Các dạng bài tập về tích phân có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Tích phân của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$int {{x^alpha }dx = frac{{{x^{alpha + 1}}}}{{alpha + 1}}} + C$ với $alpha ne – 1$;
$int {frac{1}{x}dx = ln left| x right|} + C$
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau
a) $intlimits_0^2 {{x^3}dx} $ b) $intlimits_1^2 {left( {2x – 3} right)dx} $ c) $intlimits_{ – 1}^1 {left( {5{x^4} – 3{x^2}} right)dx} $ d) $intlimits_{ – 1}^2 {{{left( {x – 2} right)}^2}dx} $
Lời giải
a) $intlimits_0^2 {{x^3}dx} = left. {frac{{{x^4}}}{4}} right|_0^2 = frac{1}{4}left( {{2^4} – {0^4}} right) = 4$
b) Cách 1: $intlimits_1^2 {left( {2x + 3} right)dx} = intlimits_1^2 {2xdx} + intlimits_1^2 {3dx} = left. {{x^2}} right|_1^2 + left. {3x} right|_1^2$
$ = left( {{2^2} – {1^2}} right) + 3left( {2 – 1} right) = 6$
Cách 2: $intlimits_1^2 {left( {2x + 3} right)dx} = left. {left( {{x^2} + 3x} right)} right|_1^2 = left( {{2^2} + 3.2} right) – left( {{1^2} + 3.1} right) = 6$
c) $intlimits_{ – 1}^1 {left( {5{x^4} – 3{x^2}} right)dx} = left. {left( {{x^5} – {x^3}} right)} right|_{ – 1}^1 = left( {{1^5} – {1^3}} right) – left( {{{( – 1)}^5} – {{( – 1)}^3}} right) = 0$
d) $intlimits_{ – 1}^2 {{{left( {x – 2} right)}^2}dx} = intlimits_{ – 1}^2 {left( {{x^2} – 4x + 4} right)dx} = left. {left( {frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 4x} right)} right|_{ – 1}^2$
$ = left( {frac{{{2^3}}}{3} – {{2.2}^2} + 4.2} right) – left( {frac{{{{( – 1)}^3}}}{3} – 2{{( – 1)}^2} + 4.( – 1)} right) = 9$
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
a) $intlimits_1^2 {frac{1}{{{x^3}}}dx} $ b) $intlimits_{ – 3}^{ – 1} {frac{4}{{{x^2}}}dx} $ c) $intlimits_1^2 {left( {frac{1}{{{x^4}}} – frac{1}{{{x^5}}}} right)dx} $
Lời giải
a) $intlimits_1^2 {frac{1}{{{x^3}}}dx} = intlimits_1^2 {{x^{ – 3}}dx} = left. { – frac{1}{{2{x^2}}}} right|_1^2 = – frac{1}{2}left( {frac{1}{{{2^2}}} – frac{1}{{{1^2}}}} right) = frac{1}{4}$
b) $intlimits_{ – 3}^{ – 1} {frac{4}{{{x^2}}}dx} = intlimits_{ – 3}^{ – 1} {4{x^{ – 2}}dx} = left. { – frac{4}{x}} right|_{ – 3}^{ – 1} = – 4left( {frac{1}{{ – 1}} – frac{1}{{ – 3}}} right) = frac{8}{3}$
c) $intlimits_1^2 {left( {frac{1}{{{x^4}}} – frac{1}{{{x^5}}}} right)dx} = intlimits_1^2 {left( {{x^{ – 4}} – {x^{ – 5}}} right)dx} = left. {left( { – frac{1}{{3{x^3}}} + frac{1}{{4{x^4}}}} right)} right|_1^2$
$ = left( { – frac{1}{{{{3.2}^3}}} + frac{1}{{{{4.2}^4}}}} right) – left( { – frac{1}{{{{3.1}^3}}} + frac{1}{{{{4.1}^4}}}} right) = frac{{11}}{{192}}$
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
a) $intlimits_1^8 {sqrt[3]{x}dx} $ b) $intlimits_{ – 3}^{ – 1} {frac{1}{x}dx} $ c) $intlimits_e^{{e^3}} {frac{6}{x}dx} $
Lời giải
a) $intlimits_1^8 {sqrt[3]{x}dx} = intlimits_1^8 {{x^{frac{1}{3}}}dx} = left. {frac{{{x^{frac{4}{3}}}}}{{frac{4}{3}}}} right|_1^8 = left. {frac{3}{4}sqrt[3]{{{x^4}}}} right|_1^8$
$ = frac{3}{4}left( {sqrt[3]{{{8^4}}} – sqrt[3]{{{1^4}}}} right) = frac{3}{4}left( {16 – 1} right) = frac{{45}}{4}$
b) $intlimits_{ – 3}^{ – 1} {frac{1}{x}dx} = left. {ln left| x right|} right|_{ – 3}^{ – 1} = ln left| { – 1} right| – ln left| { – 3} right|$ $ = 0 – ln 3 = – ln 3$
c) $intlimits_e^{{e^3}} {frac{6}{x}dx} = 6intlimits_e^{{e^3}} {frac{1}{x}dx} = left. {6ln left| x right|} right|_e^{{e^3}} = 6left( {ln left| {{e^3}} right| – ln left| e right|} right)$
$ = 6left( {3 – 1} right) = 12$
Ví dụ 4. Biết tích phân $I = intlimits_1^2 {left( {3{x^2} + frac{2}{x}} right)dx} = a + bln c$ với $a$, $b$, $c$ là số nguyên tố. Tính giá trị $a + b + c$.
