Với 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= – x3 + 3×2 – 4
Lời giải:
* Tập xác định : D= R.
* Chiều biến thiên :
Ta có : y’= – 3×2 + 6x = – 3x(x- 2)
Xét phương trình y’= 0 ⇔ – 3x (x – 2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2.
* Bảng biến thiên :
Hàm số nghịch biến trên các khoảng , đồng biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 0.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = – 4
Giới hạn của hàm số tại vô cực :
* Đồ thị :
Cho x= 1 ⇒ y =0
x= 3 ⇒ y= -4
* Điểm uốn:
y”= – 6x+ 6 =0 ⇔ x= 1
⇒ y(1) = – 2.
Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; -2) làm điểm uốn.
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =- x3 + 3×2
Lời giải:
* Tập xác định : D= R.
* Chiều biến thiên:
Ta có : y’= – 3×2 + 6x = – 3x(x- 2)
Xét phương trình y’= – 3x(x -2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2.
Giới hạn của hàm số tại vô cực:
* Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng , đồng biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 4.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 0 .
* Đồ thị :
Cho x= 1⇒ y(1) = 4
x= 3 ⇒ y=0
* Điểm uốn:
Ta có: y”= – 6x+ 6 = 0
⇔ x= 1 ⇒ y (1) = 4
Vậy đồ thị nhận điểm I (1; 4) làm điểm uốn.
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Lời giải:
* Tập xác định: D = R.
* Chiều biến thiên:
Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Hàm số đồng biến trên R và hàm số không có cực trị .
* Bảng biến thiên:
* Đồ thị : Cho x= 0 ⇒ y(0)= 0
* Điểm uốn:
y”= 2x+ 4 = 0 ⇔ x=- 2
Vậy điểm uốn của đồ thị là
Bài 4. Cho hàm số y= – x3 + 3×2+ 1 có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3; 1)
Lời giải:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:
* Tập xác định: D= R
* Chiều biến thiên :
Ta có : y’= – 3×2 + 6x = – 3x(x- 2)
Xét phương trình y’= – 3x(x- 2) = 0 ⇔ x=0 hoặc x= 2.
o Giới hạn của hàm số tại vô cực :
o Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng , đồng biến trên khoảng (0; 2) .
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2) = 5.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= 1
o Đồ thị :
Cho x = -1 ⇔ y = 5;
x = 3 ⇔ y = 1.
+ Điểm uốn :
y”= -6x+ 6= 0
⇔ x= 1 ⇒ y= 3. Do đó,điểm uốn I(1; 3).
b.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(3; 1)
Ta có; y’(3) = – 9 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = y’(3). (x – 3) + 1 hay y= – 9(x- 3) + 1 ⇔ y = – 9x + 28
Bài 5. Cho hàm số y= x3 + 3×2 – mx – 4, trong đó m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m=0.
b. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải:
a. Khi m= 0 thì hàm số là y= x3 + 3×2 – 4 .
* Tập xác định: D= R.
* Chiều biến thiên:
o Giới hạn của hàm số tại vô cực:
o Bảng biến thiên:
+ Ta có: y’= 3×2 + 6x = 3x(x+ 2)
Xét phương trình y’= 0 ⇔ 3x(x+ 2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= – 2.
o Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng , nghịch biến trên khoảng (-2;0).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -2; giá trị cực đại của hàm số là y(-2)=0 .
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= – 4
* Đồ thị :
Cho x = -3 ⇒ y= – 4
x= 1 ⇒ y=0
* Điểm uốn
y” = 6x+ 6 =0
⇔x= – 1 ⇒ y(-1)= – 2 nên điểm uốn I(-1; -2)
b. Hàm số y= x3 + 3×2 – mx – 4 đồng biến trên khoảng
Bảng biến thiên :
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:
Vậy khi m ≤ -3 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn .
Bài 6. Cho hàm số y= 2×3 – 9×2 + 12x -4 có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số;
b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
Lời giải:
+ Tập xác định D= R.
