Các dạng toán trắc nghiệm hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. Dạng 1. Tìm tọa độ của vectơ dựa vào định nghĩa
Phương pháp: $vec a,, = ,{a_1}overrightarrow i + {a_2}overrightarrow j + {a_3}overrightarrow k $ $ Rightarrow vec a = ({a_1};,,{a_2};,,{a_3})$
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$. Tọa độ của vectơ $vec j$ là
A. $left( {1;1;1} right)$.
B. $left( {1;0;1} right)$.
C. $left( {0;1;0} right)$.
D. $left( {1;1;0} right)$.
Lời giải
Chọn C.
$vec j = 0vec i + 1vec j + 0vec k Rightarrow vec jleft( {0;1;0} right)$.
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$. Tọa độ của vectơ $ – 5vec k$ là
A. $left( {0;0; – 5} right)$.
B. $left( { – 5; – 5;0} right)$.
C. $left( { – 5; – 5; – 5} right)$.
D. $left( { – 5;0; – 5} right)$.
Lời giải
Chọn A.
$ – 5vec k = 0vec i + 0vec j – 5vec k Rightarrow vec jleft( {0;0; – 5} right)$.
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $vec a = – vec i + 2vec j – 3vec k$. Tọa độ của vectơ $vec a$ là
A. $left( { – 1;2; – 3} right)$.
B. $left( {2; – 3; – 1} right)$.
C. $left( {2; – 1; – 3} right)$.
D. $left( { – 3;2; – 1} right)$.
Lời giải
Chọn A.
$vec a = – vec i + 2vec j – 3vec k Rightarrow vec aleft( { – 1;2; – 3} right)$.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ giả sử $vec u = 2vec i + 3vec j – vec k$, khi đó tọa độ véc tơ $vec u$ là
A. $left( { – 2;3;1} right)$.
B. $left( {2;3; – 1} right)$.
C. $left( {2; – 3; – 1} right)$.
D. $left( {2;3;1} right)$.
Lời giải
Chọn B.
$vec u = 2vec i + 3vec j – vec k Leftrightarrow vec u = left( {2;3; – 1} right)$.
Câu 5. Trong không gian với trục hệ tọa độ $Oxyz$, cho $vec a = – vec i + 2vec j – 3vec k$. Tọa độ của vectơ $vec a$ là:
A. $vec aleft( { – 1;2; – 3} right)$.
B. $vec aleft( {2; – 3; – 1} right)$.
C. $vec aleft( { – 3;2; – 1} right)$.
D. $vec aleft( {2; – 1; – 3} right)$.
Lời giải
Chọn A.
+) Ta có $vec a = xvec i + yvec j + zvec k Leftrightarrow vec aleft( {x;y;z} right)$ nên $vec aleft( { – 1;2; – 3} right)$.
II. Dạng 2: Xác định tọa độ của điểm
Phương pháp:
* $overrightarrow {OM} , = (x;,,y;,,z) Leftrightarrow M = (x;,,y;,,z)$
* Cho $vec a = (x;,,y;,,z),,vec b = (x’;,,y’;,,z’)$ , khi đó
$overrightarrow a = overrightarrow b Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = x’ y = y’ z = z’ end{array} right.$
* $ABCD$ hình bình hành $ Rightarrow overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $.
* Cho $Aleft( {{x_A};,{y_A};,{z_A}} right)$, $Bleft( {{x_B};,{y_B};,{z_B}} right)$, khi đó $overrightarrow {AB} = left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} right)$.
