Ta có: ${y_0} = 3 Leftrightarrow x_0^3 – 3{x_0} – 2 = 0 Leftrightarrow {x_0} = 2,{x_0} = – 1$
• ${x_0} = – 1 Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = 0$. Phương trình tiếp tuyến: $y = 3$
• ${x_0} = 2 Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = 9$. Phương trình tiếp tuyến:
$y = 9left( {x – 2} right) + 3 = 9x – 13$.
Câu 23. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ biết tung độ tiếp điểm bằng 9. A. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = 18x + 81} {y = – 9x} {y = 18x – 27} end{array}} right.$ B. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = x + 81} {y = 9x} {y = 9x – 2} end{array}} right.$ C. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = 18x + 1} {y = – 9x} {y = 9x – 7} end{array}} right.$ D. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = x + 81} {y = – 9x} {y = 9x – 2} end{array}} right.$
Lời giải
Chọn A.
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.
Ta có: ${y_0} = 9 Leftrightarrow x_0^3 + 3x_0^2 – 6{x_0} – 8 = 0 Leftrightarrow {x_0} = – 1,{x_0} = 2,{x_0} = – 4$.
• ${x_0} = – 4 Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = 18$. Phương trình tiếp tuyến là: $y = 18left( {x + 4} right) + 9 = 18x + 81$
• ${x_0} = – 1 Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = – 9$. Phương trình tiếp tuyến là: $y = – 9left( {x + 1} right) + 9 = – 9x$
• ${x_0} = 2 Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = 18$. Phương trình tiếp tuyến là: $y = 18left( {x – 2} right) + 9 = 18x – 27$.
Câu 24. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( H right):y = frac{{x – 1}}{{x + 2}}$ tại giao điểm của $left( H right)$ và trục hoành: A. $y = frac{1}{3}left( {x – 1} right)$. B. $y = 3x$. C. $y = x – 3$. D. $y = 3left( {x – 1} right)$.
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định: $D = mathbb{R} setminus left{ { – 2} right}$.
Đạo hàm: $y’ = frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}$.
Cho ${y_0} = 0 Rightarrow $${x_o} = 1 Rightarrow y’left( 1 right) = frac{1}{3};yleft( 1 right) = 0$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $d:y = frac{1}{3}left( {x – 1} right)$.
Câu 25. Cho hàm số $y = frac{{2x – 4}}{{x – 3}}$ có đồ thị là $left( H right)$. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của $left( H right)$ với trục hoành là: A. $y = 2x – 4$. B. $y = 3x + 1$. C. $y = – 2x + 4$. D. $y = 2x$.
Lời giải
Chọn C.
Giao điểm của $left( H right)$ với trục hoành là $Aleft( {2;0} right)$.
Ta có: $y’ = frac{{ – 2}}{{{{(x – 3)}^2}}} Rightarrow y’left( 2 right) = – 2$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = – 2left( {x – 2} right)$ hay $y = – 2x + 4$.
Câu 26. Cho hàm số $y = fleft( x right) = {x^2} + 5x + 4$, có đồ thị $left( C right)$. Tại các giao điểm của $left( C right)$ với trục $Ox$, tiếp tuyến của $left( C right)$ có phương trình: A. $y = 3x + 3$ và $y = – 3x – 12$. B. $y = 3x – 3$ và $y = – 3x + 12$. C. $y = – 3x + 3$ và $y = 3x – 12$. D. $y = 2x + 3$ và $y = – 2x – 12$.
Lời giải
Chọn A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm. ${x^2} + 5x + 4 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = – 1} {x = – 4} end{array}} right.$
$f’left( x right) = 2x + 5$
TH1: ${x_0} = – 1;{y_0} = 0;f’left( { – 1} right) = 3$ PTTT có dạng $:y = 3x + 3$
TH2: ${x_0} = – 4;{y_0} = 0;f’left( { – 4} right) = – 3$ PTTT có dạng $:y = – 3x – 12$
Câu 27. Tìm trên $left( C right):y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ những điểm $M$ sao cho tiếp tuyến của $left( C right)$ tại $M$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8 . A. $Mleft( { – 1; – 4} right)$ B. $Mleft( { – 2; – 27} right)$ C. $Mleft( {1;0} right)$ D. $Mleft( {2;5} right)$
Lời giải
Chọn A.
