Cho f(x) là một hàm số và F(x) là một nguyên hàm của nó, nghĩa là, F'(x) = f(x) (để đơn giản, tất cả các hàm số ở đây đều có miền xác định là toàn bộ đường thẳng thực). Thì tích phân của f(x) từ a đến b bằng F(b) – F(a). Tất cả các nguyên hàm đều bằng nhau ngoại trừ việc khác nhau bởi việc cộng thêm một hằng số, vì vậy tích phân bất định của f(x) có dạng tổng quát là F(x) + c với c là hằng số.
Vì vậy, theo nghĩa này, chúng là hai khái niệm song đối: nếu bạn lấy tích phân bất định F(x) + c (tất cả các nguyên hàm) của một hàm số f(x) rồi đạo hàm bất kỳ nguyên hàm nào, bạn sẽ quay lại điểm xuất phát. Ngược lại, nếu bạn bắt đầu với bất kỳ hàm số khả vi F(x) nào và đạo hàm nó, rồi tích phân nó, bạn sẽ được F(x) + c. Vì vậy, “tích phân rồi đạo hàm” đưa bạn trở lại điểm xuất phát, “đạo hàm rồi tích phân” đưa bạn đến hàm số bạn bắt đầu, ngoại trừ giờ đây bạn có cả họ hàm số gốc và tất cả các phép tịnh tiến dọc theo trục tung của nó.
Điều này là do việc đạo hàm là một ánh xạ tuyến tính nhưng không đơn ánh trên lớp các hàm số khả vi, hạt nhân của nó chính xác là các hàm số hằng. Vì vậy, nó không có “nghịch đảo” theo nghĩa đen, nhưng nghịch đảo được xác định tốt cho đến khi cộng thêm một hằng số, nghĩa là, nếu F và G có cùng đạo hàm, thì F(x) = G(x) + c với một số c nào đó.
Edit: đọc lại câu hỏi của bạn, có vẻ như bạn thực sự quan tâm đến lý do tại sao nguyên hàm lại giúp tính toán diện tích (có dấu). Hãy để tôi đưa ra một lời giải thích đơn giản.
Giả sử f(x) là một hàm số khá ổn và F(x) là một nguyên hàm. Hãy xấp xỉ diện tích có dấu bên dưới f(x) giữa a và b bằng cách tưởng tượng các cột gồm n thanh có chiều rộng bằng nhau (với n rất lớn, vì vậy có rất nhiều thanh mỏng tạo ra một xấp xỉ tốt). Chúng ta có các giá trị x sau đây để xem xét:
a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b
đều cách đều nhau (tức là, hai giá trị liên tiếp có khoảng cách h := (b-a)/n). Thay vào f, chúng có các giá trị
f(x0), f(x1), …, f(xn).
Cho chiều cao của cột giữa xi và x{i+1} là giá trị của f tại điểm đầu bên trái, tức là f(xi). Vì vậy, do mỗi thanh có chiều rộng h, xấp xỉ tích phân của chúng ta là tổng
I = h(f(x0) + f(x1) + … + f(x{n-1}).
Mặt khác, xét F(b) – F(a), trong đó F'(x) = f(x). Đối với h nhỏ, ta có xấp xỉ tốt
f(x) = F'(x) ≈ (F(x+h) – F(x))/h.
Sau đó
f(xi) ≈ (F(x{i+1} – F(xi))/h.
Thay cái trên vào phương trình cho I, ta được
I ≈ h((F(x1)-F(x0))/h + (F(x2)-F(x1))/h + … + (F(xn)-F(x{n-1}))/h).
Lưu ý rằng các h bị triệt tiêu, và tất cả trừ F(x0) = a và F(xn) = b triệt tiêu lẫn nhau (“tổng telescoping”), vì vậy ta được
I ≈ F(b) – F(a).
Bây giờ, để làm cho điều này chính xác hơn một chút về mặt kỹ thuật, người ta muốn kiểm soát độ chính xác của xấp xỉ này khi xấp xỉ sử dụng các thanh mỏng hơn và mỏng hơn, và cho thấy mọi thứ đều hoạt động tốt. Nhưng đây về cơ bản là ý tưởng chính.
Một cách trực quan hơn, để hiểu mối liên hệ, tôi sẽ xem xét ví dụ về f(t) = vận tốc của một chiếc xe và F(t) = quãng đường đi được từ điểm xuất phát tại thời điểm t. Vận tốc tại bất kỳ thời điểm nào là đạo hàm F'(x), về cơ bản là theo định nghĩa (tôi đi được quãng đường bao nhiêu, so với một bước thời gian rất nhỏ?). Nhưng, ngược lại, quãng đường của bạn tại bất kỳ thời điểm nào (được quyết định bởi F(t)) có thể được coi là được xấp xỉ bằng rất nhiều đóng góp nhỏ của việc tiến về phía trước bằng một bước thời gian nhỏ h, với đóng góp h.f(t) (vì, khi di chuyển với vận tốc f(t) tại thời điểm t, sau một bước nhảy nhỏ trong thời gian h, bạn sẽ di chuyển được quãng đường xấp xỉ h.f(t), chỉ xấp xỉ vì vận tốc của bạn có thể thay đổi ở giữa, nhưng không nhiều nếu f(t) khá ổn và h rất nhỏ). Sau đó, cộng tất cả các đóng góp này lại, một mặt bạn khôi phục hàm quãng đường của mình, nhưng mặt khác bạn về cơ bản đang cộng các diện tích của các cột xấp xỉ diện tích bên dưới đồ thị của f(t).
