KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Chữ số tận cùng là các chữ số khác 0.
– Chữ số tận cùng của tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
– Chữ số tận cùng của tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
– Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + …… + 9 có chữ số tận cựng bằng 5.
– Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số lẻ có tận cùng là 5.
– Tích hai số có chữ số tận cùng là các số tự nhiên liên tiếp chỉ có thể cho kết quả có các chữ số tận cùng là: 0, 2 hoặc 6.
– Tích của 4 thừa số 3 (3 x 3 x 3 x 3) có tận cùng là 1.
– Tích của 4 thừa số 2 (2 x 2 x 2 x 2) có tận cùng là 6.
– Tích của 4 thừa số 9 ( 9 x 9 x 9 x 9) có tận cùng là 1.
– Tích các số có tận cùng là 1 có tận cùng là 1.
– Tích của tất cả các số có tận cùng là 6 có tận cùng là 6.
– Tích của chẵn các thừa số 4 ( 4 x 4 = 16) có tận cùng là 6
– Tích của lẻ các thừa số 4 ( 4 x 4 x 4 = 64) có tận cùng là 4.
2. Chữ số tận cùng là các chữ số 0
– Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số chẵn có tận cùng là 0.
– Khi nhân một số (khác số tròn chục, tròn trăm..) với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80; 90 ta được tích là số só tận cùng là một chữ số 0.
– Các số 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85; 95; 105; 115; 135; 145; 165;….. khi nhân với một số chẵn ta được tích là số có tận cùng là một chữ số 0.
– Các số 25; 50; 75 khi nhân với một số chia hết chia 4 ta được tích là số có tận cùng là hai chữ số 0.
– Tích của hai số có chữ số không tận cùng giống nhau chỉ có thể có chữ số tận cùng 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 (không thể tận cùng bằng 2; 3; 7 hoặc 8)
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:
(2011 + 2012 +….+ 2019) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109)
Giải:
Ta thấy 2011 + 2012 +….+ 2019 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số:
1 + 2 + 3 + …+ 9 => 2011 + 2012 +….+ 2019 có chữ số tận cùng là 5
Tương tự 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 cũng có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số:
1 + 2 + 3 + …+ 9 => 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 có chữ số tận cùng là 5
Vậy (2011 + 2012 +….+ 2019) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109) có chữ số tận cùng la 0.
Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của biểu thức:
13 x 45 x 137 x 359 x 657 – 71 x 73 x 75 x 79
Giải:
Tìm chữ số tận cùng của 13 x 45 x 137 x 359 x 657
Ta xét 3 x 5 x 7 x 9 x 7 là tích của số 5 và các số lẻ nên có tận cùng là 5
=> 13 x 45 x 137 x 359 x 657 có chữ số tận cùng là 5
Tương tự ta có: 71 x 73 x 75 x 79 có chữ số tận cùng là 5
Vậy 13 x 45 x 137 x 359 x 657 – 71 x 73 x 75 x 79 có chữ số tận cùng là 0
Ví dụ 3. Tìm chữ số tận cùng của A = 3 x 3 x ….x 3 ( 100 thừa số 3)
Giải:
Ta có: 3 x 3 x 3 x 3 = 81, tích của 4 chữ số 3 cho chữ số tận cùng bằng chữ số 1.
Vì 100 : 3 = 33 dư 1
Vậy 100 thừa số 3 ta nhóm được 33 nhóm (mỗi nhóm 4 thừa số 3) và dư ra 1 thừa số 3
A = ( 3 x 3 x 3 x 3 ) x ….x ( 3 x 3 x 3 x 3) x 3
Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 1
Vậy tích A có chữ số tận cùng là 3.
Ví dụ 3: Tích sau tận cùng bằng chữ số nào?
B = 4 x 14 x 24 x 34 x ….x 164
Giải:
Tích trên có số thừa số: (164 – 4) : 10 + 1 = 17 ( thừa số)
Ta có: 4 x 4 = 16, tích của 2 chữ số 4 cho chữ số tận cùng bằng chữ số 6.
Vì 17 : 2 = 8 dư 1
Vậy 17 thừa số trên ta nhóm được 8 nhóm ( mỗi nhóm 2 thừa số ) và dư ra 1 thừa số.
B = ( 4 x 14) x (24 x 34) x …. x (144 x 154) x 164
Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 6, số 164 có tân cùng là 4
Vậy B có chữ số tận cùng là 4.
Ví dụ 4: Cho X = A – B, biết:
A = 3 x 13 x 23 x…….x 2003 x 2013
B = 2 x 12 x 22 x ……..x 2002 x 2012
Hỏi X có chia hết cho 5 không?
Giải:
A có số các thừa số là: (2013 – 3) : 10 + 1 = 202 (thừa số)
B có số các thừa số là: (2012 – 2) : 10 + 1 = 202 (thừa số)
Ta thấy tích của 4 thừa số tận cùng là 3 sẽ có chữ số tận cùng là 1.
Vì 202 : 4 = 50 dư 2
Vậy A là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số tận cùng là 3) và dư ra 2 thừa số tận cùng là 3
=> A có tận cùng là 9.
Tương tự như trên: Tích của 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2 có tận cùng là 6.
Vì 202 : 4 = 50 dư 2
Vậy B là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2) và dư ra 2 thừa số có chữ số tận cùng là 2.
=> B tận cùng là 4.
Vậy X có tận cùng là 5 vì 9 – 4 = 5 nên X chia hết cho 5.
Ví dụ 5: Tích A = 4 x 11 x 15 x 6 x 17 x 25 x 45 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Giải:
Tích của 4 và 25 có 2 chữ số 0 tận cùng
Tích của 6 và 45 có 1 chữ số 0 tận cùng
Vậy A có 3 chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ 6: Cho M = 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x … x 89.
Hỏi M có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Giải:
– Tích có các thừa số: 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85 khi nhân với một số chẵn có tận cùng là một chữ số 0. Vậy có 7 chữ số 0.
– Tích có các số tròn chục là: 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80 . Do đó có 7 chữ số 0 tận cùng.
– Tích có các thừa số: 25; 50; 75 khi nhân mỗi thừa số với một số chia hết cho 4 có tận cùng là 2 chữ số 0. Do đó có tận cùng là 6 chữ số 0.
– Vậy M có số chữ số 0 tận cùng là: 7 + 7 + 6 = 20 (chữ số)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của: A = 9 x 19 x 29 x … x 2019
Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của: A = 2 x 2 x 2 x … x 2 (101 số 2)
Bài 3. Tìm chữ số tận cùng của: A = 1 x 6 + 6 x 11 + 11 x 16 + 16 x 21 + … + 2011 x 2016
Bài 4. Tìm chữ số tận cùng của: A = 1×3+3×5+5×7+…+101×103
Tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:
A = 1 x 6 + 6 x 9 + 11 x 16 + 16 x 19 + 21 x 26 + 26 x 29 + … + 2011 x 2016 + 2016 x 2019
Bài 5. Xét tích: S=1×2×3×4×5×6×…×47×48×49
Tích trên có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng đứng liền nhau ?
Bài 6. Xét tích: S=1×2×3×4×5×6×…×17×18×19
Tích trên có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng đứng liền nhau ?
Bài 7. Xét tích: A=2×6×12×20×30×…×2450
Tích trên có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng đứng liền nhau ?