Lời giải
$I = intlimits_1^2 {left( {3{x^2} + frac{2}{x}} right)dx} = left. {left( {{x^3} + 2ln left| x right|} right)} right|_1^2$
$ = left( {{2^3} + 2ln left| 2 right|} right) – left( {{1^3} + 2ln left| 1 right|} right)$
$ = left( {8 + 2ln 2} right) – left( {1 + 0} right) = 7 + 2ln 2$
Vậy $a + b + c = 7 + 2 + 2 = 11$
Ví dụ 5. Biết tích phân $I = intlimits_{ – 2}^{ – 1} {frac{{{x^2} – 3x}}{x}dx} = aln b – frac{c}{d}$ với $a$, $b$, $c$, $d$ là số nguyên tố. Tính giá trị $a + b + c + d$.
Lời giải
$I = intlimits_{ – 2}^{ – 1} {frac{{{x^2} – 3x}}{x}dx} = intlimits_{ – 2}^{ – 1} {left( {x – frac{3}{x}} right)dx} = left. {left( {frac{{{x^2}}}{2} – 3ln left| x right|} right)} right|_{ – 2}^{ – 1}$
$ = left( {frac{{{{( – 1)}^2}}}{2} – 3ln left| { – 1} right|} right) – left( {frac{{{{( – 2)}^2}}}{2} – 3ln left| { – 2} right|} right)$
$ = frac{1}{2} – left( {2 – 3ln 2} right) = 3ln 2 – frac{3}{2}$
Vậy $a + b + c + d = 3 + 2 + 3 + 2 = 10$
Dạng 2. Tích phân của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$int {cosxdx = sin x} + C$; $int {cosleft( {ax + b} right)dx = frac{1}{a}sin left( {ax + b} right)} + C$;
$int {sin xdx = – cosx} + C$; $int {sin left( {ax + b} right)dx = – frac{1}{a}cosxleft( {ax + b} right)} + C$;
$int {frac{1}{{co{s^2}x}}dx = tan x} + C$;
$int {frac{1}{{{{sin }^2}x}}dx = – cot x} + C$;
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau
a) $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {cosxdx} $ b) $intlimits_0^{frac{pi }{2}} {3sin xdx} $ c) $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{3}} {frac{7}{{co{s^2}x}}dx} $ d) $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {left( {5cosx – frac{4}{{{{sin }^2}x}}} right)dx} $
Lời giải
a) $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {cosxdx} = left. {sin x} right|_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} = sin frac{pi }{2} – sin frac{pi }{4} = 1 – frac{{sqrt 2 }}{2}$
b) $intlimits_0^{frac{pi }{2}} {3sin xdx} = left. { – 3cosx} right|_0^{frac{pi }{2}} = – 3left( {cosfrac{pi }{2} – cos0} right) = – 3left( {0 – 1} right) = 3$
c) $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{3}} {frac{7}{{co{s^2}x}}dx} = left. {7tan x} right|_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{3}} = 7left( {tan frac{pi }{3} – tan frac{pi }{4}} right) = 7left( {sqrt 3 – 1} right)$
d) $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {left( {5cosx – frac{4}{{{{sin }^2}x}}} right)dx} = left. {left( {5sinx + 4cot x} right)} right|_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}$
$ = left( {5sinfrac{pi }{2} + 4cot frac{pi }{2}} right) – left( {5sinfrac{pi }{4} + 4cot frac{pi }{4}} right)$
$ = left( {5.1 + 4.0} right) – left( {5.frac{{sqrt 2 }}{2} + 4.1} right) = 1 – frac{{5sqrt 2 }}{2}$
Ví dụ 7. Biết tích phân $I = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {left( {frac{9}{{co{s^2}x}} – 4sin x} right)dx} = asqrt b + c$ với $a$, $b$, $c$ là số nguyên tố. Tính giá trị $a + b + c$.
