Cực trị của hàm số là một trong những khái niệm được sử dụng rất phổ biến, nhất là trong các ngành sử dụng toán ứng dụng. Tuy nhiên, việc tìm ra cực trị của hàm số với phương pháp giải cụ thể thì không khó để xác định nhưng việc chỉ ra điều kiện để hàm số có cực trị tồn tại mới là trở ngại.
1. Một số vấn đề liên quan đến điều kiện để hàm số có cực trị
1.1. Cực trị của hàm số
∗ Cực đại của hàm số:
Xét hàm số y = f(x)
• Nếu ∃x0 ∈ (a; b) sao cho ∀x ∈ (a; b) và x ≠ x0 ta luôn có f(x0) > f(x) trên khoảng (a; b)
Thì ta có:
• x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số
• f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số
• M (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số
∗ Cực tiểu của hàm số:
Xét hàm số y = f(x)
• Nếu ∃x0 ∈ (a; b) sao cho ∀x ∈ (a; b) và x ≠ x0 ta luôn có f(x0) < f(x)trên khoảng (a; b)
Thì ta có:
• x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số
• f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
• M (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
1.2. Mối liên hệ giữa f(x) và f ’(x)
Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là số nghiệm đơn bội lẻ của hàm số y = f ‘(x) ( hay còn được biết đến là số lần đổi dấu của hàm số y = f ‘(x) )
Tại điểm cực trị, hàm số y = f ‘(x) có thể không xác định nhưng y = f(x) phải liên tục.
2. Điều kiện để hàm số có cực trị
∗ Định lý:
Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì f ‘(x0) = 0.
Ví dụ: Hàm số f(x) = x3 – 3×2 có f ‘(x) = 3×2 – 6x .
Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2.
Khi đó ta có f ‘(2) = 0.
Mở rộng: Nếu tồn tại một điểm x0 thỏa f ’(x0) không xác định nhưng f(x) liên tục tại x=x0 thì x=x0 là điểm cực trị của hàm số f(x).
2.1. Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0 và x0 là điểm cực đại
Xét hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b)
∗ Hàm số đạt cực đại tại x = x0 khi: f ‘(x0) = 0, f ”(x0) < 0
Ví dụ: Hàm số f(x) = x3 – 3×2
Ta có f ‘(x) = 3×2 – 6x và f ”(x) = 6x – 6
Vì f ‘(0) = 0 và f ”(0) = -6 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số.
2.2. Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0 và x0 là điểm cực tiểu
∗ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 khi: f ‘(x0) = 0, f ”(x0) > 0
Ví dụ: Hàm số f(x) = x3 – 3×2
Ta có f ‘(x) = 3×2 – 6x và f ”(x) = 6x – 6
Vì f ‘(2) = 0 và f ”(2) = 6 > 0 nên x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số.
3. Bài tập tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài 1: Hàm số y = x3 + 2ax2 + 4bx – 2018, (a,b ∈ R) đạt cực trị tại x = -1. Khi đó hiệu a – b là:
A.
B. -1
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x = x0 ⇒ f ‘(x0) = 0.
∗ Cách giải
y = x3 + 2ax2 + 4bx – 2018, (a,b ∈ R) ⇒ y ‘ = 3×2 + 4ax + 4b
Hàm số trên đạt cực trị tại x = -1
⇒ 3(-1)2 + 4a.(-1) + 4b = 0 ⇔ 3 – 4a + 4b = 0 ⇔ 3 – 4(a – b) = 0 ⇔ a – b =
→ Chọn câu C
Bài 2: Hàm số y = ax4 + bx2 + c đạt cực đại tại điểm A(0; -3) và đạt cực tiểu tại điểm B(-1; -5). Khi đó giá trị của a, b, c lần lượt là:
A. -2; 5; -3.
B. -3; -1; -5
C. 2; -4; -3
D. 2; 4; -3
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Thay tọa độ điểm A, B vào hàm số đã cho và nhận xét các đáp án.
∗ Cách giải
A(0; -3) thuộc đồ thị hàm số ⇒ c = -3
B(-1; -5) thuộc đồ thị hàm số ⇒ a + b – 3 = -5 ⇔ a + b = -2, ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.
→ Chọn câu C.
Bài 3: Hàm số y = x2 lnx đạt cực trị tại điểm
A. x =
B. x = 0; x =
C. x = 0
D. x =
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Giải phương trình y ‘ = 0
∗ Cách giải
Tập xác định: D = (0; +∞)
⇒ x = là điểm cực tiểu của hàm số y = x2 lnx.
→ Chọn câu D.
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + 2×2 – mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
A. m = 2
B. m = 1
C. m ∈ ∅
D. m ∈ [1; +∞)
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ khi
∗ Cách giải
Ta có: y ‘ = -3×2 + 4x – m, y ” = -6x + 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔ ⇔ ⇔ ( vô nghiệm)
→ Chọn câu C.
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị
A. m ∈
B. m ∈
C. m ∈
D. m ∈
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Đồ thị hàm đa thức bậc ba có cực trị (tương đương với điều kiện có 2 điểm cực trị) ⇔ phương trình y ‘ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
∗ Cách giải
Tập xác định: D = R
y = (m + 1)x3 – x2 + (2m + 1)x + 3 ⇒ y ‘ = (m + 1)x2 – 2x + 2m + 1
Đồ thị hàm số có cực trị (có 2 cực trị) khi và chỉ khi phương trình y ‘ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
⇔ ⇔ ⇔
→ Chọn câu C.
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm f ‘(x) = x2 (x+1)(x2 + 2mx + 5). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = f(x) có đúng 1 điểm cực trị.
A. 7
B. 6
C. 5
D. 0
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Dựa vào điều kiện để một điểm là điểm cực trị của hàm số.
∗ Cách giải
Ta có:
Vì f ‘(x) không đổi dấu qua nghiệm x = 0 nên hàm số không đạt cực trị tại x = 0
Do đó, hàm số y = f(x) có đúng một cực trị trong các trường hợp sau:
- Phương trình (∗) vô nghiệm. Khi đó
- Phương trình (∗) có nghiệm kép bằng -1. Khi đó (hệ vô nghiệm).
- Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng -1.
Khi đó
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên m cần tìm.
→ Chọn câu B.
Chủ đề trên khái quát cho chúng ta về khái niệm cực trị, mối quan hệ giữa f ’(x) và f(x) trong vai trò xây dựng lên tính chất của cực trị, ngoài ra nội dung trọng tâm hướng đến là điều kiện để hàm số có cực trị tồn tại. Đây có thể được xem là công cụ giúp chúng ta xác định nhanh hơn trong việc kiểm tra cực đại cực tiểu trong các bài toán dạng trắc nghiệm.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