+ Đạo hàm y’= 6×2 – 18 x+ 12 = 0
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x= 1 và yCĐ = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 và yCT = 0
+ Đồ thị :
Điểm uốn:
b. Ta có:
Gọi (C): y= 2×3 – 9×2 + 12x – 4 và
Ta thấy khi x ≥ 0 thì: (C’): y= 2×3 – 9×2 + 12x – 4
Mặt khác hàm số của đồ thị (C’) là hàm số chẵn nên (C’) nhận Oy là trục đối xứng . Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) như sau:
o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được
o Lấy đối xứng qua trục Oy phần
o
Số nghiệm của phương trình:
là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng (d): y= m – 4
Từ đồ thị (C’), ta thấy yêu cầu bài toán
⇔0 < m- 4 < 1 ⇔ 4 < m < 5
Bài 7. Cho hàm số : có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Lời giải:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
* Hàm số đã cho xác định trên R.
* Xét sự biến thiên của hàm số
Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng , nghịch biến trên khoảng (-1;3)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -1 ; yCĐ = 0
Hàm số có điểm cực tiểu tại x= 3 ; yCT = – 4.
* Đồ thị
Suy ra I(1; -2) là điểm uốn của đồ thị .
Giao điểm của đồ thị với trục Oy tại điểm
Giao điểm của đồ thị với trục Ox tại hai điểm B(-1; 0); C(5; 0).
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U(1; -2) làm tâm đối xứng.
b. Ta có
Đẳng thức xảy ra khi x= 1 ⇒ y = – 2.
Vậy tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất là:
Bài 8. Cho hàm số y= – x3 – x+ 2, có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên (C).
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (1)
Lời giải:
a. Khảo sát và vẽ (C).
+ Hàm số có tập xác định là: D= R.
+ Xét sự biến thiên của hàm số
Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Bảng biến thiên
Ta có hàm số nghịch biến trên R.
Hàm số không có cực trị .
Điểm uốn: Ta có:
Vì y” đổi dấu khi x đi qua điểm x= 0 nên U(0;2) là điểm uốn của đồ thị
Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ.
Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; 2) .
Phương trình y= 0 ⇔ x= 1
Nên đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1; 0).
Nhận xét: Đồ thị nhận U(0;1) làm tâm đối xứng.
b. Xét đồ thị . Khi đó số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng
Cách vẽ y= g(x)
B1 : Giữ nguyên đồ thị (C) ứng với phần (Phần đồ thị nằm trên Ox).
B2 : Lấy đối xứng qua trục Ox đồ thị (3) phần f(x) < 0 (Phần nằm phía dưới trục Ox).
Ta có đồ thị (C’)
Dựa vào đồ thị (C’) ta có :
Nếu m < 0 ⇒ Δ và (C’) không cắt nhau thì (1) vô nghiệm
Nếu m = 0 ⇒ Δ cắt (C’) tại một điểm thì (1) có một nghiệm
Nếu m > 0 ⇒ Δ cắt (C’) tại hai điểm thì (1) có hai nghiệm.
Bài 9. Cho hàm số y= x3 – 3×2 + 2 có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để phương trình x3 – 3×2 = m (1) có ba nghiệm phân biệt.
c. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (C’):
d. Biện luận số nghiệm của phương trình :
Lời giải:
a. Khảo sát và vẽ (C).
* Hàm số có tập xác định là D = R.
* Sự biến thiên của hàm số
Giới hạn của hàm số tại vô cực :
Bảng biến thiên
Ta có: y’= 3×2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x= 2.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , nghịch biến trên khoảng (0;2) .
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0; yCĐ = 2 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 2; yCT = – 2.
* Đồ thị
Điểm uốn: Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
Ta thấy y” đổi dấu khi x qua điểm x= 1. Vậy U(1; 0) là điểm uốn của đồ thị.
Giao điểm của đồ thị với trục tọa độ
Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 2)
Do đó, đồ thị cắt Ox tại ba điểm (1; 0),
* Chọn x= 3 ⇒ y = 2; x= -1 ⇒ y= -2.
Nhận xét: Đồ thị nhận U(1;0) làm tâm đối xứng.
b. Ta có phương trình:
x3 – 3×2 = m ⇔ x3 – 3×2 + 2= m+ 2.
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt đường thẳng y= m+ 2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi -2 < m+ 2 < 2 hay – 4 < m < 0.
Vậy – 4 < m < 0 là những giá trị cần tìm.
c. Ta có hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị (C’) nhận trục Oy là trục đối xứng để vẽ đồ thị (C’) ta chỉ cần vẽ (C’) nằm phía bên trái hoặc bên phải của trục Oy rồi lấy đối xứng qua Oy ta được phần còn lại.