Lời giải
$I = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {left( {frac{9}{{co{s^2}x}} – 4sin x} right)dx} = left. {left( {9tan x + 4cosx} right)} right|_0^{frac{pi }{4}}$
$ = left( {9tan frac{pi }{4} + 4cosfrac{pi }{4}} right) – left( {9tan 0 + 4cos0} right)$
$ = left( {9.1 + 4.frac{{sqrt 2 }}{2}} right) – left( {9.0 + 4.1} right) = 2sqrt 2 + 5$
Vậy $a + b + c = 2 + 2 + 5 = 9$
Ví dụ 8. Biết tích phân $I = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {left[ {{{left( {sin frac{x}{2} + cosfrac{x}{2}} right)}^2} + 2} right]dx} = api + b$ với $a$, $b$, $c$ là số nguyên. Tính giá trị $3a + 4b$.
Lời giải
$I = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {left[ {{{left( {sin frac{x}{2} + cosfrac{x}{2}} right)}^2} + 2} right]dx} $
$ = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {left[ {{{sin }^2}frac{x}{2} + 2sin frac{x}{2}cosfrac{x}{2} + co{s^2}frac{x}{2} + 2} right]dx} $
$ = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {left[ {{{sin }^2}frac{x}{2} + co{s^2}frac{x}{2} + 2sin frac{x}{2}cosfrac{x}{2} + 2} right]dx} $
$ = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {left[ {1 + 2sin x + 2} right]dx} = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {left[ {3 + 2sin x} right]dx} $
$ = left. {left( {3x – 2cosx} right)} right|_0^{frac{pi }{3}} = left( {3.frac{pi }{3} – 2cosfrac{pi }{3}} right) – left( {3.0 – 2cos0} right)$
$ = left( {pi – 1} right) – left( {0 – 2.1} right) = pi + 1$
Vậy $3a + 4b = 3.1 + 4.1 = 7$.
Dạng 3. Tích phân của hàm số mũ
Chú ý:
$int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $int {{e^{ax + b}}dx = frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$int {{a^x}dx = frac{{{a^x}}}{{ln a}}} + C$
Ví dụ 9. Tính các tích phân sau
a) $intlimits_0^{1} {6{e^x}dx} $ b) $intlimits_{ln 2}^{ln 11} {{e^x}dx} $ c) $intlimits_0^{{{log }_5}19} {{5^x}dx} $ d) $intlimits_{frac{1}{4}}^{1} {{e^{4x}}dx} $.
Lời giải
a) $intlimits_0^{1} {6{e^x}dx} = left. {6{e^x}} right|_0^1 = 6left( {{e^1} – {e^0}} right) = 6left( {e – 1} right)$
b) $intlimits_{ln 2}^{ln 11} {{e^x}dx} = left. {{e^x}} right|_{ln 2}^{ln 11} = {e^{ln 11}} – {e^{ln 2}} = 11 – 2 = 9$
c) $intlimits_0^{{{log }_5}19} {{5^x}dx} = left. {frac{{{5^x}}}{{ln 5}}} right|_0^{{{log }_5}19} = frac{{{5^{{{log }_5}19}}}}{{ln 5}} – frac{{{5^0}}}{{ln 5}}$ $ = frac{{19}}{{ln 5}} – frac{1}{{ln 5}} = frac{{18}}{{ln 5}}$
d) $intlimits_{frac{1}{4}}^{1} {{e^{4x}}dx} = left. {frac{1}{4}{e^{4x}}} right|_{frac{1}{4}}^1 = frac{1}{4}left( {{e^4} – {e^1}} right) = frac{1}{4}left( {{e^4} – e} right)$.
Ví dụ 10. Biết tích phân $I = intlimits_0^4 {left( {3{e^x} + 4x} right)dx} = a.{e^b} + c$ với $a$, $b$, $c$ là số nguyên. Tính giá trị $a + b + c$.