Giả sử $Mleft( {{x_0};{y_0}} right) in left( C right) Rightarrow {y_0} = 2x_0^3 – 3x_0^2 + 1$. Ta có: $y’ = 3{x^2} – 6x$.
Phương trình tiếp tuyến $Delta $ tại $M:y = left( {6x_0^2 – 6{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + 2x_0^3 – 3x_0^2 + 1$.
$Delta $ đi qua $Pleft( {0;8} right) Leftrightarrow 8 = – 4x_0^3 + 3x_0^2 + 1 Leftrightarrow {x_0} = – 1$. Vậy $Mleft( { – 1; – 4} right)$.
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC k
Bài toán: Cho hàm số $y = fleft( x right)$, có đồ thị $left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$, biết tiếp tuyến có hệ số góc là $k$.
Phương pháp giải:
• Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị $left( C right)$.
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ tại $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ và có hệ số góc $k$ là:
• $y = kleft( {x – {x_0}} right) + {y_0}$
• Tính $y’ = f’left( x right) Rightarrow f’left( {{x_0}} right) = kleft( 1 right)$
• Giải phương trình (1) tìm ${x_0}$, sau đó thay ${x_0}$ vào $y = fleft( x right)$ suy ra ${y_0} = fleft( {{x_0}} right)$
• Thay ${x_0},{y_0}$ vào $left( * right)$ ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với $left( C right)$ tại điểm $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ thuộc $left( C right)$ là: $k = f’left( {{x_0}} right)$
2. Cho tiếp tuyến của đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ là đường thẳng $left( Delta right)$ có hệ số góc ${k_Delta }$ và đường thẳng $left( d right):y = {k_d}x + b$. Khi đó :
• Nếu $left( Delta right)//left( d right) Rightarrow {k_Delta } = {k_d}$
• Nếu $left( Delta right) bot left( d right) Rightarrow {k_Delta } cdot {k_d} = – 1 Leftrightarrow {k_Delta } = – frac{1}{{{k_d}}}$
Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = frac{{2 – 3x}}{{x – 1}}$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng : A. 9 . B. $frac{1}{9}$. C. -9 . D. $ – frac{1}{9}$.
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định: $D = mathbb{R} setminus left{ 1 right}$. Đạo hàm: $y’ = frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}}$.
Cho ${y_0} = 0 Rightarrow {x_0} = frac{2}{3}$
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $Aleft( {frac{2}{3};0} right)$.
Hệ số góc của tiếp tuyến là $y’left( {frac{2}{3}} right) = 9$.
Câu 2. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = frac{{x – 1}}{{x + 1}}$ tại giao điểm với trục tung bằng : A. -2 . B. 2 . C. 1 . D. -1 .
Lời giải
Chọn B.
Tập xác định: $D = mathbb{R} setminus left{ { – 1} right}$.
Đạo hàm: $y’ = frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
Cho ${x_o} = 0 Rightarrow {y_0}^prime = 2$.
Câu 3. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = tanx$ tại điểm có hoành độ $x = frac{pi }{4}$. A. $k = 1$. B. $k = frac{1}{2}$. C. $k = frac{{sqrt 2 }}{2}$. D. 2 .
Lời giải
Chọn D.
$y = tanx Rightarrow y’ = frac{1}{{co{s^2}x}}$.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = tanx$ tại điểm có hoành độ $x = frac{pi }{4}$ là $k = y’left( {frac{pi }{4}} right) = 2$.
Câu 4. Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = sinx + 1$ tại điểm có hoành độ $frac{pi }{3}$ là A. $k = frac{1}{2}$. B. $k = frac{{sqrt 3 }}{2}$. C. $k = – frac{1}{2}$. D. $k = – frac{{sqrt 3 }}{2}$.
Lời giải
Chọn A.
$y’ = cosx,k = y’left( {frac{pi }{3}} right) = cosleft( {frac{pi }{3}} right) = frac{1}{2}$.
Câu 5. Tiếp tuyến của hàm số $y = frac{{x + 8}}{{x – 2}}$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 3$ có hệ số góc bằng A. 3 B. -7 C. -10 D. -3
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $y’ = frac{{ – 10}}{{{{(x – 2)}^2}}} Rightarrow k = y’left( {{x_0}} right) = y’left( 3 right) = frac{{ – 10}}{{{{(3 – 2)}^2}}} = – 10$
Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = frac{{x + 1}}{{x – 5}}$ tại điểm $Aleft( { – 1;0} right)$ có hệ số góc bằng A. $frac{1}{6}$ B. $frac{6}{{25}}$ C. $ – frac{1}{6}$ D. $ – frac{6}{{25}}$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $y’ = frac{{ – 6}}{{{{(x – 5)}^2}}}$. Theo giả thiết: $k = y’left( { – 1} right) = – frac{1}{6}$
Câu 7. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $fleft( x right) = – {x^3} + x + 2$ tại điểm $Mleft( { – 2;8} right)$ là: A. 11. B. -12 C. -11 . D. 6 .
Lời giải
Ta có $f’left( { – 2} right) = – 11$
Chon C.
Câu 8. Điểm $M$ trên đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} – 1$ mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc $k$ bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì $M,k$ là A. $Mleft( {1; – 3} right),k = – 3$. B. $Mleft( {1;3} right),k = – 3$. C. $Mleft( {1; – 3} right),k = 3$. D. $Mleft( { – 1; – 3} right),k = – 3$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$. Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x$.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ là $k = y’left( {{x_0}} right) = 3x_0^2 – 6{x_0} = 3{left( {{x_0} – 1} right)^2} – 3 geqslant – 3$
Vậy $k$ bé nhất bằng -3 khi ${x_0} = 1,{y_0} = – 3$.
Câu 9. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 A. $y = 9x – 1$ hay $y = 9x + 17$ B. $y = 9x – 1$ hay $y = 9x + 1$ C. $y = 9x – 13$ hay $y = 9x + 1$ D. $y = 9x – 13$ hay $y = 9x + 17$
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’left( {{x_0}} right) = 9 Leftrightarrow 3x_0^2 – 3 = 9 Leftrightarrow {x_0} = pm 2$
• ${x_0} = 2 Rightarrow {y_0} = 3$. Phương trình tiếp tuyến:
$y = 9left( {x – 2} right) + 3 = 9x – 13$.
• ${x_0} = – 2 Rightarrow {y_0} = – 1$.
Phương trình tiếp tuyến:
$y = 9left( {x + 2} right) – 1 = 9x + 17$.
Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} – 2$ có hệ số góc $k = – 9$, có phương trình là : A. $y – 16 = – 9left( {x + 3} right)$. B. $y = – 9left( {x + 3} right)$. C. $y – 16 = – 9left( {x – 3} right)$. D. $y + 16 = – 9left( {x + 3} right)$.
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định: $D = mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = {x^2} + 6x$.
• $k = – 9 Leftrightarrow y’left( {{x_o}} right) = – 9 Leftrightarrow x_o^2 + 6{x_o} = – 9 Leftrightarrow {left( {{x_o} + 3} right)^2} = 0 Leftrightarrow {x_o} = – 3 Rightarrow {y_o} = 16$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $left( d right):y = – 9left( {x + 3} right) + 16 Leftrightarrow y – 16 = – 9left( {x + 3} right)$.
Câu 11. Cho hàm số: $y = frac{{2x + 2}}{{x – 1}}$ có đồ thị $left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1 . A. $y = – x – 2,y = – x + 7$. B. $y = – x – 5,y = – x + 6$. C. $y = – x – 1,y = – x + 4$. D. $y = – x – 1,y = – x + 7$.
Lời giải
Chọn D
Hàm số đã cho xác định với $forall x ne 1$. Ta có: $y’ = frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ :
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1
Nên có: ${y’_0} = – 1 Leftrightarrow frac{{ – 4}}{{{{({x_0} – 1)}^2}}} = – 1 Leftrightarrow {x_0} = 3,{x_0} = – 1$
• Với ${x_0} = – 1 Rightarrow {y_0} = 0 Rightarrow Delta :y = – x – 1$
• Với ${x_0} = 2 Rightarrow {y_0} = 4 Rightarrow Delta :y = – x + 7$
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: $y = – x – 1,y = – x + 7$.
Câu 12. Cho hàm số $y = frac{{{x^2} – 3x + 1}}{{x – 2}}$ và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$ của đồ thị hàm số là A. $y = 2x – 1;y = 2x – 3$. B. $y = 2x – 5;y = 2x – 3$. C. $y = 2x – 1;y = 2x – 5$. D. $y = 2x – 1;y = 2x + 5$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có $y’ = frac{{{x^2} – 4x + 5}}{{{{(x – 2)}^2}}}$.
Hệ số góc của tiếp tuyến $k = 2 Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = 2 Leftrightarrow frac{{x_0^2 – 4{x_0} + 5}}{{{{left( {{x_0} – 2} right)}^2}}} = 2 Leftrightarrow x_0^2 – 4{x_0} + 3 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{x_0} = 1} {{x_0} = 3} end{array}} right.$.
Với ${x_0} = 1 Rightarrow {y_0} = 1 Rightarrow $ pttt: $y = 2left( {x – 1} right) + 1 Leftrightarrow y = 2x – 1$.
Với ${x_0} = 3 Rightarrow {y_0} = 1 Rightarrow $ pttt: $y = 2left( {x – 3} right) + 1 Leftrightarrow y = 2x – 5$.
Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 2x – 1,y = 2x – 5$.
Câu 13. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: $y = frac{{2x}}{{x – 1}}$, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $ – 2$ A. $y = – 2x + 1,y = – 2x$ B. $y = – 2x + 2,y = – 2x + 4$ C. $y = – 2x + 9,y = – 2x$ D. $y = – 2x + 8,y = – 2x$
Lời giải
Chọn D
Ta có: $y’ = frac{{2left( {x – 1} right) – 2x}}{{{{(x – 1)}^2}}} = frac{{ – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}}$.
Gọi $left( {{x_0};{y_0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại $left( {{x_0};{y_0}} right)$ bằng $y’left( {{x_0}} right) = frac{{ – 2}}{{{{left( {{x_0} – 1} right)}^2}}}$
Theo giải thiết, ta có: $y’left( {{x_0}} right) = – 2 Leftrightarrow frac{{ – 2}}{{{{left( {{x_0} – 1} right)}^2}}} = – 2$
$ Leftrightarrow {left( {{x_0} – 1} right)^2} = 1 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{x_0} – 1 = 1} {{x_0} – 1 = – 1} end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{x_0} = 2 Rightarrow {y_0} = 4} {{x_0} = 0 Rightarrow {y_0} = 0} end{array}} right.} right.$
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: $y = – 2x + 8,y = – 2x$
Câu 14. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: $y = 2{x^4} – 4{x^2} + 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 48x – 1$. A. $y = 48x – 9$ B. $y = 48x – 7$ C. $y = 48x – 10$ D. $y = 48x – 79$
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $y’ = 8{x^3} – 8x$
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 48x – 1$
Nên ta có: $y’left( {{x_0}} right) = 48 Leftrightarrow x_0^3 – {x_0} – 6 = 0 Leftrightarrow {x_0} = 2$
Suy ra ${y_0} = 17$. Phương trình tiếp tuyến là:
$y = 48left( {x – 2} right) + 17 = 48x – 79$.
Câu 15. Cho hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 6x – 1$ A. $y = 6x – 2$ B. $y = 6x – 7$ C. $y = 6x – 8$ D. $y = 6x – 3$
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 2x$. Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 6x – 1$ nên ta có:
• $y’left( {{x_0}} right) = 6 Leftrightarrow 4x_0^3 + 2{x_0} = 6 Leftrightarrow {x_0} = 1 Rightarrow {y_0} = 3$
Phương trình tiếp tuyến: $y = 6x – 3$.
Câu 16. Cho hàm số $y = frac{{2x + 2}}{{x – 1}}left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y = – 4x + 1$. A. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = – 4x + 2} {y = – 4x + 14} end{array}} right.$ B. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = – 4x + 21} {y = – 4x + 14} end{array}} right.$ C. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = – 4x + 2} {y = – 4x + 1} end{array}} right.$ D. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = – 4x + 12} {y = – 4x + 14} end{array}} right.$
Lời giải
Chọn A.
Hàm số xác định với mọi $x ne 1$. Ta có: $y’ = frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ : Vì tiếp tuyến song với đường thẳng $d:y = – 4x + 1$ nên ta có:
• $y’left( {{x_0}} right) = – 4 Leftrightarrow frac{{ – 4}}{{{{left( {{x_0} – 1} right)}^2}}} = – 4 Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = 2$
• ${x_0} = 0 Rightarrow {y_0} = 2 Rightarrow Delta :y = – 4x + 2$
• ${x_0} = 2 Rightarrow {y_0} = 6 Rightarrow Delta :y = – 4x + 14$
Câu 17. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong $left( C right):y = {x^3} + 3{x^2} – 8x + 1$, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $Delta :y = x + 28$ ? A. $y = x + 28$. B. $y = x – 4;y = x + 28$. C. $y = x – 4$. D. $y = x + 1$.
Lời giải
Chọn C.
Tập xác định: $D = mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} + 6x – 8$.
Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng $y = x + 28$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 .
Ta có phương trình $1 = 3{x^2} + 6x – 8 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 1} {x = – 3} end{array}} right.$.
Tại $Mleft( {1; – 3} right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x – 4$.
Tại $Nleft( { – 3;25} right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x + 28$( loại vì trùng với $Delta $)
Câu 18. Cho hàm số $y = {x^2} – 6x + 5$ có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là: A. $x = – 3$. B. $y = – 4$. C. $y = 4$. D. $x = 3$.
Lời giải
Chọn B.
Tập xác định: $D = mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 2x – 6$.
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên ta có:
$y’left( {{x_o}} right) = 0 Rightarrow 2{x_o} – 6 = 0 Leftrightarrow {x_o} = 3 Rightarrow {y_o} = – 4 Rightarrow d:y = – 4$.
Câu 19. Phương trình tiếp tuyến của $left( C right):y = {x^3}$ biết nó vuông góc với đường thẳng $Delta :y = – frac{x}{{27}} + 8$ là: A. $y = – frac{1}{{27}}x + 8$. B. $y = 27x pm 3$. C. $y = – frac{1}{{27}}x pm 3$. D. $y = 27x pm 54$.
Lời giải
Chọn D.
$y’ = 3{x^2}$.
+Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm.
• Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $Delta :y = frac{{ – 1}}{{27}}x + 8$ suy ra
$y’left( {{x_0}} right) = 27 Leftrightarrow 3x_0^2 = 27 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{x_0} = 3} {{x_0} = – 3} end{array}.} right.$
• Với ${x_0} = 3 Rightarrow {y_0} = 27$. PTTT là: $y = 27left( {x – 3} right) + 27 Leftrightarrow y = 27x – 54$
• Với ${x_0} = – 3 Rightarrow {y_0} = – 27$. PTTT là: $y = 27left( {x + 3} right) – 27 Leftrightarrow y = 27x + 54$.
Câu 20. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = – frac{1}{{18}}x + 1$ A. $y = 18x + 8$ và $y = 18x – 27$. B. $y = 18x + 8$ và $y = 18x – 2$. C. $y = 18x + 81$ và $y = 18x – 2$. D. $y = 18x + 81$ và $y = 18x – 27$.
Lời giải
Chọn D.