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( { – 2;3;5} right)$. Tọa độ của véctơ $overline {OA} $ là:
A. $left( { – 2;3;5} right)$.
B. $left( {2; – 3;5} right)$.
C. $left( { – 2; – 3;5} right)$.
D. $left( {2; – 3; – 5} right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $overrightarrow {OA} = left( {{x_A};{y_A};{z_A}} right) = left( { – 2;3;5} right)$
Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $Aleft( {1;1; – 1} right)$ và $Bleft( {2;3;2} right)$. Vectơ $overrightarrow {AB} $ có tọa độ là
A. $left( {1;2;3} right)$
B. $left( { – 1; – 2;3} right)$
C. $left( {3;5;1} right)$
D. $left( {3;4;1} right)$
Lời giải
Chọn A
$overrightarrow {AB} = left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} right) = left( {1;2;3} right)$
Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $Aleft( {1;2; – 1} right),overrightarrow {AB} = left( {1;3;1} right)$ thì tọa độ của điểm $B$ là:
A. $Bleft( {2;5;0} right)$.
B. $Bleft( {0; – 1; – 2} right)$.
C. $Bleft( {0;1;2} right)$.
D. $Bleft( { – 2; – 5;0} right)$
Lời giải
Chọn A
Gọi $Bleft( {x;y;z} right)$
Có $overrightarrow {AB} = left( {1;3;1} right) = left( {x – 1;y – 2;z + 1} right)$
$ Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 2} {y = 5} {z = 0} end{array} Rightarrow Bleft( {2;5;0} right)} right.$
Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $Aleft( {3;5;2} right)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là
A. $left( {0;5;2} right)$.
B. $left( {0;5;0} right)$.
C. $left( {3;0;0} right)$.
D. $left( {0;0;2} right)$.
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm $Aleft( {3;5;2} right)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là $left( {3;0;0} right)$.
Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {3;1; – 1} right)$ trên trục $Oy$ có tọa độ là
A. $left( {3;0; – 1} right)$.
B. $left( {0;1;0} right)$.
C. $left( {3;0;0} right)$.
D. $left( {0;0; – 1} right)$.
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {3;1; – 1} right)$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $left( {0;1;0} right)$.
Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {3; – 1;1} right)$ trên trục $Oz$ có tọa độ là
A. $left( {3; – 1;0} right)$.
B. $left( {0;0;1} right)$.
C. $left( {0; – 1;0} right)$.
D. $left( {3;0;0} right)$.
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {3; – 1;1} right)$ trên trục $Oz$ có tọa độ là $left( {0;0;1} right)$
Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {1;2; – 3} right)$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là
A. $left( {0;2; – 3} right)$.
B. $left( {1;0; – 3} right)$.
C. $left( {1;2;0} right)$.
D. $left( {1;0;0} right)$.
Lời giải
Chọn C.
Hình chiếu của điểm $Aleft( {a;b;c} right)$ lên mặt phẳng $left( {Oxy} right)$ là điểm $A’left( {a;b;0} right)$ nên hình chiếu của điểm $Aleft( {1;2; – 3} right)$ lên mặt phẳng $left( {Oxy} right)$ là điểm $A’left( {1;2;0} right)$.
Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {2;1; – 1} right)$ trên mặt phẳng $left( {Ozx} right)$ có tọa độ là
A. $left( {0;1;0} right)$.
B. $left( {2;1;0} right)$.
C. $left( {0;1; – 1} right)$.
D. $left( {2;0; – 1} right)$.
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu của $Mleft( {2;1; – 1} right)$ lên mặt phẳng $left( {Ozx} right)$ là điểm có tọa độ $left( {2;0; – 1} right)$.
Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {3; – 1;1} right)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $left( {{text{Oyz}}} right)$ là điểm
A. $Mleft( {3;0;0} right)$
B. $Nleft( {0; – 1;1} right)$
C. $Pleft( {0; – 1;0} right)$
D. $Qleft( {0;0;1} right)$
Lời giải
Chọn B
Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng $left( {{text{Oyz}}} right)$, ta giữ lại các thành phần tung độ và cao độ nên hình chiếu của $Aleft( {3; – 1;1} right)$ lên $left( {Oyz} right)$ là điểm $Nleft( {0; – 1;1} right)$.
