Lời giải chi tiết
Câu 1
Phương pháp:
a) Vận dụng hằng đẳng thức (sqrt {{A^2}} = left| A right|) để rút gọn biểu thức
b) Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song xác định hệ số (a) và điều kiện của hệ số (b)
Đường thẳng đi qua (Mleft( {1;9} right)), xác định được hế số (b) đối chiếu điều kiện, kết luận.
c) Áp dụng quy tắc trừ, nhân các phân thức đại số để rút gọn biểu thức.
Cách giải:
a) Ta có:
(begin{array}{l}A = sqrt {64} + sqrt {16} – 2sqrt {36} ,,,,, = 8 + 4 – 2.6 = 0end{array})
Vậy (A = 0).
b) Ta có: (Mleft( {1;9} right)) thuộc đường thẳng có phương trình (y = ax + b) nên ta có: (a + b = 9,,left( 1 right))
Đường thẳng (y = ax + b) song song với đường thẳng (y = 3x) nên (left{ begin{array}{l}a = 3b ne 0end{array} right.).
Thay (a = 3) vào (left( 1 right)) ta được: (b = 6,,left( {tm} right))
Vậy (a = 3,,,b = 6).
c) Với (x > 0,,,x ne 1) ta có:
(P = left( {dfrac{1}{{sqrt x }} – dfrac{2}{{1 + sqrt x }}} right).dfrac{{x + sqrt x }}{{1 – sqrt x }})
(begin{array}{l} = dfrac{{1 + sqrt x – 2sqrt x }}{{sqrt x left( {1 + sqrt x } right)}}.dfrac{{sqrt x left( {1 + sqrt x } right)}}{{1 – sqrt x }} = dfrac{{1 – sqrt x }}{{1 – sqrt x }} = 1end{array})
Vậy (P = 1) với (x > 0,,,x ne 1).
Câu 2
Phương pháp:
a) Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, xác định nghiệm của hệ phương trình.
b) Áp dụng hệ thức Vi – ét, xác định ({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}) để tính giá trị của biểu thức (T)
Chú ý: (x_1^2 + x_2^2 = {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 2{x_1}{x_2}); ({left( {sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} } right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2sqrt {{x_1}{x_2}} Rightarrow sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} )
Cách giải:
a) Ta có: (Delta = {5^2} – 4.2.2 = 9 > 0) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt (left[ begin{array}{l}{x_1} = dfrac{{ – b + sqrt Delta }}{{2a}} = dfrac{{5 + sqrt 9 }}{{2.2}} = 2{x_1} = dfrac{{ – b – sqrt Delta }}{{2a}} = dfrac{{5 – sqrt 9 }}{{2.2}} = dfrac{1}{2}end{array} right.).
Vậy tập nghiệm của phương trình là (S = left{ {2;dfrac{1}{2}} right}).
b) Vì phương trình ({x^2} – 12x + 4 = 0) có hai nghiệm dương phân biệt ({x_1},,,{x_2}) nên theo định lí Vi-ét ta có: (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 12{x_1}{x_2} = 4end{array} right.).
Ta có:
(x_1^2 + x_2^2 = {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 2{x_1}{x_2} = {12^2} – 2.4 = 136)
({left( {sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} } right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2sqrt {{x_1}{x_2}} = 12 + 2sqrt 4 = 16 Rightarrow sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} = 4).
Vậy (T = dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} }} = dfrac{{136}}{4} = 34).
Câu 3
Phương pháp:
Gọi (x) là số người đã xem MV (triệu người)
Xác định số người đã xem 2 lượt và số người chỉ xem 1 lượt
Theo giả thiết, tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên lập phương trình
Giải phương trình, xác định (x), đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
Gọi (x) là số người đã xem MV (triệu người) (left( {x in {mathbb{N}^*}} right))
Khi đó số người đã xem 2 lượt là (60% x = 0,6x) (người) và số người chỉ xem 1 lượt là (40% x = 0,4x) (người).
