Hàm số y = ax2 hay còn gọi là hàm số bậc hai là một điểm kiến thức cơ bản và quan trọng trong vô số kiến thức về hàm số. Vậy hàm số y = ax2 là gì, các tính chất của hàm số đó ra sao và đồ thị của hàm số đó có dạng như thế nào. Hãy cùng tìm hiểu trong bài viết sao đây nhé!
1. Định nghĩa hàm số y=ax^2
Hàm số y = ax2, là một dạng của hàm số bậc hai, là hàm số có dạng như sau:
Một số ví dụ về hàm số y = ax2.
Ví dụ 1: là hàm số bậc hai với a = 2
Ví dụ 2: là hàm số bậc hai với a = -1
Ví dụ 3: là hàm số bậc hai với a = 3
Nhận xét:
– Khi a > 0, y > 0 với mọi x khác 0. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0, y = 0.
– Khi a < 0, y < 0 với mọi x khác 0. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 0, y = 0.
2. Tính chất của hàm số y=ax^2
– Khi a>0, x>0, hàm số đồng biến (khi x tăng, giá trị của hàm số y luôn tăng).
– Khi a>0, x<0, hàm số nghịch biến (khi x tăng, giá trị của hàm số y luôn giảm).
– Khi a<0, x>0, hàm số nghịch biến (khi x tăng, giá trị của hàm số y luôn giảm).
– Khi a<0, x<0, hàm số đồng biến (khi x tăng, giá trị của hàm số y luôn tăng).
Cùng tìm hiểu về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax2 thông qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hàm số
Ta có a = 5 > 0.
Khi x>0, ta có bảng giá trị sau:
x123455204580125
Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số là y cũng tăng theo, vậy ta nói khi x>0, hàm số này đồng biến.
Khi x<0, ta có bảng giá trị sau:
x-5-4-3-2-11258045205
Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số y lại giảm dần, vậy ta nói khi x<0, hàm số này nghịch biến.
Ví dụ 2: Cho hàm số
Ta có a = -2 < 0.
Khi x>0, ta có bảng giá trị sau:
x12345-2-8-18-32-50
Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số là y lại giảm dần, vậy ta nói khi x>0, hàm số này nghịch biến.
Khi x<0, ta có bảng giá trị sau:
x-5-4-3-2-1-50-32-18-8-2
Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số y cũng tăng, vậy ta nói khi x<0, hàm số này đồng biến.
Ví dụ 3: Cho hàm số
Ta có a = 3 > 0.
Khi x>0, ta có bảng giá trị sau:
x12345312274875
Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số là y cũng tăng theo, vậy ta nói khi x>0, hàm số này đồng biến.
Khi x<0, ta có bảng giá trị sau:
x-5-4-3-2-1754827123
Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số y lại giảm dần, vậy ta nói khi x<0, hàm số này nghịch biến.
Ví dụ 4: Cho hàm số
Ta có a = -1 < 0.
Khi x>0, ta có bảng giá trị sau:
x12345-1-4-9-16-25
Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số là y lại giảm dần, vậy ta nói khi x>0, hàm số này nghịch biến.
Khi x<0, ta có bảng giá trị sau:
x-5-4-3-2-1-25-16-9-4-1
Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số y cũng tăng, vậy ta nói khi x<0, hàm số này đồng biến.
3. Đồ thị của hàm số y=ax^2
Hàm số y = ax2 có đồ thị là một đường parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận trục tung Oy là trục đối xứng.
Nhận xét:
– Khi a > 0, đồ thị nằm trên trục hoành Ox.
– Khi a < 0, đồ thị nằm dưới trục hoành Ox.
Một số ví dụ về đồ thị của hàm số y = ax2.
Ví dụ 1: Hàm số có đồ thị như hình dưới đây
Ví dụ 2: Hàm số có đồ thị như hình dưới đây
Ví dụ 3: Hàm số có đồ thị như hình dưới đây
Ví dụ 4: Hàm số có đồ thị như hình dưới đây
4. Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax^2
- Bước 1: Tính giá trị hàm số tại một số điểm (thường chọn những điểm đối nhau qua số 0)
- Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ
- Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol
Chúng ta cùng xem các ví dụ dưới đây để học cách vẽ đồ thị hàm số y = ax2.
• Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các điểm x = -2, -1, 0, 1, 2
x-2-10121230312
Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ
Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol.
• Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số
Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các điểm x = -2, -1, 0, 1, 2
x-2-1012-10-1
Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ
Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol
• Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số
Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các điểm x = -2, -1, 0, 1, 2
x-2-1012101
Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ
Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol
5. Bài tập áp dụng hàm số y=ax^2
Bài 1: Giả sử đoạn đường từ nhà đến trường của một bạn học sinh được biểu diễn theo hàm số (m). Trong đó:
a là gia tốc (), t là thời gian (s).
Biết rằng trong vòng 900 giây, bạn học sinh đạp xe được 4km. Hỏi trong vòng 20 phút, bạn học sinh có đến được trường không? Biết từ nhà đến trường dài 6km.
ĐÁP ÁN
Đầu tiên, ta đổi các số đã cho về đơn vị chuẩn:
= 900s
= 4km = 4000m
= 20′ = 1200s
s (quãng đường từ nhà đến trường) = 6km = 6000
= ?
Theo đề bài, ta có:
Thay số vào, ta được:
Vậy ta được gia tốc a = ()
Lại có:
Thay số vào, ta được:
Vậy ta được = 7111m > s = 6000m, suy ra trong vòng 20 phút, bạn học sinh có thể đến được trường.
Bài 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau
a.
b.
ĐÁP ÁN
a.
Áp dụng các bước vẽ đồ thị vừa học:
Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các điểm x = -2, -1, 0, 1, 2
x-2-101282028
Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ
Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol
b.
Áp dụng các bước vẽ đồ thị vừa học
Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các điểm x = -2, -1, 0, 1, 2
x-2-1012-4-10-1-4
Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ
Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol
Bài 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị ở bài 2 mà không sử dụng hình vẽ
ĐÁP ÁN
Giao điểm của hai đồ thị và được tính như sau:
Thay x = 0 vào hàm số, ta được:
hoặc
Vậy giao điểm của hai đồ thị là điểm O(0;0)
Bài 4: Cho đồ thị hàm số bậc 2 như hình bên. Hãy:
a. Tìm hệ số a của đồ thị
b. Điểm A(-6;-12) có thuộc đồ thị hay không
ĐÁP ÁN
a.
Đồ thị của hàm số có dạng y=ax2
Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm (-3,-3) nên ta có:
b.
Ta có hàm số
Thay giá trị x = -6 vào hàm số, ta được:
Vậy suy ra điểm A(-6;-12) thuộc đồ thị hàm số
Bài 5: Cho đồ thị hàm số y = ax2 như hình bên. Hãy:
a. Tìm hệ số a của đồ thị
b. Cho điểm B(5,b) thuộc đồ thị, tìm b
ĐÁP ÁN
a.
Đồ thị của hàm số có dạng y=ax2
Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm (2,6) nên ta có:
b.
Ta có hàm số .
Vì điểm B(5,b) thuộc đồ thị nên ta thay tọa độ điểm B vào hàm số, ta được:
Vậy b =
Vậy là ta vừa tìm hiểu xong về hàm số y = ax2 cũng như các định nghĩa, tính chất và đồ thị của nó. Hy vọng những kiến thức cung cấp trong bài viết sẽ giúp các bạn học tốt các bài học tiếp theo!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