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ $left( {{text{Oyz}}} right)$ ?
A. $Mleft( {3;4;0} right)$.
B. $Pleft( { – 2;0;3} right)$.
C. $Qleft( {2;0;0} right)$.
D. $Nleft( {0;4; – 1} right)$.
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng tọa độ $left( {Oyz} right)$ có phương trình là $x = 0 Rightarrow Nleft( {0;4; – 1} right) in left( {Oyz} right)$.
Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $Mleft( {4;5;6} right)$. Hình chiếu của $M$ xuống mặt phẳng $left( {Oyz} right)$ là $M’$. Xác định tọa độ $M’$.
A. $M’left( {4;5;0} right)$.
B. $M’left( {4;0;6} right)$.
C. $M’left( {4;0;0} right)$.
D. $M’left( {0;5;6} right)$
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu của $Mleft( {4;5;6} right)$ xuống mặt phẳng $left( {Oyz} right)$ là $M’left( {0;5;6} right)$.
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {x;y;z} right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $left( {Oxz} right)$ thì $M’left( {x;y; – z} right)$.
B. Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua $Oy$ thì $M’left( {x;y; – z} right)$.
C. Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $left( {Oxy} right)$ thì $M’left( {x;y; – z} right)$.
D. Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$ thì $M’left( {2x;2y;0} right)$.
Lời giải
Chọn C
Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $left( {Oxz} right)$ thì $M’left( {x; – y;z} right)$. Do đó phương án Asai.
Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua $Oy$ thì $M’left( { – x;y; – z} right)$. Do đó phương án $B$ sai.
Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$ thì $M’left( { – x; – y; – z} right)$. Do đó phương án $D$ sai.
Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, tọa độ điểm đối xứng của $Mleft( {1;2;3} right)$ qua mặt phẳng $left( {Oyz} right)$ là
A. $left( {0;2;3} right)$.
B. $left( { – 1; – 2; – 3} right)$.
C. $left( { – 1;2;3} right)$.
D. $left( {1;2; – 3} right)$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $left( {Oyz} right) Rightarrow Hleft( {0;2;3} right)$
Gọi $M’$ là điểm đối xứng với $Mleft( {1;2;3} right)$ qua mặt phẳng $left( {{text{Oyz}}} right)$
$ Rightarrow H$ là trung điểm của $MM’ Rightarrow M’left( { – 1;2;3} right)$.
Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {2; – 3;5} right)$. Tìm tọa độ $A’$ là điểm đối xứng với $A$ qua trục $Oy$.
A. $A’left( {2;3;5} right)$.
B. $A’left( {2; – 3; – 5} right)$.
C. $A’left( { – 2; – 3;5} right)$.
D. $A’left( { – 2; – 3; – 5} right)$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $Aleft( {2; – 3;5} right)$ lên $Oy$. Suy ra $Hleft( {0; – 3;0} right)$
Khi đó $H$ là trung điểm đoạn $AA’$.
$left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{x_{A’}} = 2{x_H} – {x_A} = – 2} {{y_{A’}} = 2{y_H} – {y_A} = – 3} {{z_{A’}} = 2{z_H} – {z_A} = – 5} end{array} Rightarrow A’left( { – 2; – 3; – 5} right)} right.$
Câu 20. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {1; – sqrt 2 ;sqrt 3 } right)$. Tìm điểm $M’ in Ox$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM’$ ngắn nhất.
A. $M’left( { – 1;0;0} right)$.
B. $M’left( {1;0;0} right)$.
C. $M’left( {1;0;sqrt 3 } right)$.
D. $M’left( {1; – sqrt 2 ;0} right)$.
Lời giải
Chọn B.
$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên trục $Ox Rightarrow M’left( {1;0;0} right)$
Câu 21. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {sqrt 2 ;0;sqrt 3 } right)$. Tìm điểm $M’ in Oy$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM’$ ngắn nhất.