Vậy dựa vào đồ thị (C), ta vẽ đồ thị (C’) như sau:
* Giữ nguyên phần bên phải trục Oy của đồ thị (C).
* Lấy đối xứng qua trục Oy phần vừa vẽ ở trên ta có được đồ thị của (C’).
d. Ta có phương trình (2)
⇒ số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của hai đồ thị . Dựa vào đồ thị (C’), ta có:
không cắt đồ thị (C’) nên phương trình (2) vô nghiệm.
cắt (C’) tại hai điểm phân biệt nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.
cắt (C’) tại ba điểm phân biệt nên phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.
cắt (C’) tại bốn điểm phân biệt nên phương trình (2) có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 10. Cho hàm số y= 2×3 – 3×2 + 1 có đồ thị là (C).
a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 36 x+ 1
b. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
Lời giải:
a. Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.
Ta có :
x0= – 2 thì y0= – 27 nên phương trình tiếp tuyến y= 36x+ 45
x0 = 3 thì y0 = 28 nên phương trình tiếp tuyến y = 36x+ 80.
b. Phương trình ,số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị :
Dựa vào đồ thị (C’) ta có là những giá trị cần tìm.
c. Điều kiện :
Phương trình ,số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị
Dựa vào đồ thị (C1) suy ra :
m < 0 thì phương trình vô nghiệm
m = 0 thì phương trình có một nghiệm (loại nghiệm x= 1)
0 < m < 1 thì phương trình có đúng bốn nghiệm
m = 1 thì phương trình có đúng ba nghiệm
m > 1 thì phương trình có đúng hai nghiệm.
Bài 11. Cho hàm số y= x3 – 3mx2 (C), với tham số thực m. Lấy 2 điểm A và B thuộc đồ thị.Giả sử tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.
a. Chứng minh rằng trung điểm I của AB nằm trên (C).
b. Tìm giá trị của m để phương trình đường thẳng AB là y= -x- 1. Khi đó viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại .
Lời giải:
a.Ta có: y’= 3×2 – 6mx.
Lấy A(a; a3 – 3ma2); B(b; b3- 3mb2) (a ≠ b)
Tiếp tuyến tại A và B là song song nên:
3a2 – 6ma = 3b2 – 6mb ⇔ 3(a2 – b2) – 6m(a- b)= 0
⇔3(a-b).[ a+ b – 2m] = 0
⇔ a+ b= 2m (vì a ≠ b)
Do I là trung điểm AB nên:
Vậy I thuộc (C).
b. Ta có
Bài 12. Cho hàm số y= x3 – 3×2 + 4 có đồ thị là (C)
a.Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
b. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Lời giải:
a. Ta có y’= 3×2 – 6x.
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm có hoành độ x = 3:
y = y’(3). (x- 3)+ y(3)
Mà y’(3) = 3. 32 – 6.3= 9 và y(3) = 4.
Suy ra phương trình d: y = 9(x – 3) + 4 = 9x – 23 .
b. Hệ số góc của tiếp tuyến của (C):
k= y’(x)= 3×2 – 6x = 3(x- 1)2 – 3 ≥ -3
Do đó, hệ số góc nhỏ nhất là là kmin = – 3.
Dấu “=” xảy ra khi x- 1= 0 hay x= 1.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = y’(1). (x- 1) + y(1) hay y= -3(x- 1)+ 2 = – 3x+ 5.
Bài 13. Cho hàm số (m là tham số).
a. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên R.
b. Tìm các giá trị của tham số m để trên đồ thị của hàm số (1) tồn tại một cặp điểm M , N (M khác N) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
Lời giải:
a. Đạo hàm y’= – x2 + 4(m+1) x – 3(m+ 1) .
Hàm số (1) nghịch biến trên R
b. Ta có M và N đối xứng qua gốc tọa độ O
M và N thuộc đồ thị của hàm số (1) khi và chỉ khi
Cộng hai phương trình (2) và (3) ,vế với vế ta được : (4)
M , N tồn tại khi và chỉ khi (4) có nghiệm 4(m+1) < 0 hay m < – 1.
