1. Dãy số là gì?
1.1 Định nghĩa
– Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn hay còn gọi tắt là dãy số.
– Kí hiệu: u: N* 
R
n u(n)
– Dãy số dưới dạng khai triển được viết u1, u2, u3 … un … . Trong đó un = u(n) là số hạng tổng quát thứ n còn u1 là số hạng đầu tiên của dãy số u(n)
– Mỗi hàm số u xác định trên tập M = { 1,2,3,…m} mới m 
N* được gọi là dãy số hữu hạn. Dạng triển khai của dãy số này là u1, u2, u3 … um trong đó u1 là số hạng đầu con um là số hạng cuối.
1.2 Ví dụ về dãy số
– Dãy số tự nhiên lẻ 1,3,5,7,9… có số hạng đầu là u1 = 1, số hạng tổng quát là un = 2n – 1
– Dãy số chính phương 1,4,9,16… có số hạng đầu là u1 = 1, số hạng tổng quát là un = n2
– Dãy số -1,5,8,15,30 là dãy số hữu hạn có u1 = -1, u5 là 30
Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập toán thi THPT Quốc Gia nhé!
1.3 Biểu diễn hình học của dãy số
– Vì dãy số là một hàm số trên N* nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị có tọa độ (n,un)
– Ví dụ: Dãy số (un) với 
có biểu diễn hình học như sau:
2. Cách cho một dãy số
2.1 Dạng tổng quát
– un = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N*
– Đây là dạng thông dụng gần giống với hàm số. Khi ta biết giá trị của n thì có thể tính được un
Ví dụ: Cho dãy số un = 1n.2n+1 khi viết dưới dạng triển khai ta được dãy số 4,8,16,32,…,1n.2n+1
2.2 Phương pháp mô tả
– Đưa ra mệnh đề mô tả xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Phương pháp này thường không tìm được un với n tùy ý.
Ví dụ: Lập dãy số (un) với un là giá trị gần đúng của số với sai số tuyệt đối là 10-n. Khi đó u1 = 3,1 ; u2 = 3,14 ; u3 = 3,141 …
2.3 Phương pháp quy hồi ( quy nạp)
– Cho số hạng thứ nhất hoặc vài số hạng đầu tiên
– Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng thứ nhất hoặc vài số hạng đứng trước nó.
Ví dụ: Dãy số Fibonacci là dãy số (un) được xác định như sau:
Nắm trọn kiến thức môn Toán 11 ôn thi tốt nghiệp THPT cùng khóa học DUO 11 bứt phá điểm thi 27+
3. Dãy số tăng, giảm và bị chặn
– Dãy số un là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n N*
– Dãy số un là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n N*
– Lưu ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Trường hợp đặc biệt dãy số không tăng cũng không giảm như dãy (un) = (-1)n tức là dãy -1,1,-1,1,-1,1..
– Dãy số bị chặn bao gồm dãy số chặn trên, chặn dưới và chặn hai đầu.
+ Dãy số bị chặn trên: Là dãy số tồn tại một số M mà un M, với mọi n N*
+ Dãy số bị chặn dưới: Là dãy số tồn tại số m mà un m, với mọi n N*
+ Dãy số bị chặn hai đầu: Là dãy số tồn tại số m, M mà m un M, với mọi N*
4. Bài tập vận dụng lý thuyết dãy số
4.1 Dạng bài xác định số hạng của dãy số
Bài 1: Cho dãy số u(n) có số hạng tổng quát như sau:
+ Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số
+ Tìm số hạng thứ 50 và 150
+ Số 67/34 có thuộc dãy số đã cho không?
+ Dãy số trên có bao nhiêu số hạng là số nguyên?
Lời giải:
+ Bốn số hạng đầu tiên của dãy số là u1 = 1, u2 = 5/4, u3 = 7/5, u4 = 3/2
+ Số hạng thứ 50: ; số hạng thứ 150:
+ Giả sử
Vậy số 67/34 là số hạng thứ 100 của dãy số un
+ Ta có:
un nguyên khi 3 (n+2) => n = 1
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng là số nguyên.
Bài 2: Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát như sau:
+ Viết 5 số hạng đầu của dãy số
+ Tính u2020, u2021
+ Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên?
Lời giải:
+ Ta có u1 = 2 + ; u2 = 4 + ; u3 = 6 + ; u4 = 8 + 2 ; u5 = 10 +
+ Ta có u2020 = 4040 + 2 ; u2021 = 4042 +
+ un nguyên
=> vô nghiệm => không có số hạng nào là số nguyên.
Đăng ký để nhận ngay bộ sổ tay các môn học của VUIHOC nhé!
4.2 Dạng bài dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn
Bài 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
Lời giải:
=> Đây là dãy số tăng
Bài 2: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số
Lời giải: Ta có
=> un+1 > un với mọi n 1 => dãy số tăng.
Ngoài ra ta có:
Với mọi n 1 => dãy số (un) là dãy số bị chặn.
Bài 3: Cho dãy số (un)
a, Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy số trên
b, Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng
Cùng thầy cô VUIHOC tham khảo ngay một số bài tập thường gặp về dãy số
Đăng ký ngay khóa học PAS THPT để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dưng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT ngay từ sớm bạn nhé!
Trên đây là toàn bộ lý thuyết về dãy số trong chương trình toán học 11 cùng một số dạng bài tập liên quan. Hy vọng sau bài viết này các em có thể hiểu rõ hơn về dãy số và có thể dễ dàng áp dụng kiến thức để giải bài tập. Đừng quên truy cập trang web giáo dục vuihoc.vn để học thêm nhiều kiến thức toán THPT nhằm chuẩn bị hành trang sớm cho kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới nhé!
>> Mời bạn tham khảo thêm:
- Phương pháp quy nạp toán học: Lý thuyết và bài tập
- Công thức lượng giác
- Chứng minh hai mặt phẳng song song
- Cấp số cộng