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = – frac{1}{{18}}x + 1$ nên
Ta có: $y’left( {{x_0}} right) = 15 Leftrightarrow x_0^2 + 2{x_0} – 8 = 0 Leftrightarrow {x_0} = – 4,{x_0} = 2$
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: $y = 18x + 81$ và $y = 18x – 27$.
Câu 21. Cho hàm số $y = frac{{2x + 1}}{{x – 1}}left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = frac{1}{3}x + 2$ A. $y = – 3x – 11$ hay $y = – 3x + 11$ B. $y = – 3x – 11$ hay $y = – 3x + 1$ C. $y = – 3x – 1$ hay $y = – 3x + 1$ D. $y = – 3x – 1$ hay $y = – 3x + 11$
Lời giải
Chọn D.
Ta có $y’ = frac{{ – 3}}{{{{(x – 1)}^2}}}$. Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm.Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = frac{1}{3}x + 2$ nên ta có
$y’left( {{x_0}} right) = – 3 Leftrightarrow frac{{ – 3}}{{{{left( {{x_0} – 1} right)}^2}}} = – 3 Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = 2$
• ${x_0} = 0 Rightarrow {y_0} = – 1$, phương trình tiếp tuyến là:$y = – 3x – 1$
• ${x_0} = 2 Rightarrow {y_0} = 5$, phương trình tiếp tuyến là: $y = – 3left( {x – 2} right) + 5 = – 3x + 11$.
Câu 22. Cho hàm số $y = 3{x^2} – 2x + 5$, có đồ thị $left( C right)$. Tiếp tuyến của $left( C right)$ vuông góc với đường thẳng $x + 4y + 1 = 0$ là đường thẳng có phương trình: A. $y = 4x + 1$. B. $y = 4x + 2$. C. $y = 4x – 4$. D. $y = 4x – 2$.
Lời giải
Chọn C.
Phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ có phương trình là: $y – {y_0} = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right)$
$d:x + 4y + 1 = 0 Leftrightarrow y = – frac{1}{4}x – frac{1}{4}$
$y’ = 6x – 2$
Tiếp tuyến vuông góc với $d$ nên $y’left( {{x_0}} right) cdot left( { – frac{1}{4}} right) = – 1 Leftrightarrow y’left( {{x_0}} right) = 4 Leftrightarrow 6{x_0} – 2 = 4 Leftrightarrow {x_0} = 1$,
$yleft( 1 right) = 6$. Phương trình tiếp tuyến có dạng : $y = 4x + 2$
Câu 23. Tìm $m$ để tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = left( {2m – 1} right){x^4} – m + frac{5}{4}$ tại điểm có hoành độ $x = – 1$ vuông góc với đường thẳng $d:2x – y – 3 = 0$. A. $frac{3}{4}$. B. $frac{1}{4}$. C. $frac{7}{{16}}$. D. $frac{9}{{16}}$.
Lời giải
Chọn D.
$d:2x – y – 3 = 0 Leftrightarrow y = 2x – 3 Rightarrow {k_d} = 2$.
$y = left( {2m – 1} right){x^4} – m + frac{5}{4} Rightarrow y’ = 4left( {2m – 1} right){x^3}$.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = left( {2m – 1} right){x^4} – m + frac{5}{4}$ tại điểm có hoành độ $x = – 1$ là ${k_{tt}} = y’left( { – 1} right) = 4left( {2m – 1} right){( – 1)^3} = – 4left( {2m – 1} right)$.
Ta có ${k_{tt}} cdot {k_d} = – 1 Leftrightarrow – 8left( {2m – 1} right) = – 1 Leftrightarrow m = frac{9}{{16}}$
Câu 24. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$, biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy. A. $y = 2,y = – 1$ B. $y = 3,y = – 1$ C. $y = 3,y = – 2$ D. $x = 3,x = – 1$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: $y’left( {{x_0}} right) = 0$
Hay ${x_0} = pm 1$. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: $y = 3,y = – 1$.
