MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số câu hỏi cuối trong đề thi giữa kì I lớp 8 kèm đáp án chi tiết.
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( M = 9x^2 + 6y^2 + 18x – 12xy – 12y – 27 )
Hướng dẫn:
( M = 9x^2 + 6y^2 + 18x – 12xy – 12y – 27 )
( = (9x^2 – 12xy + 4y^2) + (18x – 12y) + 2y^2 – 27 )
( = (3x – 2y)^2 + 6(3x – 2y) + 9 + 2y^2 – 36 )
( = (3x – 2y + 3)^2 + 2y^2 – 36 )
Có ( (3x – 2y + 3)^2 ge 0 ); ( 2y^2 ge 0 ) với mọi ( x, y )
( Rightarrow (3x – 2y + 3)^2 + 2y^2 – 36 ge -36 Rightarrow M ge -36 )
Dấu “=” xảy ra khi ( 3x – 2y + 3 = 0 ) và ( 2y = 0 )
Khi đó: ( x = -1 ) và ( y = 0 )
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là ( -36 ) khi ( x = -1 ) và ( y = 0 ).
Câu 2: Tìm các số thực ( x, y ) thỏa mãn: ( 2x^2 – 2xy + y^2 – 2x – 4y + 13 = 0 )
Hướng dẫn:
( 2x^2 – 2xy + y^2 – 2x – 4y + 13 = 0 )
( (x^2 – 2xy + y^2) + 4(x – y) + 4 + (x^2 – 6x + 9) = 0 )
( (x – y + 2)^2 + (x – 3)^2 = 0 )
Có ( (x – y + 2)^2 ge 0 ); ( (x – 3)^2 ge 0 ) với mọi ( x, y inmathbb{R})
( Rightarrow (x – y + 2)^2 + (x – 3)^2 ge 0 )
Dấu “=” xảy ra khi ( x – y + 2 = 0 ) và ( x – 3 = 0 )
Khi đó: ( x = 3 ); ( y = 5 )
Vậy ( x = 3 ); ( y = 5 ).
Câu 3: Cho các số thực ( x, y ) thỏa mãn: ( 5x^2 + 20y^2 – 4xy – 4x – 8y + 2024 = 2022 )
Chứng minh rằng: ( A = (4x + 1)^{2023} + (4y + 2)^{2024} : 3 )
Hướng dẫn:
( (4x^2 – 4x + 1) + (x^2 – 4xy + 4y^2) + (16y^2 – 8y + 1) = 0 )
( (2x – 1)^2 + (x – 2y)^2 + (4y – 1)^2 = 0 )
Có ( (2x – 1)^2 ge 0 ); ( (x – 2y)^2 ge 0 ); ( (4y – 1)^2 ge 0 ) với mọi ( x, y )
( Rightarrow (2x – 1)^2 + (x – 2y)^2 + (4y – 1)^2 = 0 ) với mọi ( x, y )
Dấu “=” xảy ra khi ( begin{cases} 2x – 1 = 0 x – 2y = 0 4y – 1 = 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} x = dfrac{1}{2} y = dfrac{1}{4} end{cases} )
Khi đó ( A = left(4 cdot dfrac{1}{2} + 1right)^{2023} + left(4 cdot dfrac{1}{4} + 2right)^{2024} : 3 = 3^{2023} + 3^{2024} : 3 )
Vậy ( A = 3 ).
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của ( A = 4(x^2 + y^2) ) biết ( x^2 + y^2 = 2xy + 4 )
Hướng dẫn:
( x^2 + y^2 = 2xy + 4 Rightarrow 8xy = 2(x + y)^2 – 8 )
( A = 4(x^2 + y^2) = 4(x + y)^2 – 8xy = 4(x + y)^2 – 2(x + y)^2 + 8 = 2(x + y)^2 + 8 )
Có ( (x + y)^2 ge 0 ) với mọi ( x, y ) nên ( A = 2(x + y)^2 + 8 ge 8 )
Dấu “=” xảy ra khi ( begin{cases} x + y = 0 x^2 + y^2 = 2xy + 4 end{cases} Rightarrow begin{cases} x = -y x^2 = 1 end{cases} Rightarrow begin{cases} x = 1 y = -1 end{cases} text{ hoặc } begin{cases} x = -1 y = 1 end{cases} )
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là ( 8 ) khi ( (x; y) = (1; -1) ) hoặc ( (x; y) = (-1; 1) ).
