Hệ thống kiến thức hình Oxyz

Hệ thống kiến thức hình Oxyz

Hệ thống kiến thức hình Oxyz được VnDoc.com sưu tầm và đăng tải xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

HOT: Đáp án Toán THPT Quốc gia 2023

1. Tọa độ điểm và véctơ

Hệ toa độ trong không gian gồm ba trục (Ox,Oy,Oz) đôi một vuông góc, các véc tơ đơn vị tương ứng trên ba trục lần lượt là: (overrightarrow{i} = (1;0;0),overrightarrow{j} = (0;1;0),overrightarrow{k} = (0;0;1))

(overrightarrow{u}(x;y;z) Leftrightarrow overrightarrow{u} = xoverrightarrow{i} + yoverrightarrow{j} + zoverrightarrow{k}).

(overrightarrow{u} = (x;y;z) Rightarrow |overrightarrow{u}| = sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})

(overrightarrow{AB} = left( x_{B} – x_{A};y_{B} – y_{A};z_{B} – z_{A} right))

(AB = BA = |overrightarrow{AB}| = sqrt{left( x_{B} – x_{A} right)^{2} + left( y_{B} – y_{A} right)^{2} + left( z_{B} – z_{A} right)^{2}}).

Nếu I là trung điểm của AB thì (Ileft( frac{x_{A} + x_{B}}{2};frac{y_{A} + y_{B}}{2};frac{z_{A} + z_{B}}{2} right))

Nếu G là trọng tâm của (bigtriangleup ABC) thì (Gleft( frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3};frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3};frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} right))

ABCD là hình bình hành (Leftrightarrow overrightarrow{AB} = overrightarrow{DC}).

2. Tích vô hướng hai vectơ và ứng dụng

a) Tích vô hướng: Cho (overrightarrow{u}left( x_{1};y_{1};z_{1} right)&overrightarrow{v}left( x_{2};y_{2};z_{2} right)). Ta có:

(overrightarrow{u} cdot overrightarrow{v} = |overrightarrow{u}| cdot |overrightarrow{v}| cdot cos(overrightarrow{u},overrightarrow{v}))

(overrightarrow{u} cdot overrightarrow{V} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}).

(overrightarrow{u}botoverrightarrow{v} Leftrightarrow overrightarrow{u} cdot overrightarrow{v} = 0 Leftrightarrow x_{1} cdot x_{2} + y_{1} cdot y_{2} + z_{1} cdot z_{2} = 0)

b) Tích hữu hướng: Cho hai vectơ (overrightarrow{u}left( x_{1};y_{1};z_{1} right)) và (overrightarrow{v}left( x_{2};y_{2};z_{2} right)). Ta có:

(|lbrackoverrightarrow{u},overrightarrow{V}rbrack| = |overrightarrow{u}| cdot |overrightarrow{V}| cdot sin(overrightarrow{u},overrightarrow{V})).

(lbrackoverrightarrow{u},overrightarrow{V}rbrack = left( left| begin{matrix} y_{1} & z_{1} y_{2} & z_{2} end{matrix} right|;left| begin{matrix} z_{1} & x_{1} z_{2} & x_{2} end{matrix} right|;left| begin{matrix} x_{1} & y_{1} x_{2} & y_{2} end{matrix} right| right)).

(overrightarrow{u}&overrightarrow{V}) cùng phương (Leftrightarrow lbrackoverrightarrow{u},overrightarrow{V}rbrack = overrightarrow{0} Leftrightarrow frac{x_{2}}{x_{1}} = frac{y_{2}}{y_{1}} = frac{z_{2}}{z_{1}})

Diện tích tam giác: (S_{ABC} = frac{1}{2}|lbrackoverrightarrow{AB},overrightarrow{AC}rbrack|)

Diện tích hình bình hành: (S_{ABCD} = {lbrackoverrightarrow{AB},overrightarrow{AD}rbrack)

c) Tích hỗn hợp (hỗn tạp):

(overrightarrow{u},overrightarrow{v},overrightarrow{w}) đồng phẳng (Leftrightarrow lbrackoverrightarrow{u},overrightarrow{V}rbrack cdot overrightarrow{W} = 0)

A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện (Leftrightarrow overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} ;overrightarrow {AD}) không đồng phẳng.

Thể tích khối hộp ({V_{ABCD.A’B’C’D’}} = left| {left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AD} } right]overrightarrow {AA’} } right|)

Thể tích tứ diện ({V_{ABCD}} = frac{1}{6}left| {left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right]overrightarrow {AD} } right|)

3. Phương trình mặt cầu

Dạng 1: Phương trình mặt cầu ((S)) có tâm (I(a;b;c)) và bán kính R :

((x – a)^{2} + (y – b)^{2} + (z – c)^{2} = R^{2})

Dạng 2: (x^{2} + y^{2} + z^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0) (với (left. a^{2} + b^{2} + c^{2} – d > 0 right)) là phương trình mặt cầu có tâm (I(a;b;c)) và bán kính (R = sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} – d})

Chú ý:

(d(I,(P)) > R Rightarrow) mặt phẳng ((P)) và mặt cầu ((S)) không có điểm chung.

(d(I,(P)) = R Rightarrow (P)) và ((S)) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm (M(M) là hình chiếu của I lên ((P)) ).

(d(I,(P)) < R Rightarrow (P)) và ((S)) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có bán kính(r = sqrt{R^{2} – d^{2}}) và tâm H của là hình chiếu của I lên mặt phẳng ((P)).