Lời giải
$I = intlimits_0^4 {left( {3{e^x} + 4x} right)dx} = left. {left( {3{e^x} + 2{x^2}} right)} right|_0^4$
$ = left( {3{e^4} + {{2.4}^2}} right) – left( {3{e^0} + {{2.0}^2}} right) = 3{e^4} + 29$
Dạng 4. Tích phân sử dụng các tính chất
Chú ý:
• $intlimits_a^b {kfleft( x right)dx} = kintlimits_a^b {fleft( x right)dx} $, với $k$ là hằng số.
• $intlimits_a^b {left[ {fleft( x right) + gleft( x right)} right]operatorname{dx} } = intlimits_a^b {fleft( x right)operatorname{dx} } + intlimits_a^b {gleft( x right)operatorname{dx} } $
• $intlimits_a^b {left[ {fleft( x right) – gleft( x right)} right]operatorname{dx} } = intlimits_a^b {fleft( x right)operatorname{dx} } – intlimits_a^b {gleft( x right)operatorname{dx} } $
• $intlimits_a^b {fleft( x right)operatorname{dx} } = intlimits_a^c {fleft( x right)operatorname{dx} } + intlimits_c^b {fleft( x right)operatorname{dx} } $ với $c in left( {a;b} right)$
Ví dụ 11. Cho $intlimits_1^3 {f(x)dx = 5} $. Tính các tích phân sau
a) $intlimits_1^3 {7f(x)dx} $ b) $intlimits_1^3 {left[ {1 + f(x)} right]dx} $ c) $intlimits_1^3 {left[ {2x – 5f(x)} right]dx} $ d) $intlimits_1^3 {left[ {2f(x) – frac{8}{x}} right]dx} $
Lời giải
a) $intlimits_1^3 {7f(x)dx = 7} intlimits_1^3 {f(x)dx} = 7.5 = 35$
b) $intlimits_1^3 {left[ {1 + f(x)} right]dx} = intlimits_1^3 {1dx} + intlimits_1^3 {f(x)dx} $$ = left. x right|_1^3 + 5 = 3 – 1 + 5 = 7$
c) $intlimits_1^3 {left[ {2x – 5f(x)} right]dx} = intlimits_1^3 {2xdx} + intlimits_1^3 {5f(x)dx} $
$ = left. {{x^2}} right|_1^3 + 5intlimits_1^3 {f(x)dx} = 8 + 5.5 = 33$
d) $intlimits_1^3 {left[ {2f(x) – frac{8}{x}} right]dx} = intlimits_1^3 {2f(x)dx} – intlimits_1^3 {frac{8}{x}dx} $
$ = 2intlimits_1^3 {f(x)dx} – 8intlimits_1^3 {frac{1}{x}dx} = 2.5 – 8left. {ln left| x right|} right|_1^3 = 10 – 8ln 3$
Ví dụ 12. Cho $intlimits_1^2 {f(x)dx = 3} $ và $intlimits_2^5 {f(x)dx = 11} $. Tính tích phân sau $intlimits_1^5 {f(x)dx} $.
Lời giải
Ta có $intlimits_1^5 {f(x)dx} = intlimits_1^2 {f(x)dx + intlimits_2^5 {f(x)dx} } = 3 + 11 = 14$
Ví dụ 13. Cho $intlimits_0^1 {f(x)dx = 10} $ và $intlimits_0^7 {f(x)dx} = 18$. Tính tích phân sau $intlimits_1^7 {f(x)dx} $.
Lời giải
Ta có $intlimits_0^7 {f(x)dx} = intlimits_0^1 {f(x)dx + intlimits_1^7 {f(x)dx} } $
$ Rightarrow intlimits_1^7 {f(x)dx} = intlimits_0^7 {f(x)dx} – intlimits_0^1 {f(x)dx} = 18 – 10 = 8$
Ví dụ 14. Cho $intlimits_1^9 {f(x)dx = 4} $ và $intlimits_7^9 {f(x)dx = } 1$. Tính tích phân sau $intlimits_1^7 {6f(x)dx} $.