Câu 5: Cho ( a + b = 1 ). Tính giá trị biểu thức M biết
( M = a^3 + b^3 + 3ab(a^2 + b^2) + 6a^2b^2(a + b) )
Hướng dẫn:
( a + b = 1 Rightarrow (a + b)^2 = 1 Rightarrow a^2 + b^2 = 1 – 2ab )
( M = a^3 + b^3 + 3ab(a^2 + b^2) + 6a^2b^2(a + b) )
( = (a + b)(a^2 – ab + b^2) + 3ab(1 – 2ab) + 6a^2b^2 )
( = 1 – 2ab – ab + 3ab – 6a^2b^2 + 6a^2b^2 = 1 )
Vậy ( M = 1 ).
Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: ( A = (x + 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) )
Hướng dẫn:
( A = (x + 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) )
( = [(x + 1)(x – 6)][(x – 2)(x – 3)] )
( = (x^2 – 5x – 6)(x^2 – 5x + 6) )
( = (x^2 – 5x)^2 – 36 )
Có ( (x^2 – 5x)^2 ge 0 ) với mọi ( x ) ⇒ ( A = (x^2 – 5x)^2 – 36 ge -36 ).
Dấu “=” xảy ra khi ( x^2 – 5x = 0 Rightarrow x(x – 5) = 0 Rightarrow begin{cases} x = 0 x = 5 end{cases} )
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là ( -36 ) khi ( x = 0 ) hoặc ( x = 5 ).
Câu 7. Cho ( x, y, a, b ) là các số thực thỏa mãn ( x + y = a + b ) và ( x^2 + y^2 = a^2 + b^2 ).
Chứng minh ( x^3 + y^3 = a^3 + b^3 ).
Hướng dẫn:
( x + y = a + b Rightarrow (x + y)^2 = (a + b)^2 Rightarrow x^2 + y^2 + 2xy = a^2 + b^2 + 2ab )
Mà ( x^2 + y^2 = a^2 + b^2 Rightarrow xy = ab Rightarrow 3xy(x^2 + y^2) = 3ab(a^2 + b^2) )
( x + y = a + b Rightarrow (x + y)^3 = (a + b)^3 Rightarrow x^3 + y^3 + 3xy(x + y) = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) )
( Rightarrow x^3 + y^3 = a^3 + b^3 )
Câu 8: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.
Hướng dẫn:
Ta gọi bốn số tự nhiên liên tiếp lần lượt là ( x – 2; , x – 1; , x; , x + 1 quad (x in mathbb{N}^*, x ge 2) )
( A = (x – 2)(x – 1)x(x + 1) + 1 = [(x – 2)(x + 1)][(x – 1)x] + 1 = (x^2 – x – 2)(x^2 – x) + 1 )
Đặt ( t = x^2 – x – 1 Rightarrow A = (t – 1)(t + 1) + 1 = t^2 – 1 + 1 = t^2 )
( Rightarrow A = (x^2 – x – 1)^2 )
Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.
Câu 9: Thu gọn biểu thức sau: ( B = (3 + 1)(3^2 + 1)cdots(3^{64} + 1) + 1 )
Hướng dẫn:
( B = (3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)cdots(3^{64} + 1) + 1 )
( = dfrac{1}{2}(3 – 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)cdots(3^{64} + 1) + 1 )
( = dfrac{1}{2}(3^2 – 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)cdots(3^{64} + 1) + 1 )
( = dfrac{1}{2}(3^4 – 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)cdots(3^{64} + 1) + 1 )
( = dfrac{1}{2}(3^8 – 1)(3^8 + 1)cdots(3^{64} + 1) + 1 )
( = dfrac{1}{2}(3^{128} – 1) + 1 = dfrac{3^{128} + 1}{2} )
Câu 10: Phân tích đa thức thành nhân tử ( A = a^3 + b^3 + c^3 – 3abc )
Hướng dẫn:
( A = a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b)^3 – 3ab(a + b) + c^3 – 3abc )
( A = [(a + b)^3 + c^3] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)^3 – 3(a + b)c(a + b + c) – 3ab(a + b + c) )
( A = (a + b + c)big[(a + b + c)^2 – 3(a + b)c – 3abbig] = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) )
Câu 11: Cho ( a > b > 0 ), biết ( 3a^2 + 3b^2 = 10ab ). Không tìm ( a, b ), tính ( P = dfrac{a – b}{a + b} ).