Bài 14. Cho hàm số y= – x3 – 3×2 + mx+ 4, trong đó m là tham số .
a. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
b. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Lời giải:
a. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi
Hàm số f(x) = 3×2 + 6x liên tục trên
Ta có f’(x)= 6x+ 6 > 0 với mọi x > 0 và f(0) = 0. Từ đó ta được : m ≤ 0
b. Giả sử đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm có hoành độ x1; x2; x3 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng,
suy ra x1 + x3 = 2×2 và x1; x2; x3 là nghiệm của phương trình: x3 + 3×2 – mx – 4 =0 (*)
Nên ta có: x3 + 3×2 – mx – 4= (x- x1). (x- x2). (x- x3)
thay vào (*) ta có được: – 2+ m=0 ⇔ m= 2.
* Với m= 2 thì (*) trở thành:
x3 + 3×2 – 2x – 4= 0
Ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng.
Vậy m= 2 là giá trị cần tìm.
Bài 15. Cho hàm số y= 2×3 + (m- 1)x2 + (m+ 2) x+ 1 (1).
a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 9x – 3.
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu có hoành độ lớn hơn
Lời giải:
a. Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d): y = 9x – 3 thì hệ số góc của ∆ là k= 9
(x0 là hoành độ tiếp điểm của ∆ với (C))
Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y = k(x – x0) + y0
* Khi x0= 1 thì phương trình của ∆ là y = 9(x- 1)+ 6 = 9x – 3 phương trình này bị loại vì khi đó d ≡ ∆
* Khi x0= – 1 thì phương trình d là y = 9(x+ 1) – 4= 9x + 5.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x+ 5
b. Đạo hàm y’= 6×2 + 2(m -1)x + m+ 2
Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu có hoành độ lớn hơn
Phương trình y’ =0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 lớn hơn
* Phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
Khi đó hai nghiệm của phương trình y’= 0 là
Vì x1 < x2 do đó x1; x2 đều lớn hơn khi và chỉ khi
Bài 16. Cho hàm số y= -x3 + 3×2 + 9x – 1 có đồ thị là (C).
a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
b. Tìm m để đường thẳng d : y = (2m- 1)x- 1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0 ; -1); B; C sao cho
c. Tìm những điểm nằm trên (C) mà qua đó vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C).
Lời giải:
a. Ta có y’= – 3×2 + 6x + 9 = -3(x- 1)2 + 12 ≤ 12
Do đó,tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là kmin = 12.
Đẳng thức xảy ra khi x= 1.
Ta có : y(1)= 10 và y’(1) = 12 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm :
y = 12 (x- 1) + 10 hay y= 12x – 2
b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C).
– x3 +3×2 + 9x – 1= (2m- 1)x- 1
⇔x. (x2 – 3x + 2m- 10) = 0
Đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác 0 .
Khi đó : B(x1 ; (2m- 1)x1 – 1) ; C(x2 ;(2m – 1)x2 – 1)
Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M(x0 ; y0) có phương trình :
Để từ A vẽ đến (C) đúng một tiếp tuyến khi và chỉ khi : x0 = 3- 2×0 ⇔ x0 =1
Suy ra, A (1; 10) là điểm cần tìm.
Bài 17. Cho hàm số y = x4 – 2×2 – 1 có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4 – 2×2 – 1= m (*)
Lời giải:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:
* Tập xác định: D= R.
* Chiều biến thiên :
Ta có : y’= 4×3 – 4x = 4x (x2 -1)
Giới hạn của hàm số tại vô cực:
o Bảng biến thiên :
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và (0; 1), đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y(0) = – 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ; giá trị cực tiểu của hàm số là
o Đồ thị : Cho
b . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: x4 – 2×2 – 1= m
Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= m.
Dựa vào đồ thị, ta thấy :
+ Khi m < -2 thì (*) vô nghiệm.
+ Khi thì (*) có 2 nghiệm.
+ Khi -2 < m < -1 thì (*) có 4 nghiệm.
+ Khi m = -1 thì (*) có 3 nghiệm.
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:
- 100 Bài tập Tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải (nâng cao)
- 100 Bài tập Tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải (Nhận biết)
- 100 Bài tập Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (nâng cao)
- 120 Bài tập Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (Nhận biết)
- 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải
