Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.
Nguyên hàm lớp 12 (Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức)
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTT
Bài giảng: Bài 11: Nguyên hàm – Cô Lê Hiền (Giáo viên VietJack)
Lý thuyết Nguyên hàm
1. Nguyên hàm của một hàm số
• Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Chú ý. Trường hợp K = [a; b] thì các đẳng thức F'(a) = f(a) và F'(b) = f(b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x = a và đạo hàm bên trái tại điểm x = b của hàm số F(x), tức là limx→a+Fx−Fax−a=fa và limx→b−Fx−Fbx−b=fb.
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x3 – 3×2. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ?
Fx=x44−x3; Gx=x44+x3.
Hướng dẫn giải
Ta có: F'(x) = x3 – 3×2, G'(x) = x3 + 3×2.
Vì F'(x) = f(x) với mọi x ∈ ℝ nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.
Hàm số G(x) không là nguyên hàm của f(x) trên ℝ vì với x = 1, ta có G'(1) = 4 ≠ −2 = f(1).
• Họ nguyên hàm của một hàm số
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;
b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x ∈ K.
Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C (C ∈ ℝ) là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi ∫fxdx.
Chú ý
a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó C là hằng số.
b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó.
c) Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.
Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 5×4 trên ℝ. Từ đó hãy tìm ∫5x4dx .
Hướng dẫn giải
Vì (x5)’ = 5×4 nên F(x) = x5 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ.
Do đó ∫5x4dx=x5+C.
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
• Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0
∫kfxdx=k∫fxdxk≠0.
Ví dụ 3. Hãy tìm ∫12x3dx .
Hướng dẫn giải
Ta có ∫12x3dx=12∫x3dx=12.×44+C=x48+C .
• Nguyên hàm của một tổng
∫fx+gxdx=∫fxdx+∫gxdx.
∫fx−gxdx=∫fxdx−∫gxdx.
Ví dụ 4. Hãy tìm:
a) ∫x−x2dx; b) ∫5×4+3x2dx .
Hướng dẫn giải
a) ∫x−x2dx =∫xdx−∫x2dx =x22−x33+C.
b) ∫5×4+3x2dx=5∫x4dx+3∫x2dx=5.×55+3.×33+C=x5+x3+C .
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
+) Hàm số lũy thừa
Hàm số y = xα, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:
– Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ.
– Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ{0}.
– Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞).
+) Hàm số lũy thừa y = xα (α ∈ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và xα’=αxα−1.
+) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
∫xαdx=xα+1α+1+Cα≠−1.
∫1xdx=lnx+C.
Ví dụ 5. Hãy tìm:
a) ∫x−x2dx; b) ∫1x−1x2dx .
Hướng dẫn giải
a) ∫x−x2dx=∫xdx−∫x2dx=∫x12dx−∫x2dx
=23×32−x33+C .
b) ∫1x−1x2dx=∫1xdx−∫1x2dx=∫1xdx−∫x−2dx
=lnx+1x+C.
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
∫cosxdx=sinx+C;
∫sinxdx=−cosx+C;
∫1cos2xdx=tanx+C;
∫1sin2xdx=−cotx+C.
Ví dụ 6. Hãy tìm:
a) ∫2cosx+1sin2xdx;
b) ∫2sinx+2cos2xdx .
Hướng dẫn giải
a) ∫2cosx+1sin2xdx=∫2cosxdx+∫1sin2xdx
=2sinx−cotx+C.
b) ∫2sinx+2cos2xdx=2∫sinxdx+2∫1cos2xdx
=−2cosx+2tanx+C.
• Nguyên hàm của hàm số mũ
∫exdx=ex+C.
∫axdx=axlna+C0<a≠1.
Ví dụ 7. Hãy tìm:
a) ∫ex−2xdx; b) ∫x+12xdx .
Hướng dẫn giải
a) ∫ex−2xdx=∫exdx−∫2xdx=ex−2xln2+C .
b) ∫x+12xdx=∫xdx+∫12xdx=x22+12ln12x+C
=x22−12xln2+C .
Bài tập Nguyên hàm
Bài 1. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = 9x + 3×2 là:
A. F(x) = 9x + x3.
B. F(x) = 9xln9 + x3.
C. Fx=9xln9+6x.
D. Fx=9xln9+x3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì F’x=9xln9+x3’=9x+3x2nên Fx=9xln9+x3là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 9x + 3×2.
Bài 2. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. ∫kfxdx=k∫fxdx,k≠0.
B. ∫fx.gxdx=∫fxdx.∫gxdx.
C. ∫fx+gxdx=∫fxdx+∫gxdx.
D. ∫1xdx=lnx+C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ các tính chất của nguyên hàm, ta thấy đáp án B là sai.
Bài 3. Tìm
a) ∫2x+exdx; b) ∫sinx−cosxdx.
Hướng dẫn giải
a) ∫2x+exdx=2∫xdx+∫exdx=2.x22+ex+C
=x2+ex+C.
b) ∫sinx−cosxdx=∫sinxdx−∫cosxdx
=−cosx−sinx+C.
Bài 4. Tìm
a) ∫x2+2x+3x3dx; b) ∫102xdx; c) ∫2x−1exdx.
Hướng dẫn giải
a) ∫x2+2x+3x3dx=∫1xdx+2∫x−52dx+3∫x−3dx
=lnx−43x−32−32x−2+C .
b) ∫102xdx=∫100xdx=100xln100+C .
c) ∫2x−1exdx=∫2xexdx−∫1exdx=∫2exdx−∫1exdx
=2exln2e−1exln1e+C=2xexln2−1+1ex+C
Bài 5. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc at=−124t3+516t2(m/s2), trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có vt=∫atdt=∫−124t3+516t2dt=−196t4+548t3+C .
Vì v(0) = 0 nên C = 0.
Do đó vt=−196t4+548t3 .
Vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là:
v5=−196.54+548.53=62596≈6,51 (m/s).
Học tốt Nguyên hàm
Các bài học để học tốt Nguyên hàm Toán lớp 12 hay khác:
-
Giải sgk Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTT
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay khác:
-
Lý thuyết Toán 12 Bài 12: Tích phân
-
Lý thuyết Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân
-
Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 4
-
Lý thuyết Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng
-
Lý thuyết Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:
- Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