A. $M’left( {0; – sqrt 2 ;0} right)$.
B. $M’left( {sqrt 2 ;0;0} right)$.
C. $M’left( {0;0;sqrt 3 } right)$.
D. $M’left( {0;0;0} right)$.
Lời giải
Chọn D.
$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên trục $Oy Rightarrow M’left( {0;0;0} right)$
Câu 22. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {1;2; – sqrt 3 } right)$. Tìm điểm $M’ in Oz$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM’$ ngắn nhất.
A. $M’left( {1;0; – sqrt 3 } right)$.
B. $M’left( {0;2; – sqrt 3 } right)$.
C. $M’left( {0;0; – sqrt 3 } right)$.
D. $M’left( {0;0;sqrt 3 } right)$.
Lời giải
Chọn C.
$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên trục $Oz Rightarrow M’left( {0;0; – sqrt 3 } right)$
Câu 23. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Aleft( {1;1;2} right)$. Tìm điểm $A’ in left( {Oxy} right)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AA’$ ngắn nhất.
A. $A’left( { – 1;1;0} right)$.
B. $A’left( {1;1;0} right)$.
C. $A’left( {2;2;0} right)$.
D. $A’left( {2; – 1;2} right)$.
Lời giải
Chọn B.
$AA’$ ngắn nhất khi điểm $A’$ là hình chiếu điểm $A$ trên mặt phẳng $left( {Oxy} right) Rightarrow A’left( {1;1;0} right)$
Câu 24. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {1;1 – sqrt 2 ;2 + sqrt 5 } right)$. Tìm điểm $M’ in left( {Oxz} right)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM$ ‘ ngắn nhất.
A. $M’left( {1;1 + sqrt 2 ;2 – sqrt 5 } right)$.
B. $M’left( {1;1 – sqrt 2 ;0} right)$.
C. $M’left( {1;0;2 + sqrt 5 } right)$.
D. $M’left( {0;1 – sqrt 2 ;2 + sqrt 5 } right)$.
Lời giải
Chọn C.
$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên mặt phẳng $left( {Oxz} right) Rightarrow M’left( {1;0;2 + sqrt 5 } right)$
Câu 25. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {1 + sqrt 2 ;2;1 – sqrt 2 } right)$. Tìm điểm $M’ in left( {Oyz} right)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM$ ‘ ngắn nhất.
A. $M’left( {1 + sqrt 2 ;0;1 – sqrt 2 } right)$.
B. $M’left( {0;2;1 – sqrt 2 } right)$.
C. $M’left( {0; – 2;1 – sqrt 2 } right)$.
D. $M’left( {0; – 2;1 + sqrt 2 } right)$.
Lời giải
Chọn B.
$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên mặt phẳng $left( {Oyz} right) Rightarrow M’left( {0;2;1 – sqrt 2 } right)$
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $Aleft( {1;0;3} right),Bleft( {2;3; – 4} right),Cleft( { – 3;1;2} right)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
A. $Dleft( { – 4; – 2;9} right)$.
B. $Dleft( { – 4;2;9} right)$.
C. $Dleft( {4; – 2;9} right)$.
D. $Dleft( {4;2; – 9} right)$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $Dleft( {x;y;z} right)$.
Để $ABCD$ là hình bình hành
$ Leftrightarrow overrightarrow {AB} = overrightarrow {DC} Leftrightarrow left( {1;3; – 7} right) = left( { – 3 – x;1 – y;2 – z} right)$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = – 4} {y = – 2} {z = 9} end{array} Rightarrow Dleft( { – 4; – 2;9} right)} right.$.