Lời giải
Ta có $intlimits_1^7 {6f(x)dx} = 6intlimits_1^7 {f(x)dx} = 6left( {intlimits_1^9 {f(x)dx – intlimits_7^9 {f(x)dx} } } right)$
$ = 6left( {4 – 1} right) = 18$
Dạng 5. Tích phân có chứa giá trị tuyệt đối
Ví dụ 15. Tính các tích phân sau
a) $intlimits_0^3 {left| {2x – 2} right|dx} $ b) $int_{ – 2}^3 | 2 – x|dx$ c) $intlimits_0^2 {left| {1 – {x^2}} right|dx} $ d) $int_0^{2pi } | sin x|dx$
Lời giải
a) $intlimits_0^3 {left| {2x – 2} right|dx} $
Ta có: $left| {2x – 2} right| = left{ begin{gathered} 2x – 2,,khi,,2x – 2 geqslant 0, hfill – 2x + 2,,khi,,2x – 2 < 0,,, hfill end{gathered} right.$
$ = left{ begin{gathered} 2x – 2,,khi,,x geqslant 1, hfill – 2x + 2,,khi,,x < 1,,, hfill end{gathered} right.$
Khi đó $intlimits_0^3 {left| {2x – 2} right|dx} = intlimits_0^1 {left| {2x – 2} right|dx} + intlimits_1^3 {left| {2x – 2} right|dx} $
$ = – intlimits_0^1 {left( {2x – 2} right)dx} + intlimits_1^3 {left( {2x – 2} right)dx} $$ = – left. {left( {{x^2} – 2x} right)} right|_0^1 + left. {left( {{x^2} – 2x} right)} right|_1^3$
$ = 1 + 4 = 5$
b) Ta có: $left| {2 – x} right| = left{ begin{gathered} 2 – x,,khi,,2 – x geqslant 0, hfill – left( {2 – x} right),,khi,,2 – x < 0,,, hfill end{gathered} right.$$ = left{ begin{gathered} 2 – x,,khi,,x leqslant 2, hfill – left( {2 – x} right),,khi,,x > 2,,, hfill end{gathered} right.$
Khi đó $int_{ – 2}^3 | 2 – x|dx = int_{ – 2}^2 | 2 – x|dx + int_2^3 | 2 – x|dx$
$ = int_{ – 2}^2 {(2 – x)} dx – int_2^3 {(2 – x)} dx$
$ = left. {left( {2x – frac{{{x^2}}}{2}} right)} right|_{ – 2}^2 – left. {left( {2x – frac{{{x^2}}}{2}} right)} right|_2^3 = frac{{17}}{2}$
c) $intlimits_0^2 {left| {1 – {x^2}} right|dx} $
Ta có $1 – {x^2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} x = 1 hfill x = – 1 hfill end{gathered} right.$
Bảng xét dấu
Khi đó $intlimits_0^2 {left| {1 – {x^2}} right|dx} = intlimits_0^1 {left| {1 – {x^2}} right|dx} + intlimits_1^2 {left| {1 – {x^2}} right|dx} $
$ = intlimits_0^1 {left( {1 – {x^2}} right)dx} – intlimits_1^2 {left( {1 – {x^2}} right)dx} $
$ = left. {left( {x – frac{{{x^2}}}{3}} right)} right|_0^1 – left. {left( {x – frac{{{x^2}}}{3}} right)} right|_1^3 = frac{2}{3} – left( { – frac{2}{3}} right) = frac{4}{3}$
d) $int_0^{2pi } | sin x|dx = int_0^pi | sin x|dx + int_pi ^{2pi } | sin x|dx$
$ = int_0^pi {sin } x;dx – int_pi ^{2pi } {sin } x;dx = – left. {cos x} right|_0^pi + left. {cos x} right|_pi ^{2pi } = 4$
Ví dụ 16. Cho $intlimits_1^2 {h(x)dx = 9} $ và $intlimits_2^{10} {h(x)dx = } – 3$. Biết $h(x) = left{ begin{gathered} h(x),,khi,,1 leqslant x leqslant 2, hfill – h(x),,khi,,2 < x leqslant 10 hfill end{gathered} right.$. Tính các tích phân sau:
a) $intlimits_1^{10} {h(x)dx} $; b) $intlimits_1^{10} {left| {h(x)} right|dx} $
Lời giải
a) $intlimits_1^{10} {h(x)dx} = intlimits_1^2 {h(x)dx} + intlimits_2^{10} {h(x)dx} = 9 – 3 = 6$.
b) Ta có $intlimits_1^{10} {left| {h(x)} right|dx} = intlimits_1^2 {left| {h(x)} right|dx} + intlimits_2^{10} {left| {h(x)} right|dx} $
$ = intlimits_1^2 {h(x)dx} – intlimits_2^{10} {h(x)dx} = 9 + 3 = 12$
Dạng 6. Một số bài toán ứng dụng thực tiễn
Phương pháp:
– Quảng đường di chuyển của một vật trong khoảng thời gian từ $a$ đến $b$ là $s = intlimits_a^b {v(t)dt} $
– Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ {a;b} right]$. Khi đó $frac{1}{{b – a}}intlimits_a^b {fleft( x right)dx} $ được gọi là giá trị trung bình của hàm số $fleft( x right)$ trên đoạn $left[ {a;b} right]$.
