Sự tương giao của đồ thị hàm số lớp 12 là một dạng toán thường xuyên xuất hiện ở các câu thuộc mức độ thông hiểu, vận dụng trong kỳ thi THPTQG. Khái niệm này là hoàn toàn mới đối với các bài tập ở mức độ khó khi đòi hỏi phải biến đổi đồ thị từ đó biện luận về số giao điểm của các đồ thị. Song không hẳn đây là khái niệm hoàn toàn mới lạ vì trong chương trình bậc THCS, việc sử dụng biệt số delta để biện luận về số giao điểm của đồ thị hàm số Parabol và đồ thị hàm số đường thẳng chính là bước đầu làm quen với các dạng toàn liên quan về giao điểm đồ thị.
1. Sự tương giao của đồ thị hàm số
Cho hai hàm số f(x) và g(x).
Xét phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x).
Ta có:
• Số giao điểm của hai đồ thị = Số nghiệm của phương trình.
• Hoành độ giao điểm = Nghiệm của phương trình.
Hình vẽ minh họa:
.jpg)
Đồ thị có ba giao điểm ⇔ phương trình f(x) = g(x) có ba nghiệm. Hoành độ giao điểm x1, x2, x3 ⇔ x1, x2, x3 là nghiệm của f(x) = g(x).
2. Phép biến đổi tịnh tiến đồ thị hàm số vận dụng giải quyết bài toán tương giao đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) ; p, q là 2 số dương tùy ý.
• Tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số y = f(x) + q.
• Tịnh tiến (C) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số y = f(x) – q.
• Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y = f(x + p).
• Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y = f(x – p).
• Tịnh tiến (C) theo vectơ = (a; b) thì được đồ thị hàm số y = f(x + a) + b.
3. Phép biến đổi đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vận dụng giải quyết bài toán tương giao đồ thị hàm số
∗ Từ đồ thị (C) : y = f(x) suy ra đồ thị (C’) : y =
Ta có và là hàm chẵn
Nên đồ thị (C’) nhận Oy làm trục đối xứng.
Cách vẽ (C’) từ (C)
• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị (C) : y = f(x) (bỏ phần bên trái)
• Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị (C) : y = f(x) qua Oy.
∗ Từ đồ thị (C) : y = f(x) suy ra đồ thị (C’) : y =
Ta có
Cách vẽ (C’) từ (C)
• Giữ nguyên phần đồ thị bên trên trục Ox của đồ thị (C) : y = f(x) (bỏ phần bên dưới)
• Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục Ox của đồ thị (C) : y = f(x) qua Ox.
4. Phương pháp giải các dạng toán tương giao đồ thị hàm số
4.1. Tương giao đồ thị hàm số f(x) và g(x) đã xác định
Đối với dạng bài tập tương giao đồ thị mà f(x) và g(x) đã xác định ta thực hiện các bước sau:
• Tìm tập xác định hàm số f(x) và g(x)
• Phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x)
• Giải phương trình f(x) = g(x). Tìm nghiệm của phương trình.
• Đối chiếu nghiệm của phương trình với tập xác định của hai hàm số.
• Kết luận.
Số giao điểm của hai đồ thị = Số nghiệm của phương trình.
Hoành độ giao điểm = Nghiệm của phương trình.
4.2. Tương giao đồ thị hàm số f(x) và g(x) chưa xác định
Đối với dạng bài tập tương giao đồ thị mà f(x) và g(x) chưa xác định ta thực hiện các bước sau:
• Dựa vào giả thuyết đề bài, hàm số f(x) và g(x) được cho ở dạng đồ thị hoặc bảng biến thiên.
• Biến đổi đồ thị hàm số dựa trên phần 2 hoặc phần 3 đã nêu.
• Đưa bài toán về dạng phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x)
• Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên kết luận về số giao điểm của đồ thị hoặc hoành độ giao điểm.
5. Bài tập tương giao đồ thị hàm số
Bài 1: Đồ thị hàm số y = x3 – 3×2 + 2x -1 cắt đồ thị hàm số y = x2 – 3x + 1 tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB.
A. AB = 3
B. AB =
C. AB = 2
D. AB = 1
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Viết phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số để tìm tọa độ giao điểm và tính khoảng cách.
Cho hai điểm
⇒
∗ Cách giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (P) là
⇔
⇔
⇔
Khi đó
→ ⇒
→ Chọn câu D.
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Dựa vào phép suy đồ thị để xác định số giao điểm của hai đồ thị hàm số
∗ Cách giải
Hàm số y = f(x) có đồ thị (C), cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt.
Hàm số có đồ thị (C1) là tịnh tiến đồ thị (C) sang trái 2018 đơn vị trên trục Ox.
Khi đó đồ thị (C1) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt.
→ Chọn câu A.
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình là
A. 0
B. 1
C. 3
D. 4
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Từ bảng biến thiên y = f(x) suy ra bảng biến thiên của (giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục tung và trên trục tung, lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung sang bên trái trục tung)
Quan sát bảng ta thấy: phương trình vô nghiệm
→ Chọn câu A.
Bài 4: Số giao điểm của đồ thị với đồ thị hàm số là
A. 2
B. 0
C. 3
D. 1
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Số giao điểm chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
∗ Cách giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
⇔
⇔
⇔
Vậy hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
→ Chọn câu C.
Bài 5: Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số và đường thẳng
A. n = 8
B. n = 2
C. n = 4
D. n = 6
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Giải phương trình hoành độ giao điểm
∗ Cách giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm
⇔
⇔
⇔
Vậy phương trình có 6 nghiệm phân biệt ⇒ n = 6
→ Chọn câu D.
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình là
A. 2
B. 3
C. 6
D. 0
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
∗ Cách giải
⇒
Xét phương trình: f(x) = 1 (1)
Quan sát bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = 1 tại 1 điểm duy nhất.
Xét phương trình: f(x) = (2)
Quan sát bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = tại 2 điểm phân biệt.
Đồng thời, nghiệm của phương trình (1) khác 2 nghiệm của phương trình (2),
Suy ra, số nghiệm của phương trình
→ Chọn câu B.
Chủ đề tương giao đồ thị hàm số là một dạng toán tuy lạ mà quen, thật chất đây là nội dung đã được học từ bậc THCS và dàn trải kiến thức đến năm cuối cấp bậc THPT. Nội dung này mang đến cho chúng ta một mối liên kết giữa đại số và hình học, việc vận dụng tri thức này một cách sáng tạo cũng giúp chúng ta rất nhiều trong quá trình giải các bài tập về phương trình có đồ thị hàm số đặc biệt.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