Hướng dẫn:
Dễ thấy ( P > 0 )
Có ( P^2 = left(dfrac{a – b}{a + b}right)^2 = dfrac{a^2 – 2ab + b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = dfrac{3a^2 – 6ab + 3b^2}{3a^2 + 6ab + 3b^2} = dfrac{10ab – 6ab}{10ab + 6ab} = dfrac{1}{4} )
Mà ( P > 0 ) nên ( P = dfrac{1}{2} )
Vậy ( P = dfrac{1}{2} )
Câu 12: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ( a + b + c = 0 ); ( a^2 + b^2 + c^2 = 1 ). Tính ( a^4 + b^4 + c^4 ).
Hướng dẫn:
( a + b + c = 0 Rightarrow (a + b + c)^2 = 0 Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0 )
( Rightarrow ab + bc + ca = -dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{2} = -dfrac{1}{2} )
( (ab + bc + ca)^2 = dfrac{1}{4} = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2a^2bc + 2ab^2c + 2abc^2 )
( Rightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = dfrac{1}{4} – 2abc(a + b + c) = dfrac{1}{4} )
( (a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) )
( 1 = a^4 + b^4 + c^4 + 2 cdot dfrac{1}{4} Rightarrow a^4 + b^4 + c^4 = dfrac{1}{4} )
Vậy ( a^4 + b^4 + c^4 = dfrac{1}{4} ).
Câu 13: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca ) và ( a + b + c = 33 ). Tìm a, b, c.
Hướng dẫn:
Có ( (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 ge 0 ) với mọi a, b, c
( Rightarrow 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca ge 0 Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 ge ab + bc + ca )
Dấu “=” xảy ra khi ( a = b = c ).
Ta có ( a + b + c = 33 Rightarrow 3a = 33 Rightarrow a = 11 Rightarrow b = 11, c = 11 )
Vậy ( a = b = c = 11 ).
Câu 14: Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn: ( 3x^2 – 4xy + 2y^2 = 3 )
Hướng dẫn:
Tính giá trị biểu thức ( M = x^{2023} + (y – 3)^{2023} )
( 3x^2 – 4xy + 2y^2 = 3 Rightarrow 2(x – y)^2 + x^2 = 3 Rightarrow x^2 = 3 – 2(x – y)^2 )
Có ( x^2 geq 0; (x – y)^2 geq 0 ) với mọi x, y
( Rightarrow 3 – 2(x – y)^2 leq 3 Rightarrow 0 leq x^2 leq 3 Rightarrow x = 1 )
Thay ( x = 1 ) vào biểu thức, ta có:
( 3.1^2 – 4.1.y + 2y^2 = 3 )
( Rightarrow 2y^2 – 4y = 0 Rightarrow begin{cases} y = 0 & text{(loại)} y = 2 & text{(thỏa mãn)} end{cases} )
( M = 1^{2023} + (2 – 3)^{2023} = 1 + (-1)^{2023} = 0 )
Vậy M = 0
Câu 15: Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho x – 3 thì dư 7; P(x) chia cho x – 2 thì dư 5; P(x) chia ( (x – 3)(x – 2) ) có thương là 3x và còn dư.
Hướng dẫn:
P(x) chia cho x – 3 thì dư 7 nên ( P(x) = (x – 3)H(x) + 7 Rightarrow P(3) = 7 )
P(x) chia cho x – 2 thì dư 5 nên ( P(x) = (x – 2)H(x) + 5 Rightarrow P(2) = 5 )
P(x) chia ( (x – 3)(x – 2) ) có thương là 3x và còn dư nên
( P(x) = (x – 3)(x – 2)3x + ax + b tag{1} )
(Với ax + b là đa thức dư, đa thức dư có bậc nhỏ hơn đa thức chia)
Thay lần lượt ( x = 3, x = 2 ) vào (1), ta có:
( 3a + b = 7 Rightarrow b = 7 – 3a )
( 2a + b = 5 Rightarrow 2a + 7 – 3a = 5 Rightarrow a = 2 Rightarrow b = 1 )
Vậy đa thức ( P(x) = (x – 3)(x – 2)3x + 2x + 1 = 3x^3 – 15x^2 + 20x + 1 )