Câu 25. Cho hàm số $y = 2 – frac{4}{x}$ có đồ thị $left( H right)$. Đường thẳng $Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = – x + 2$ và tiếp xúc với $left( H right)$ thì phương trình của $Delta $ là A. $y = x + 4$. B. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = x – 2} {y = x + 4} end{array}} right.$. C. $left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {y = x – 2} {y = x + 6} end{array}} right.$. D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn C.
Tập xác định: $D = mathbb{R} setminus left{ 0 right}$.
Đạo hàm: $y’ = frac{4}{{{x^2}}}$
Đường thẳng $Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = – x + 2$ nên $Delta $ có hệ số góc bằng 1 . Ta có phương trình $1 = frac{4}{{{x^2}}} Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 2} {x = – 2} end{array}} right.$.
Tại $Mleft( {2;0} right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x – 2$.
Tại $Nleft( { – 2;4} right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x + 6$.
III. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM
Bài toán: Cho hàm số $y = fleft( x right)$, có đồ thị $left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft( {{x_1};{y_1}} right)$.
Phương pháp giải:
• Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị $left( C right)$.
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ tại $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là:
$y = f’left( {{x_0}} right) cdot left( {x – {x_0}} right) + {y_0};hay;y = f’left( {{x_0}} right) cdot left( {x – {x_0}} right) + fleft( {{x_0}} right)$
Tính $y’ = f’left( x right) Rightarrow f’left( {{x_0}} right)$ và ${y_0} = fleft( {{x_0}} right)$
• Vì tiếp tuyến đi qua $Aleft( {{x_1};{y_1}} right) Rightarrow {y_1} = f’left( {{x_0}} right) cdot left( {{x_1} – {x_0}} right) + fleft( {{x_0}} right)$
• Giải phương trình (2) tìm ${x_0}$ thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .
Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của $left( C right):y = {x^3}$ biết nó đi qua điểm $Mleft( {2;0} right)$ là: A. $y = 27x pm 54$. B. $y = 27x – 9$ và $y = 27x – 2$. C. $y = 27x pm 27$. D. $y = 0$ và $y = 27x – 54$.
Lời giải
Chọn D.
$ + y’ = 3{x^2}$.
• Gọi $Aleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm. PTTT của $left( C right)$ tại $Aleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là:
$y = 3x_0^2left( {x – {x_0}} right) + x_0^3;left( d right).$
• Vì tiếp tuyến $left( d right)$ đí qua $Mleft( {2;0} right)$ nên ta có phương trình:
$3x_0^2left( {2 – {x_0}} right) + x_0^3 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{x_0} = 0} {{x_0} = 3} end{array}.} right.$
• Với ${x_0} = 0$ thay vào $left( d right)$ ta có tiếp tuyến $y = 0$.
• Với ${x_0} = 3$ thay vào $left( d right)$ ta có tiếp tuyến $y = 27x – 54$.
Câu 2. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $Nleft( {0;1} right)$. A. $y = – frac{{33}}{4}x + 11$ B. $y = – frac{{33}}{4}x + 12$ C. $y = – frac{{33}}{4}x + 1$ D. $y = – frac{{33}}{4}x + 2$
Lời giải
Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.
Phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = left( {3x_0^2 + 6{x_0} – 6} right)left( {x – {x_0}} right) + x_0^3 + 3x_0^2 – 6{x_0} + 1$
Vì tiếp tuyến đi qua $Nleft( {0;1} right)$ nên ta có:
$1 = left( {3x_0^2 + 6{x_0} – 6} right)left( { – {x_0}} right) + x_0^3 + 3x_0^2 – 6{x_0} + 1$
$ Leftrightarrow 2x_0^3 + 3x_0^2 = 0 Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = – frac{3}{2}$
• ${x_0} = 0 Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = – 6$. Phương trình tiếp tuyến: $y = – 6x + 1$.