Câu 27. Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$. Biết $A = left( {1;0;1} right),B = left( {2;1;2} right)$ và $D = left( {1; – 1;1} right)$. Tọa độ điểm $C$ là
A. $left( {2;0;2} right)$.
B. $left( {2;2;2} right)$.
C. $left( {2; – 2;2} right)$.
D. $left( {0; – 2;0} right)$.
Lời giải
Chọn A
Gọi tọa độ điểm $C$ là $left( {x;y;z} right)$
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $overrightarrow {DC} = overrightarrow {AB} $
Ta có $overrightarrow {DC} = left( {x – 1;y + 1;z – 1} right)$ và $overrightarrow {AB} = left( {1;1;1} right)$
Suy ra $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x – 1 = 1} {y + 1 = 1} {z – 1 = 1} end{array} Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 2} {y = 0} {z = 2} end{array}} right.} right.$
Vậy tọa độ điểm $C$ là $left( {2;0;2} right)$.
Câu 28. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $Aleft( {1;0;1} right),Bleft( {2;1;2} right),Dleft( {1; – 1;1} right)$, $C’left( {4;5; – 5} right)$. Tính tọa độ đỉnh $A’$ của hình hộp.
A. $A’left( {4;6; – 5} right)$.
B. $A’left( {2;0;2} right)$.
C. $A’left( {3;5; – 6} right)$.
D. $A’left( {3;4; – 6} right)$.
Lời giải
Chọn C
Theo quy tắc hình hộp ta có: $overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’} = overrightarrow {AC’} $.
Suy ra $overrightarrow {AA’} = overrightarrow {AC’} – overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} $.
Lại có: $overrightarrow {AC’} = left( {3;5; – 6} right),overrightarrow {AB} = left( {1;1;1} right),overrightarrow {AD} = left( {0; – 1;0} right)$.
Do đó: $overrightarrow {AA’} = left( {2;5; – 7} right)$.
Suy ra $A’left( {3;5; – 6} right)$.
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD cdot A’B’C’D’$, biết rằng $Aleft( { – 3;0;0} right)$, $Bleft( {0;2;0} right),Dleft( {0;0;1} right),A’left( {1;2;3} right)$. Tìm tọa độ điểm $C’$.
A. $C’left( {10;4;4} right)$.
B. $C’left( { – 13;4;4} right)$.
C. $C’left( {13;4;4} right)$.
D. $C’left( {7;4;4} right)$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $C’left( {x;y;z} right)$.
Ta có $overrightarrow {AB} = left( {3;2;0} right);overrightarrow {AD} = left( {3;0;1} right);overrightarrow {AA’} = left( {4;2;3} right)$.
Mà $overrightarrow {AC’} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’} $
$ Rightarrow overrightarrow {AC’} = left( {10;4;4} right) Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 10 + 3} {y = 4 – 0} {z = 4 – 0} end{array} Rightarrow C’left( {13;4;4} right)} right.$.
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hình hộp $ABCD cdot A’B’C’D’$. Biết $Aleft( {2;4;0} right)$, $Bleft( {4;0;0} right),Cleft( { – 1;4; – 7} right)$ và $D’left( {6;8;10} right)$. Tọa độ điểm $B’$ là
A. $B’left( {8;4;10} right)$.
B. $B’left( {6;12;0} right)$.
C. $B’left( {10;8;6} right)$.
D. $B’left( {13;0;17} right)$.
Lời giải
Chọn D
Giả sử $Dleft( {a;b;c} right),B’left( {a’;b’;c’} right)$
Gọi $O = AC cap BD Rightarrow Oleft( {frac{1}{2};4;frac{{ – 7}}{2}} right) Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {a = – 3} {b = 8} {c = – 7} end{array}} right.$.
Vậy $overrightarrow {DD’} = left( {9;0;17} right),overrightarrow {BB’} = left( {a’ – 4;b’;c’} right)$.
Do $ABCD cdot A’B’C’D’$ là hình hộp nên $overrightarrow {DD’} = overrightarrow {BB’} Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {a’ = 13} {b’ = 0} {c’ = 17} end{array}} right.$.
Vậy $B’left( {13;0;17} right)$.