4. Mặt phẳng

a) Phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng qua điểm (Mleft( x_{0};y_{0};x_{0} right)) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow{n}(A;B;C)) :

(Aleft( x – x_{0} right) + Bleft( y – y_{0} right) + Cleft( z – z_{0} right) = 0.)

Mặt phẳng ((alpha)) cắt trục (Ox,Oy,Oz) lần lượt tại (A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)), có phương trình theo đoạn chắn là: (frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1 (abc neq 0))

b) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng ((alpha):Ax + By + Cz + D = 0) và (left( alpha^{‘} right):A^{‘}x + B^{‘}y + C^{‘}z + D^{‘} = 0), ta có:

((alpha) equiv left( alpha^{‘} right) Leftrightarrow frac{A}{A^{‘}} = frac{B}{B^{‘}} = frac{C}{C^{‘}} = frac{D}{D^{‘}}).

((alpha)//left( alpha^{‘} right) Leftrightarrow frac{A}{A^{‘}} = frac{B}{B^{‘}} = frac{C}{C^{‘}} neq frac{D}{D^{‘}}).

((alpha)) cắt (left( alpha^{‘} right) Leftrightarrow frac{A}{A^{‘}} neq frac{B}{B^{‘}}) hoặc (frac{B}{B^{‘}} neq frac{C}{C^{‘}}) hoặc (frac{A}{A^{‘}} neq frac{C}{C^{‘}}) (tức là ngoài 2 t/h trên)

((alpha)botleft( alpha^{‘} right) Leftrightarrow AA^{‘} + BB^{‘} + CC^{‘} = 0).c) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Cho mặt phẳng (Ax + By + Cz + D = 0)

(Rightarrow d(M,(alpha)) = frac{left| Ax_{M} + By_{M} + Cz_{M} + D right|}{sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}})

5. Đường thẳng

a. Phương trình đường thẳng

Đường thẳng đi qua (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)) và có VTCP là: (overrightarrow u = left( {a;b;c} right))

PT tham số (left{ begin{gathered} x = {x_0} + at hfill y = {y_0} + bt hfill z = {z_0} + ct hfill end{gathered} right.;left( {t in mathbb{R}} right))

PT chính tắc: (frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b} = frac{{z – {z_0}}}{c};left( {a;b;c ne 0} right))

b. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm (M_0) và có VTCP (overrightarrow u), d’ đi qua điểm (M’_0) và có VTCP (overrightarrow u ‘) ta có:

(d) và (d’) đồng phẳng khi và chỉ khi (left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {{M_0}{M_0}’} = 0)

(d) và (d’) chéo nhau khi và chỉ khi (left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {{M_0}{M_0}’} ne 0)

(d) và (d’) cắt nhau khi và chỉ khi (left{ begin{matrix} left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right] ne overrightarrow 0 hfill left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {{M_0}{M_0}’} = 0 hfill end{matrix} right.)

(d) và (d’) song song khi và chỉ khi (left{ begin{matrix} left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right] = overrightarrow 0 hfill left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {{M_0}{M_0}’} } right] ne overrightarrow 0 hfill end{matrix} right.)

c. Khoảng cách

Từ điểm đến đường thẳng (dleft( {M;Delta ‘} right) = frac{{left| {left[ {vec u;overrightarrow {M{M_0}} } right]} right|}}{{left| {overrightarrow {u’} } right|}})

Giữa hai đường thẳng (dleft( {Delta ;Delta ‘} right) = frac{{left| {left[ {vec u;vec u’} right].overrightarrow {{M_0}{M_0}’} } right|}}{{left| {left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right]} right|}})

–

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Hệ thống kiến thức hình Oxyz. Bài viết cho chúng ta thấy được hệ thống kiến thức hình Oxyz như tọa độ điểm và vecto, tích các hai vecto và ứng dụng, phương trình mặt cầu, mặt phẳng và đường thẳng. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12.

Mời bạn đọc cùng tham khảo thêm một số tài liệu học tập các môn tại các mục:

• Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian Oxyz
• Các công thức giải nhanh trắc nghiệm Hóa học
• Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán: Hình học không gian

Đề thi THPT Quốc Gia được tải nhiều

1. Bộ đề thi thử THPT Quốc gia 2026 môn Toán
2. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia 2026 môn Văn
3. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia 2026 môn Anh
4. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia 2026 môn Lý
5. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia 2026 môn Hóa
6. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia 2026 môn Sinh
7. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia 2026 môn Sử
8. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia 2026 môn Địa
9. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia 2026 môn GDCD

Đề minh họa 2023

1. Đề minh họa 2023 môn Toán
2. Đề minh họa 2023 môn Ngữ văn
3. Đề minh họa 2023 môn Tiếng Anh
4. Đề minh họa 2023 môn Hóa học
5. Đề minh họa 2023 môn Vật lí
6. Đề minh họa 2023 môn Địa lý
7. Đề minh họa 2023 môn Sinh học
8. Đề minh họa 2023 môn Lịch sử
9. Đề minh họa 2023 môn GDCD
10. Đề minh họa 2023 môn tiếng Nga
11. Đề minh họa 2023 môn tiếng Pháp
12. Đề minh họa 2023 môn tiếng Trung
13. Đề minh họa 2023 môn tiếng Nhật
14. Đề minh họa 2023 môn tiếng Hàn
15. Đề minh họa 2023 môn tiếng Đức

Lịch thi THPT Quốc Gia 2023

Xem chi tiết lịch thi: Lịch thi THPT Quốc Gia 2023