Đề bài
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho hai biểu thức: (A = sqrt {50} – 3sqrt 8 + sqrt {{{left( {sqrt 2 + 1} right)}^2}} ;)(B = dfrac{{xsqrt x – sqrt x }}{{x – 1}} + dfrac{{x – 1}}{{sqrt x + 1}}) (với (x ge 0,,,x ne 1)).
a) Rút gọn các biểu thức (A,,,B.)
b) Tìm các giá trị của (x) sao cho (A le B.)
Câu 2. (1,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l}2x + dfrac{1}{{sqrt y }} = 3x – dfrac{1}{{sqrt y }} = 0end{array} right. cdot )
2)Bạn Nam hiện có (50,000) đồng. Để phục vụ cho việc học tập, bạn muốn mua một quyển sách tham khảo Toán có giá (150,000) đồng. Vì thế, bạn Nam đã lên kế hoạch mỗi ngày tiết kiệm (5,000) đồng. Gọi số tiền bạn Nam tiết kiệm được sau (x) (ngày) (gồm cả tiền hiện có và tiền tiết kiệm được hàng ngày) là (y) (đồng).
a) Lập công thức tính (y) theo (x).
b) Hỏi sau bao nhiêu ngày bạn Nam có vừa đủ tiền để mua được quyển sách tham khảo Toán?
Câu 3. (2,5 điểm)
1) Cho phương trình ({x^2} – 2(m + 1)x + {m^2} + 2 = 0)(left( 1 right)) ((x) là ẩn số, (m) là tham số).
a) Giải phương trình (left( 1 right)) khi (m = 1.)
b) Xác định các giá trị của (m) để phương trình (left( 1 right)) có hai nghiệm phân biệt ({x_1},,,{x_2}) thỏa mãn điều kiện (x_1^2 + 2left( {m + 1} right){x_2} = 12m + 2).
2) Bài toán có nội dung thực tế:
Lúc (9) giờ sáng, một xe ô tô khởi hành từ (A) đến (B) với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là (55,)km/h. Sau khi xe ô tô này đi được (20)phút thì cũng trên quãng đường đó, một xe ô tô khác bắt đầu đi từ (B) về (A) với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là (45)km/h. Hỏi hai xe ô tô đó gặp nhau lúc mấy giờ? Biết quãng đường (AB) dài (135,)km.
Câu 4. (0,75 điểm)
Một vật thể đặc bằng kim loại dạng hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng (6) cm. Người ta khoan xuyên qua hai mặt đáy của vật thể đó theo phương vuông góc với mặt đáy, phần bị khoan là một lỗ hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng (2) cm (Hình 1). Tính thể tích phần còn lại của vật thể đó.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác (ABC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (left( O right)). Các đường cao (AD,,,BE) và (CF) của tam giác (ABC) cắt nhau tại (H.)
a) Chứng minh (BCEF) và (CDHE) là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh (EB) là tia phân giác của (angle FED) và tam giác (BFE) đồng dạng với tam giác (DHE.)
c) Giao điểm của (AD) với đường tròn (left( O right)) là (I) ((I) khác (A)), (IE) cắt đường tròn (left( O right)) tại (K) ((K) khác (I)). Gọi (M) là trung điểm của đoạn thẳng (EF.) Chứng minh rằng ba điểm (B,,,M,,,K) thẳng hàng.
Câu 6. (0,75 điểm)
Cho ba số thực dương (x,,,y,,,z) thỏa mãn điều kiện ({x^2} ge {y^2} + {z^2}.) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (P = dfrac{1}{{{x^2}}}left( {{y^2} + {z^2}} right) + {x^2}left( {dfrac{1}{{{y^2}}} + dfrac{1}{{{z^2}}}} right) + 2016.)