Vì tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên ta có phương trình:
(begin{array}{l}0,6x.2 + 0,4x.1 = 1,6x = 6,4 Leftrightarrow 1,6x = 6,4 Leftrightarrow x = 4end{array})
Vậy có 4 triệu người xem MV.
Câu 4
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận của tứ giác: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau.
b) Vận dụng tính chất của tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác.
c) Áp dụng kiến thức góc – đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn và tam giác đồng dạng.
Cách giải:
a) Ta có (angle BEC = angle BFC = {90^0}) (do (BE bot AC,,,CF bot AB))
( Rightarrow BCEF) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Ta có (angle CDH = angle CEH = {90^0},,left( {gt} right) Rightarrow angle CDH + angle CEH = {180^0}) nên (CDHE) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ({180^0})).
( Rightarrow angle DCN = angle NEH)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung (DH)).
Xét tam giác (Delta DCN) và (Delta HEN) ta có:
(angle DCN = angle NEH,,left( {cmt} right))
(angle DNC = angle HNE) (đối đỉnh)
( Rightarrow Delta DCN) đồng dạng với (Delta HEN) (g.g)
( Rightarrow dfrac{{DN}}{{NC}} = dfrac{{HN}}{{EN}}) (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có (BCEF) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên (angle DCN = angle HEF) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung (BF)).
Mà (angle DCN = angle NEH,,left( {cmt} right)) nên (angle NEH = angle HEF) hay (EH) là tia phân giác của (angle NEF).
( Rightarrow dfrac{{HN}}{{EN}} = dfrac{{HF}}{{EF}}) (tính chất đường phân giác) (2)
Từ (1) và (2) ta được (dfrac{{DN}}{{NC}} = dfrac{{HF}}{{EF}} Leftrightarrow DN.EF = HF.CN) (đpcm)
c) Ta có (M) là trung điểm của (BC) nên (OM bot BC) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Mà (BC bot AD,,left( {gt} right)) nên (OM//AD Rightarrow OP//AD)
( Rightarrow angle DAP = angle APO) (so le trong) (3)
Mặt khác ta có: (PB) là tiếp tuyến của (left( O right)) tại (B) nên (OB bot BP Rightarrow angle OBP = {90^0}) (định nghĩa).
Áp dụng hệ thức lượng tròn tam giác (OPB) vuông tại (B) có (BM) là đường cao ta có (O{B^2} = OM.OP).
Mà (O{A^2} = O{B^2} Rightarrow O{A^2} = OM.OP Rightarrow dfrac{{OM}}{{OA}} = dfrac{{OA}}{{OP}}).
Xét tam giác (Delta OAM) và (Delta OPA) ta có:
(angle AOP) chung;
(dfrac{{OM}}{{OA}} = dfrac{{OA}}{{OP}},,left( {cmt} right);)
( Rightarrow Delta OAM) đồng dạng với (Delta OPA) (c.g.c)
( Rightarrow angle OAM = angle OPA) (2 góc tương ứng) (4)
Từ (3) và (4) suy ra (angle OAM = angle DAP) (đpcm)
Câu 5
Phương pháp:
Xác định điều kiện của hệ phương trình
Đặt (left{ begin{array}{l}x – 3y + 2sqrt {xy} = 4left( {sqrt x – sqrt y } right),,,left( 1 right)left( {x + 1} right)left( {y + sqrt {xy} – {x^2} + x} right) = 4,,,,left( 2 right)end{array} right.), biến đổi phương trình (1), tìm được mối liên hệ giữa (x) và (y)
Thế lần lượt vào phương trình (2), tìm nghiệm của hệ phương trình, đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
ĐKXĐ: (x,,,y ge 0).
(left{ begin{array}{l}x – 3y + 2sqrt {xy} = 4left( {sqrt x – sqrt y } right),,,left( 1 right)left( {x + 1} right)left( {y + sqrt {xy} – {x^2} + x} right) = 4,,,,left( 2 right)end{array} right.)
