Với Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki
(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTTXem Khóa học Toán 8 CTSTXem Khóa học Toán 8 CD
Dạng bài: Sử dụng bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bunhiacopxki
A. Phương pháp giải
a) Bất đẳng thức Cô – si
Cho hai số không âm a, b, ta luôn có:
, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Mở rộng:
a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
b. Với n số không âm, ta luôn có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho a1, a2, b1, b2 là những số thực, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Mở rộng: Với các số thực a1, a2, b1, b2, a3, b3, ta luôn có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho a,b>0. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
- Cho cặp số a, b, ta được:
- Cho cặp số , ta được:
Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:
Dấu bằng xảy ra khi:
Câu 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Giải.
Ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Câu 3: Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:
Lời giải:
Ta có:
Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến:
C. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho 3 số dương x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng:
Câu 2: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: xyz=1. Chứng minh rằng:
Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Câu 4: Cho . Chứng minh rằng:
Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:
Câu 6: Hai số x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng
Câu 7: Cho các số không âm a, y thỏa mãn . Chứng minh rằng:
D. Bài tập bổ sung
Bài 1. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. Chứng minh rẳng:
xx+2yz+yy+2xz+zz+2xy≥1
Bài 2. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rẳng:
x3x+2y+y3y+2z+z3z+2x≥x2+y2+z23
Bài 3. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:
x3(2×2+y2)(2×2+z2)+y3(2y2+z2)(2y2+x2)+z3(2z2+x2)(2z2+y2)≤1x+y+z
Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:
2xyz(x+y+z)≤59+x4y2+y4z2+z4x2
Bài 5. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:
1×2+xy+yz+1y2+yz+zx+1z2+zx+xy≤(x+y+zxy+yz+zx)2
(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTTXem Khóa học Toán 8 CTSTXem Khóa học Toán 8 CD
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:
- Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (hay, chi tiết)
- Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
- Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
- Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối
- Tổng hợp các cách chứng minh bất đẳng thức (hay, chi tiết)
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
- Giải bài tập Toán 8
- Giải sách bài tập Toán 8
- Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án
