Mọi thứ. Táo và Cam.
Nguyên hàm
Nếu f(x) là một hàm số, thì một nguyên hàm của f(x) là một hàm số khác F(x) sao cho F'(x)=f(x). Mình nhấn mạnh “một” vì nếu có một hàm như vậy, thì sẽ có vô số hàm khác: Nếu F(x) là một nguyên hàm, thì F(x)+1, F(x)-pi, F(x)+10e, và F(x)+r với bất kỳ số thực r nào cũng là nguyên hàm. Chẳng có nguyên hàm nào đặc biệt hơn nguyên hàm nào cả, tất cả đều ngang nhau.
Nói chung, tìm nguyên hàm của một hàm số rất khó. Nếu không dùng toán học cao cấp hơn, cách duy nhất để tìm nguyên hàm của f(x) là nếu ta tình cờ đã tính nó như đạo hàm của một hàm số khác. Nguyên hàm của f(x)=3×2 là gì? F(x)=x3 sẽ đúng. Tại sao? Vì khi tính đạo hàm của một loạt các hàm số thông thường, ta thấy đạo hàm của F(x)=x3 là 3×2. Nguyên hàm của g(x)=cos(x) là G(x)=sin(x) vì khi tính đạo hàm, ta thấy đạo hàm của sin(x) là cos(x).
Tuy nhiên, mỗi quy tắc đạo hàm lại cho ta một cách khác để tìm nguyên hàm. Ví dụ, ta có quy tắc đạo hàm (d/dx)(A(x)+B(x)) = A'(x)+B'(x), tức là toán tử đạo hàm phân phối qua phép cộng. Vậy nếu ta có hàm h(x)=3×2+cos(x), thì ta có thể viết lại như sau:
-
h(x) = 3×2 + cos(x) = (d/dx)(x3) + (d/dx)(sin(x))
Sau đó, dùng quy tắc cộng cho đạo hàm, ta có thể đặt d/dx ra ngoài:
-
h(x) = (d/dx)(x3) + (d/dx)(sin(x)) = (d/dx)(x3+sin(x))
Tức là, nếu H(x)=x3+sin(x), thì H'(x)=h(x), vậy H(x) là nguyên hàm của h(x). Nói chung, nếu bạn có một hàm số, bạn có thể tìm nguyên hàm nếu bạn có thể dùng các đạo hàm đã biết và các quy tắc đạo hàm để đặt d/dx ra trước tất cả mọi thứ. Trong trường hợp này, ta bắt đầu với 3×3+cos(x) và dùng các đạo hàm đã biết và các quy tắc đạo hàm để viết lại thành (d/dx)(x3+sin(x)), từ đó cho ta một nguyên hàm. Tuy nhiên, lưu ý rằng ta phải dùng quy tắc cộng (d/dx)(A(x)+B(x)) = A'(x)+B'(x) theo chiều từ phải sang trái, điều này hoàn toàn ổn vì dấu bằng hoạt động cả hai chiều. (Nhưng sách giáo khoa giải tích lại không nhấn mạnh việc dấu bằng có thể hoạt động nhiều hơn là chỉ từ trái sang phải).
Vì vậy, công cụ chính của chúng ta để tìm nguyên hàm là sử dụng các quy tắc đạo hàm theo chiều ngược lại, không theo cách truyền thống. Bây giờ, nếu ta quan tâm đến tất cả các nguyên hàm, vì không có nguyên hàm nào đặc biệt hơn, thì ta có thể diễn đạt điều này bằng cách nói rằng “Với bất kỳ số thực r nào, hàm H(x)=x3+sin(x)+r là một nguyên hàm của h(x)=3×2+cos(x)”.
Tích phân
Nếu f(x) là một hàm số, thì tích phân của f(x) trên khoảng [[a,b] là giới hạn của Tổng Riemann trên khoảng đó (nếu nó hội tụ). Theo trực giác, điều này sẽ cho ta diện tích dưới hàm f(x) giữa x=a và x=b. Một sự khác biệt lớn ngay lập tức là nguyên hàm của một hàm số là một hàm số khác, không có gì đặc biệt, trong khi tích phân của một hàm số là một số đặc biệt.
Nói chung, việc xấp xỉ tích phân khá dễ dàng, vì giới hạn của Tổng Riemann về cơ bản là một công thức để xấp xỉ số đặc biệt này. Tuy nhiên, việc tính toán chính xác lại khó khăn đối với hầu hết các hàm số. Nếu không dùng toán học cao cấp hơn, việc tính toán chính xác tích phân cực kỳ tốn thời gian, và có thể không thể thực hiện bằng tay chỉ từ công thức của Tổng Riemann.
Nguyên hàm nói về việc đảo ngược phép vi phân, tích phân gán các số cho các hàm số để cho biết chúng “lớn” như thế nào. Hoàn toàn khác nhau.
Định lý cơ bản của giải tích
Mặc dù nguyên hàm và tích phân hoàn toàn không liên quan, nhưng chúng ta có một định lý cực kỳ mạnh mẽ liên hệ chúng với nhau: Định lý cơ bản của giải tích (ĐCBC).
