Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.
Giới hạn của hàm số lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)
(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD
Bài giảng: Bài 2: Giới hạn của hàm số – Cô Nguyễn Yến (Giáo viên VietJack)
Lý thuyết Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1.1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số f(x) xác định trên K hoặc trên K{x0}. Hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K{x0} và xn → x0 thì f(xn) → L.
Kí hiệu hay f(x) → L khi x → x0.
Nhận xét: limx→x0x=x0; limx→x0c=c, với c là hằng số.
Chú ý: Hàm số f(x) có thể không xác định tại x = x0 nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới x0.
Ví dụ 1. Xét hàm số (x ≠ 2). Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải
Giả sử (xn) là dãy bất kì, thỏa mãn xn ≠ 2 và lim xn = 2.
.
1.2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
.
Ví dụ 2. Tìm
a) ;
b) limx→0x+3x−4.
Hướng dẫn giải
.
1.3. Giới hạn một phía
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu .
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu .
• khi và chỉ khi .
Ví dụ 3.
.
Hướng dẫn giải
.
2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu hay f(x) → L khi x → +∞.
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới âm vô cực nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → -∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu hay f(x) → L khi x → -∞.
Chú ý:
+ Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
limx→+∞c=c; limx→−∞c=c; limx→+∞cxk=0; limx→−∞cxk=0.
+ Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi x → +∞ hoặc x → -∞.
Ví dụ 4. Tìm limx→+∞c=c; limx→−∞c=c; limx→+∞cxk=0; limx→−∞cxk=0..
Hướng dẫn giải
.
3. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi x → a+ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → a, ta có f(xn) → +∞.
Kí hiệu hay f(x) → +∞ khi x → a+.
– Các trường hợp ; được định nghĩa tương tự.
Chú ý: Ta có các giới hạn cơ bản sau:
limx→a+1x−a=+∞; limx→a−1x−a=−∞.
Ví dụ 5. Tính limx→3−1x−3.
Hướng dẫn giải
Ta có limx→3−1x−3.
Vậy limx→3−1x−3=−∞.
4. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → +∞.
Kí hiệu hay f(x) →+∞ khi x → +∞.
– Các trường hợp được định nghĩa tương tự.
Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau:
• limx→+∞xk=+∞ với k là số nguyên dương.
• limx→-∞xk=+∞ k là số nguyên dương chẵn.
• limx→-∞xk=-∞ k là số nguyên dương lẻ.
Ví dụ 6. limx→+∞x5=+∞; limx→-∞x5=-∞.
Bài tập Giới hạn của hàm số
Bài 1. Cho f(x) =1 – x và g(x) = 2×3. Tính các giới hạn sau:
.
Hướng dẫn giải
.
Bài 2. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số:
a) limx→1×3;
b) limx→−24−x22+x.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử (xn) là một dãy bất kì và xn → 1 khi n → +∞.
Khi đó limxn3=13=1.
Vậy limx→1×3=1.
b) Giả sử (xn) là một dãy bất kì thỏa mãn xn ≠ -2 và xn → -2 khi n → +∞.
Vậy limx→−24−x22+x=4.
Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) ;
b) limx→1×2+x−2x−1;
c) limx→−∞x+2x−1
Hướng dẫn giải
.
Học tốt Giới hạn của hàm số
Các bài học để học tốt Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 hay khác:
-
Giải sgk Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
-
Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục
-
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3
-
Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
-
Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
-
Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:
- Giải sgk Toán 11 Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
- Giải SBT Toán 11 Cánh diều
- Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
- Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