(begin{array}{l}left( 1 right) Leftrightarrow x – sqrt {xy} + 3sqrt {xy} – 3y = 4left( {sqrt x – sqrt y } right),,,,,,, Leftrightarrow sqrt x left( {sqrt x – sqrt y } right) + 3sqrt y left( {sqrt x – sqrt y } right) = 4left( {sqrt x – sqrt y } right),,,,,,, Leftrightarrow left( {sqrt x – sqrt y } right)left( {sqrt x + 3sqrt y } right) = 4left( {sqrt x – sqrt y } right),,,,,,, Leftrightarrow left( {sqrt x – sqrt y } right)left( {sqrt x + 3sqrt y – 4} right) = 0,,,,,,, Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sqrt x = sqrt y sqrt x + 3sqrt y = 4end{array} right.end{array})
TH1: (sqrt x = sqrt y ) ( Leftrightarrow x = y). Thay vào (2) ta có:
(begin{array}{l}left( {x + 1} right)left( {x + x – {x^2} + x} right) = 4 Leftrightarrow left( {x + 1} right)left( {3x – {x^2}} right) = 4 Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} – 3x + 4 = 0 Leftrightarrow {x^3} – 1 – left( {2{x^2} + 3x – 5} right) = 0 Leftrightarrow left( {x – 1} right)left( {{x^2} + x + 1} right) – left( {x – 1} right)left( {2x + 5} right) = 0 Leftrightarrow left( {x – 1} right)left( {{x^2} + x + 1 – 2x – 5} right) = 0end{array})
(begin{array}{l} Leftrightarrow left( {x – 1} right)left( {{x^2} – x – 4} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1 = yx = dfrac{{1 + sqrt {17} }}{2} = y,,left( {do,,x,y ge 0} right)end{array} right.end{array})
TH2: (left{ begin{array}{l}sqrt x + 3sqrt y = 4left( {x + 1} right)left( {y + sqrt {xy} – {x^2} + x} right) = 4end{array} right.).
Đặt (sqrt x = a,,,sqrt y = b,,left( {a,b ge 0} right)) ( Rightarrow left{ begin{array}{l}a + 3b = 4 Leftrightarrow b = dfrac{{4 – a}}{3}left( {{a^2} + 1} right)left( {{b^2} + ab – {a^4} + {a^2}} right) = 4,,left( * right)end{array} right.)
Thế (b = dfrac{{4 – a}}{3}) vào (*) ta được:
(begin{array}{l}left( {{a^2} + 1} right)left( {{{left( {dfrac{{4 – a}}{3}} right)}^2} + a.dfrac{{4 – a}}{3} – {a^4} + {a^2}} right) = 4 Leftrightarrow left( {{a^2} + 1} right).dfrac{{16 – 8a + {a^2} + 12a – 3{a^2} – 9{a^4} + 9{a^2}}}{9} = 4 Leftrightarrow left( {{a^2} + 1} right)left( { – 9{a^4} + 7{a^2} + 4a + 16} right) = 32 Leftrightarrow 9{a^6} + 2{a^4} – 4{a^3} – 23{a^2} – 4a + 20 = 0 Leftrightarrow {left( {a – 1} right)^2}left( {9{a^4} + 18{a^3} + 29{a^2} + 36a + 20} right) = 0 Leftrightarrow a = 1,,left( {do,,a ge 0} right) Rightarrow b = dfrac{{4 – 1}}{3} = 1 Rightarrow left{ begin{array}{l}sqrt x = 1 Leftrightarrow x = 1sqrt y = 1 Leftrightarrow y = 1end{array} right.end{array})
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (left( {x;y} right) in left{ {left( {1;1} right);left( {dfrac{{1 + sqrt {17} }}{2};dfrac{{1 + sqrt {17} }}{2}} right)} right}).
