Tích phân hàm ẩn là một dạng toán mà các em được học trong chương trình Toán học Giải tích 12. Mặc dù đã được học qua nhưng khi giải dạng toán này rất nhiều em học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn. Để giúp các em tự tin hơn khi học nội dung này, Marathon Education sẽ chia sẻ đến các em những kiến thức về tích phân hàm ẩn và phương pháp giải chi tiết các dạng toán liên quan.
Tích phân hàm ẩn là gì?
Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà hàm số đã bị ẩn đi. Đề bài sẽ không cho các em thấy hàm số cần tính là gì mà chỉ hiển thị một số điều kiện có sẵn. Để giải được dạng toán này, các em cần phải tư duy nhiều hơn trong quá trình giải toán và nắm vững những phương pháp giải cơ bản.
Các dạng toán tích phân hàm ẩn và phương pháp giải
Dạng 1: Phương pháp sử dụng quy tắc và đạo hàm của hàm hợp
Quy tắc 1:
Nếu u = u(x) và v = v(x) thì (uv)’ = u’v + uv’
Nếu [f(x).g(x)]’ = h(x) thì f(x).g(x) = ∫h(x)dx.
Ví dụ minh họa:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) và thỏa mãn điều kiện f(1) = 3, x(4 – f’(x)) = f(x) – 1 với mọi x > 0. Các em hãy tính giá trị của f(2).
Bài giải:
x(4 – f’(x)) = f(x) – 1 ⟹ xf’(x) + f(x) = 4x + 1
⟹ [xf(x)]’ = 4x + 1
⟹ xf(x) = ∫(4x + 1)dx
⟹ xf(x) = 2×2 + x + C
Ta có: f(1) = 3 ⟹ C = 0
⟹ f(x) = 2x+1
⟹ f(2) = 5
Quy tắc 2:
Ví dụ minh họa:
Bài giải:
Quy tắc 3:
Ví dụ minh họa:
Bài giải:
Quy tắc 4:
Nếu u = u(x) thì thì (eu)’ = u’.eu
Nếu (ef(x))’ = g(x) thì ef(x) = ∫g(x)dx
Ví dụ minh họa:
Bài giải:
Quy tắc 5:
Ví dụ minh họa:
Bài giải:
Dạng 2: Phương pháp sử dụng định nghĩa của nguyên hàm, tích phân
Dạng toán này của tích phân hàm ẩn xuất phát từ tính chất sau đây của nguyên hàm:
∫f’(x)dx = f(x) + C
Trong công thức này, các em sẽ biết f’(x) (hàm số bị ẩn trong f’(x)) và chưa biết hệ số C nhưng đã biết một vài giá trị của f(x). Lúc này, bài toán sẽ yêu cầu các em tính một số giá trị của f(x).
Để giải dạng toán tích phân hàm ẩn này, các em có thể áp dụng một trong 2 cách sau:
- Cách 1: Sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm để xác định f(x)+C. Tiếp theo, các em hãy sử dụng những giá trị đã biết của f(x) để xác định hệ số C, cuối cùng các em tính giá trị cần tìm.
- Cách 2: Nếu hàm số đã cho có tích phân trên [a;b] thì các em hãy sử dụng công thức tích phân để tính giá trị.
Ví dụ minh họa:
Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đạo hàm thỏa mãn f’(x) = 2x + 3, f(1) = 0. Các em hãy tính f(2).
Bài giải:
Cách 1: Dùng định nghĩa nguyên hàm
Ta có: f(x) = ∫f’(x)dx = ∫(2x + 3)dx = x2 + 3x + C
Mà f(1) = 0 nên C = -4
=> f(x) = x2 + 3x – 4
Vậy nên: f(2) = 6
Cách 2: Dùng định nghĩa tích phân
Dạng 3: Phương pháp đổi biến
Nếu trong bài tập tích phân hàm ẩn mà tích phân cần tính có cận khác với tích phân ở giả thiết thì các em hãy áp dụng phương pháp đổi biến số để giải.
Ví dụ minh họa:
Bài giải:
Dạng 4: Phương pháp tích phân từng phần
Nếu bài toán chứa tích phân hàm ẩn không thể sử dụng 3 phương pháp trên và trong tích phân có 2 hàm số xuất hiện với cận không đổi thì lúc này các em cần áp dụng phương pháp tích phân từng phần.
Ví dụ minh họa:
Bài giải:
Dạng 5: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'(x)+p(x).f(x)=h(x)
Phương pháp:
Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức: f'(x)+f(x)=h(x)
Phương pháp
Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'(x)-f(x)=h(x)
Phương pháp
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Bài viết trên của Marathon Education đã tổng hợp cho các em những kiến thức quan trọng về tích phân hàm ẩn và phương pháp giải các dạng toán liên quan. Các em chú ý học kỹ lý thuyết cũng như các ví dụ để vận dụng giải các bài tập.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!