• ${x_0} = – frac{3}{2} Rightarrow {y_0} = frac{{107}}{8},y’left( {{x_0}} right) = – frac{{33}}{4}$. Phương trình tiếp tuyến $y’ = – frac{{33}}{4}left( {x + frac{3}{2}} right) + frac{{107}}{8} = – frac{{33}}{4}x + 1$
Câu 3. Cho hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $Mleft( { – 1;3} right)$. A. $y = – 6x – 2$ B. $y = – 6x – 9$ C. $y = – 6x – 3$ D. $y = – 6x – 8$
Lời giải
Chọn C
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 2x$. Gọi $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
$y = left( {4x_0^3 + 2{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + x_0^4 + x_0^2 + 1$
Vì tiếp tuyến đi qua $Mleft( { – 1;3} right)$ nên ta có:
$3 = left( {4x_0^3 + 2{x_0}} right)left( { – 1 – {x_0}} right) + x_0^4 + x_0^2 + 1 Leftrightarrow 3x_0^4 + 4x_0^3 + x_0^2 + 2{x_0} + 2 = 0$
$ Leftrightarrow {left( {{x_0} + 1} right)^2}left( {3x_0^2 – 2{x_0} + 2} right) = 0 Leftrightarrow {x_0} = – 1 Rightarrow {y_0} = 3,y’left( {{x_0}} right) = – 6$
Phương trình tiếp tuyến: $y = – 6x – 3$.
Câu 4. Cho hàm số $y = frac{{x + 2}}{{x – 2}}$, tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm $left( { – 6;5} right)$ là A. $y = – x – 1;y = frac{1}{4}x + frac{7}{2}$. B. $y = – x – 1;y = – frac{1}{4}x + frac{7}{2}$. C. $y = – x + 1;y = – frac{1}{4}x + frac{7}{2}$. D. $y = – x + 1;y = – frac{1}{4}x – frac{7}{2}$.
Lời giải
Chọn B.
$y = frac{{x + 2}}{{x – 2}} Rightarrow y’ = frac{{ – 4}}{{{{(x – 2)}^2}}}$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right):y = frac{{x + 2}}{{x – 2}}$ tại điểm $Mleft( {{x_0};{y_0}} right) in left( C right)$ với ${x_0} ne 2$ là:
$y = y’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0} Leftrightarrow y = frac{{ – 4}}{{{{left( {{x_0} – 2} right)}^2}}}left( {x – {x_0}} right) + frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 2}}$.
Vì tiếp tuyến đi qua điểm $left( { – 6;5} right)$ nên ta có $5 = frac{{ – 4}}{{{{left( {{x_0} – 2} right)}^2}}}left( { – 6 – {x_0}} right) + frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 2}} Leftrightarrow 4x_0^2 – 24{x_0} = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{x_0} = 0} {{x_0} = 6} end{array}} right.$ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: $y = – x – 1$ và $y = – frac{1}{4}x + frac{7}{2}$.
Câu 5. Tiếp tuyến kẻ từ điểm $left( {2;3} right)$ tới đồ thị hàm số $y = frac{{3x + 4}}{{x – 1}}$ là A. $y = – 28x + 59;y = x + 1$. B. $y = – 24x + 51;y = x + 1$. C. $y = – 28x + 59$. D. $y = – 28x + 59;y = – 24x + 51$.
Lời giải
Chọn C.
$y = frac{{3x + 4}}{{x – 1}} Rightarrow y’ = frac{{ – 7}}{{{{(x – 1)}^2}}}$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right):y = frac{{3x + 4}}{{x – 1}}$ tại điểm $Mleft( {{x_0};{y_0}} right) in left( C right)$ với ${x_0} ne 2$ là:
$y = y’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0} Leftrightarrow y = frac{{ – 7}}{{{{left( {{x_0} – 1} right)}^2}}}left( {x – {x_0}} right) + frac{{3{x_0} + 4}}{{{x_0} – 1}}$.
Vì tiếp tuyến đi qua điểm $left( {2;3} right)$ nên ta có $3 = frac{{ – 7}}{{{{left( {{x_0} – 1} right)}^2}}}left( {2 – {x_0}} right) + frac{{3{x_0} + 4}}{{{x_0} – 1}} Leftrightarrow {x_0} = frac{3}{2}$.
Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: $y = – 28x + 59$.