Nếu f(x) là một hàm số có thể tích phân được, thì ta có thể tạo ra một hàm số mới, F(x), bằng cách dùng tích phân, hàm này liên quan đến f(x). Nếu x=A là bất kỳ điểm nào trong miền mà f(x) có thể tích phân được, thì ta có thể tính tích phân *A*∫xf(t)dt. Giá trị của tích phân này phụ thuộc vào x mà ta chọn, vì vậy nó là một hàm số của x. Sau đó, ta đặt
-
F(x) = *A*∫xf(t)dt
Đây là Hàm tích lũy của f(x) dựa trên x=A, và giá trị của F(x) là diện tích dưới f(t) giữa t=A và t=x. Phát biểu thứ nhất của ĐCBC nói rằng
-
F'(x)=f(x)
tức là, F(x) là một nguyên hàm của f(x). Điều này rất quan trọng vì nó cho phép ta tìm nguyên hàm cho các hàm số mà ta không thể tìm được bằng các phương pháp đã mô tả ở trên. Ví dụ, nếu f(x)=e-x^2, thì không có quy tắc đạo hàm nào cho phép ta viết nó dưới dạng một đạo hàm. Nhưng ĐCBC nói rằng ta có thể dựng một nguyên hàm cho nó bằng một cách khác. Nguyên hàm này rất quan trọng, được biết đến là Hàm lỗi (khi được chuẩn hóa), và được sử dụng rất nhiều trong xác suất.
Lưu ý rằng ta đang dùng tích phân để tạo ra nguyên hàm thông qua ĐCBC. Tích phân không phải là nguyên hàm, chỉ là phương tiện để ta tính toán một hàm số khác. Ngoài ra, nếu ta thay đổi điểm gốc A, thì ta sẽ có một nguyên hàm khác và nó chỉ là F(x)+r với một số thực r nào đó.
Phần thứ hai của ĐCBC hoạt động ngược lại. Nếu ta có một hàm số f(x), thì việc tính chính xác tích phân của nó trên khoảng [a,b] có thể khó khăn. Nhưng nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), thì ĐCBC nói rằng
-
*a*∫bf(x)dx = F(b)-F(a)
Nó cho ta một công thức để tính chính xác tích phân (giả sử ta có thể tìm được nguyên hàm). Điều này thực sự kỳ diệu vì giới hạn của Tổng Riemann rất khó xác định chính xác, điều này cho ta một cách chắc chắn để tính toán nhiều tích phân một cách tương đối dễ dàng. Mỗi khi bạn tính tích phân trong lớp như thế này, bạn nên nghĩ “Điều này xuất phát từ ĐCBC, chúng ta thật may mắn khi có ĐCBC”.
Tích phân bất định (Ghê!)
Khi bạn nói “Tích phân”, bạn có thể đang muốn nói đến Tích phân bất định. Vấn đề là tích phân bất định không phải là tích phân và hoàn toàn không liên quan gì đến tích phân. Tích phân bất định của một hàm số f(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x). Tức là, tích phân bất định của f(x) là một tập hợp các hàm số. Nếu F(x) là bất kỳ nguyên hàm nào của f(x), thì tích phân bất định của f(x) sẽ là tập hợp {F(x)+r, trong đó r là bất kỳ số thực nào}.
Việc gọi tích phân bất định là “tích phân” thực sự là một sự bất công đối với giáo dục, và việc sử dụng ký hiệu tích phân là một sự bất công đối với Giải tích và toán học nói chung. Điều này dẫn đến sự nhầm lẫn mà bạn đang gặp phải và những quan niệm sai lầm như “Tích phân và Vi phân là nghịch đảo của nhau”.
Trên thực tế, khi tính tích phân bất định, bạn chỉ sử dụng các quy tắc đạo hàm và không sử dụng các quy tắc tích phân. Trên thực tế, tất cả các bảng tích phân bất định đó chỉ là các quy tắc đạo hàm được viết theo chiều ngược lại, để bạn không phải học rằng dấu bằng hoạt động theo hai chiều. Thay vào đó, bạn có thể ghi nhớ gấp đôi lượng thông tin dư thừa. Hơn nữa, ký hiệu này che giấu sự kỳ diệu của ĐCBC. Thay vì tìm nguyên hàm, rồi áp dụng ĐCBC trong khi nghĩ “Điều này xuất phát từ ĐCBC, chúng ta thật may mắn khi có ĐCBC”, việc sử dụng nó chỉ trở thành “những gì bạn cần làm để trả lời câu hỏi”. Cuối cùng, nếu có một điều được dạy cho sinh viên đó là bạn phải thêm “+C”. Tuy nhiên, ý nghĩa của +C này hoàn toàn bị bỏ qua bởi sinh viên và sách giáo khoa khiến nó có vẻ như chúng ta chỉ chưa biết giá trị của C là bao nhiêu, thay vì nhấn mạnh rằng C không có một giá trị duy nhất vì nó đại diện cho tất cả các số cùng một lúc.
Tích phân bất định chỉ được đưa vào để hợp lý hóa công việc cần thiết để khiến sinh viên luyện tập tính toán tích phân một cách máy móc, trong khi có rất ít hoặc không có sự hiểu biết về các khái niệm trong Giải tích. Nếu được quyết định, chúng sẽ bị xóa bỏ hoàn toàn khỏi chương trình giảng dạy.
Khi bạn nghĩ “Tích phân”, hãy nghĩ “Diện tích” hoặc “Giới hạn của Tổng Riemann”. Đừng nghĩ “Nguyên hàm”. Khi bạn nghĩ về “Tích phân và Nguyên hàm”, hãy nghĩ “Định lý cơ bản của giải tích”.