Ví dụ 17. Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 2 – sin t(;m/s)$. Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 0$ (s) đến thời điểm $t = frac{pi }{2}(;s)$.
Lời giải
Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 0$ (s) đến thời điểm $t = frac{pi }{2}(;s)$ là:
$s = intlimits_a^b {v(t)dt} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {2 – sin t} right)dt} = left. {left( {2t + cost} right)} right|_0^{frac{pi }{2}}$
$ = left( {2.frac{pi }{2} + cosfrac{pi }{2}} right) – left( {2.0 + cos0} right) = pi – 1,(m)$
Ví dụ 18. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ ($m/s$) của xe thay đổi theo thời gian $t$ (giây) được tính theo công thức $v(t) = 20 – 5t$ $(0 leqslant t leqslant 4)$.
Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?
Lời giải
Xe dừng khi $v(t) = 0 Leftrightarrow 20 – 5t = 0 Leftrightarrow t = 4$
Khi đó, quãng đường xe di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng là
$s = int_0^4 v (t)dt = int_0^4 {(20 – 5t)} dt = left. {left( {20t – frac{{5{t^2}}}{2}} right)} right|_0^4 = 40(;m).$
Ví dụ 19. Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $vleft( t right) = frac{1}{{100}}{t^2} + frac{{13}}{{30}}t left( {m/s} right)$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn $10$ giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a left( {m/{s^2}} right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được $15$ giây thì đuổi kịp $A$. Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có ${v_B}left( t right) = int {a.dt} = at + C$, ${v_B}left( 0 right) = 0 Rightarrow C = 0$ $ Rightarrow {v_B}left( t right) = at$.
Quãng đường chất điểm $A$ đi được trong $25$ giây là
${S_A} = intlimits_0^{25} { left( {frac{1}{{100}}{t^2} + frac{{13}}{{30}}t } right)dt} $$left. { = left( {frac{1}{{300}}{t^3} + frac{{13}}{{60}}{t^2}} right)} right|_0^{25} = frac{{375}}{2}$ Quãng đường chất điểm $B$ đi được trong $15$ giây là
${S_B} = intlimits_0^{15} {at.dt} $$left. { = frac{{a{t^2}}}{2}} right|_0^{15} = frac{{225a}}{2}$.
Ta có $frac{{375}}{2} = frac{{225a}}{2} Leftrightarrow a = frac{5}{3}$.
Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ là ${v_B}left( {15} right) = frac{5}{3}.15 = 25 left( {m/s} right)$.
Ví dụ 20. Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình dưới.
a) Tính quãng đường và vận tốc trung bình mà vật di chuyển được trong 3 giây đầu tiên.
b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 5 giây đầu tiên.
Lời giải
a) Trong 3 giây đầu tiên, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng nên có dạng $v(t) = at + b$.
Do đồ thị đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(3;3)$ nên ta có: $left{ begin{gathered} 0 = a.0 + b hfill 3 = a.3 + b hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} b = 0 hfill a = 1 hfill end{gathered} right.$
Suy ra, $v(t) = t$.
Vậy
– Quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giây đầu tiên là:
${s_1} = intlimits_a^b {v(t)dt} = intlimits_0^3 {tdt} = left. {frac{{{t^2}}}{2}} right|_0^3 = frac{9}{2},(m)$
– Vận tốc trung bình mà vật di chuyển được trong 3 giây đầu tiên là:
${v_1} = frac{{{s_1}}}{{3 – 0}} = frac{{frac{9}{2}}}{3} = frac{3}{2},(m/s)$
b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 5.
Trong giây thứ 3 đến giây thứ 5, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;3)$ và song song với trục $Ot$ nên có phương trình $v(t) = 3$
Suy ra, quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 là:
${s_2} = intlimits_3^5 {v(t)dt} = intlimits_3^5 {3dt} = left. {3t} right|_3^5 = 6,(m)$
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 5 giây đầu tiên là $s = {s_1} + {s_2} = frac{9}{2} + 6 = 10,5,m$.
