Giao tuyến của 2 mặt phẳng là một nội dung quan trọng, được đề cập nhiều trong phần bài tập cũng như trong các bài kiểm tra trong chương trình môn Toán lớp 11. Bài viết sau đây nhằm trình bày các nội dung: giao tuyến của 2 mặt phẳng là gì? Cách xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng cũng như một số bài tập liên quan. Để hiểu rõ hơn về những nội dung nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.
1. Giao tuyến của 2 mặt phẳng là gì?
+ Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng nối các điểm chung của 2 mặt phẳng đó
2. Cách tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
+ Tìm ra hai điểm chung của mặt phẳng thứ nhất và mặt phẳng thứ hai
+ Nối hai điểm chung vừa tìm được ở trên ta được một đường thẳng. Đường thẳng này chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng
* Chú ý: Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa 2 đường thẳng a và b, trong đó: a // b và M là điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó, giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng Mx, trong đó: Mx // a // b
3. Ví dụ về xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang (AD // BC). Hãy xác định:
a. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (SBC)
b. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Giải
a. Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (SBC)
+ Ta có: S (SAB) và S (SBC)
S là điểm chung của 2 mặt phẳng (SAB) và (SBC) (1)
+ Ta có: B (SAB) và B (SBC)
B là điểm chung của 2 mặt phẳng (SAB) và (SBC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SB là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (SBC)
b. Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Vì AB và CD là 2 đường thẳng không song song với nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ABCD)
Nên gọi K là giao điểm của AB và CD
+ Ta có:
K AB mà AB (SAB) nên K (SAB)
K CD mà CD (SCD) nên K (SCD)
Vậy, K là điểm chung của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) (3)
+ Ta có: S (SAB) và S (SCD)
Vậy, S là điểm chung của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) (4)
Từ (3), (4) ta có: SK là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD)
4. Bài tập xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng
4.1. Câu hỏi trắc nghiệm
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, H là hình chiếu của S trên cạnh AB. Hãy trả lời các câu hỏi từ câu 1 đến câu 3
Câu 1: Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SHC) và (ABCD) là:
- Đường thẳng SH
- Đường thẳng AC
- Đường thẳng HC
- Đường thẳng HB
ĐÁP ÁN
+ Ta có:
H AB mà AB (ABCD) nên H (ABCD)
Và H (SHC)
Do đó, H là điểm chung của 2 mặt phẳng (SHC) và (ABCD)
+ Ta có: C (SHC) và C (ABCD)
Do đó, C là điểm chung của 2 mặt phẳng (SHC) và (ABCD)
Vậy, HC là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SHC) và (ABCD)
Chọn câu C
Câu 2: Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SHC) và (SBD) là:
- Đường thẳng HC
- Đường thẳng BD
- Đường thẳng SO với O là giao điểm của AC và BD
- Đường thẳng SO với O là giao điểm của HC và BD
ĐÁP ÁN
HC và BD là 2 đường thẳng không song song nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ABCD)
Gọi O là giao điểm của 2 đường thẳng HC và BD
+ Ta có:
O HC mà HC (SHC) nên O (SHC)
O BD mà BD (SBD) nên O (SBD)
Do đó, O là điểm chung của 2 mặt phẳng (SHC) và (SBD)
+ Ta có: S (SHC) và S (SBD)
Do đó, S là điểm chung của 2 mặt phẳng (SHC) và (SBD)
Vậy, SO là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SHC) và (SBD)
Chọn câu D
Câu 3: Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SHC) và (SAD) là:
- Không thể xác định
- Đường thẳng SA
- Đường thẳng SK với K là hình chiếu của S trên cạnh CD
- Đường thẳng SK với K là giao điểm của AD và HC
ĐÁP ÁN
Vì HC và AD là hai đường thẳng không song song với nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ABCD).
Nên gọi K là giao điểm của HC và AD.
+ Ta có: S (SHC) và S (SAD)
Do đó, S là điểm chung của 2 mặt phẳng (SHC) và (SAD)
+ Ta có:
K HC mà HC (SHC) nên K (SHC)
K AD mà AD (SAD) nên K (SAD)
Do đó, K là điểm chung của 2 mặt phẳng (SHC) và (SAD)
Vậy, SK là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SHC) và (SAD) với K là giao điểm của AD và HC
Chọn câu D
4.2. Bài tập tự luận
Câu 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC, K là một điểm nằm trong tam giác SBC. Hãy tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SKC) và (ABC)
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
Vì K là một điểm nằm trong tam giác SBC nên gọi M là giao điểm của SK và BC.
+ Ta có: C (SKC) và C (ABC)
Do đó, C là điểm chung của 2 mặt phẳng (SKC) và (ABC)
+ Ta có:
M SK mà SK (SKC) nên M (SKC)
M BC mà BC (ABC) nên M (ABC)
Do đó, M là điểm chung của 2 mặt phẳng (SKC) và (ABC)
Vậy, CM là giao tuyễn của 2 mặt phẳng (SKC) và (ABC)
Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Hãy tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’D’)
ĐÁP ÁN
+ Ta có: C’ (ABC’) và C’ (A’B’C’D’)
Do đó, C’ là điểm chung của 2 mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’D’)
+ Ta có: AB // A’B’ mà AB (ABC’) và A’B’ (A’B’C’D’)
Nên giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’D’) là đường thẳng đi qua C’ và song song với AB, A’B’
Vậy, C’D’ là giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’D’)
Trên đây là phần tóm tắt cách xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng và một số bài tập liên quan. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể giải quyết nhiều bài tập liên quan hơn nữa. Đồng thời ôn tập, củng cố kiến thức để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
