Đó là nguyên hàm $int{dfrac{P(x)}{Q(x)}dx}$ hoặc tích phân $intlimits_{a}^{b}{dfrac{P(x)}{Q(x)}dx}$ với $P(x),Q(x)$ là các đa thức.
Trường hợp đơn giản nhất của dạng toán này là nguyên hàm$int{dfrac{ax+b}{cx+d}dx}$ ta phân tích tử theo mẫu như sau:
$int{dfrac{ax+b}{cx+d}dx}=int{dfrac{dfrac{a}{c}left( cx+d right)+b-dfrac{ad}{c}}{cx+d}dx}=int{left( dfrac{a}{c}+dfrac{bc-ad}{cleft( cx+d right)} right)dx}=dfrac{a}{c}x+dfrac{bc-ad}{{{c}^{2}}}ln left| cx+d right|+C$
Ví dụ 1: [int{dfrac{2x+1}{x-2}dx}=int{dfrac{2left( x-2 right)+5}{x-2}dx}=int{left( 2+dfrac{5}{x-2} right)dx}=2x+5ln left| x-2 right|+C.]
Ví dụ 2: $int {dfrac{{x + 1}}{{2x – 1}}dx} = int {dfrac{{dfrac{1}{2}left( {2x – 1} right) + dfrac{3}{2}}}{{2x – 1}}dx} $
$ = int {left( {dfrac{1}{2} + dfrac{3}{{2left( {2x – 1} right)}}} right)dx} = dfrac{1}{2}x + dfrac{3}{4}ln left| {2x – 1} right| + C.$
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số thực dương $a$ để [intlimits_{0}^{1}{dfrac{2x+a}{x+a}dx}=2-2a?]
A. $2.$
B. $0.$
C. $1.$
D. $3.$
Giải. Ta có [intlimits_0^1 {dfrac{{2x + a}}{{x + a}}dx} = intlimits_0^1 {dfrac{{2left( {x + a} right) – a}}{{x + a}}dx} = intlimits_0^1 {left( {2 – dfrac{a}{{x + a}}} right)dx} = left( {2x – aln left| {x + a} right|} right)left| begin{gathered} 1 hfill 0 hfill end{gathered} right.]
[=2-aln left| dfrac{a+1}{a} right|=2-aln left( dfrac{a+1}{a} right),left( a>0 right)]
Vậy [2-aln left( dfrac{a+1}{a} right)=2-2aLeftrightarrow aleft[ ln left( dfrac{a+1}{a} right)-2 right]=0]
[Leftrightarrow ln left( dfrac{a+1}{a} right)-2=0,left( a>0 right)Leftrightarrow dfrac{a+1}{a}={{e}^{2}}Leftrightarrow a=dfrac{1}{{{e}^{2}}-1}.] Chọn đáp án C.
Áp dụng phương pháp tương tự như vậy cho các nguyên hàm dạng $int{dfrac{ax+b}{{{left( cx+d right)}^{n}}}dx}$
Ví dụ 4: [int{dfrac{2x+1}{{{left( x+2 right)}^{3}}}dx}=int{dfrac{2left( x+2 right)-3}{{{left( x+2 right)}^{3}}}dx}=int{left( dfrac{2}{{{left( x+2 right)}^{2}}}-dfrac{3}{{{left( x+2 right)}^{3}}} right)dx}]
[=-dfrac{2}{x+2}+dfrac{3}{2{{left( x+2 right)}^{2}}}+C.]
Ví dụ 5: Có bao nhiêu số thực dương $a$ để [intlimits_{0}^{1}{dfrac{x+a+1}{{{left( x+a right)}^{2}}}dx}=ln left( dfrac{2a+2}{a} right)?]
A. $2.$
B. $0.$
C. $1.$
D. $3.$
Giải. Ta có [intlimits_{0}^{1}{dfrac{x+a+1}{{{left( x+a right)}^{2}}}dx}=intlimits_{0}^{1}{dfrac{left( x+a right)+1}{{{left( x+a right)}^{2}}}dx}=intlimits_{0}^{1}{left( dfrac{1}{x+a}+dfrac{1}{{{left( x+a right)}^{2}}} right)dx}]
[ = left( {ln left| {x + a} right| – dfrac{1}{{x + a}}} right)left| begin{gathered} 1 hfill 0 hfill end{gathered} right. = ln left( {dfrac{{a + 1}}{a}} right) – dfrac{1}{{a + 1}} + dfrac{1}{a},left( {a > 0} right)]
Vậy [ln left( dfrac{a+1}{a} right)-dfrac{1}{a+1}+dfrac{1}{a}=ln left( dfrac{2a+2}{a} right)Leftrightarrow dfrac{1}{a}-dfrac{1}{a+1}=ln 2]
[Leftrightarrow dfrac{1}{{{a}^{2}}+a}=ln 2Leftrightarrow {{a}^{2}}+a-dfrac{1}{ln 2}=0Rightarrow 1{{n}_{0}}text{ }a>0.] Chọn đáp án C.
Phương pháp chung để tìm nguyên hàm và tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ: ta căn cứ vào bậc của tử và mẫu; cùng dạng của mẫu
*Bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu trước tiên dùng phép chia đa thức $Pleft( x right)$ chia cho $Qleft( x right)$ ta được $Pleft( x right)=Tleft( x right)Qleft( x right)+Rleft( x right)$ hay $dfrac{Pleft( x right)}{Qleft( x right)}=Tleft( x right)+dfrac{Rleft( x right)}{Qleft( x right)}$
Phép chia đa thức các em google xem lại kiến thức Toán 8 THCS.
Nếu chia đa thức bằng MTCT các em thực hiện như sau:
Bước 1: Nhập $dfrac{Pleft( x right)}{Qleft( x right)}$ và CALC với $x=1000$
Bước 2: Lấy phần nguyên của kết quả đó chính là thương $Tleft( x right)$
Bước 3: Phần dư suy từ đẳng thức $Rleft( x right)=Pleft( x right)-Tleft( x right)Qleft( x right)$ và CALC với $x=1000$
Cách 2: Với MTCT hỗ trợ phép chia có dư (chẳng hạn 580) các em thực hiện nhanh như sau:
Bước 1: Nhập $left( Pleft( x right) right)div Rleft( Qleft( x right) right)$ và CALC với $x=1000$
Bước 2: Kết quả $Tleft( x right),R=Rleft( x right)$(phân tích ngược lại như cách trên)
*Để nhập $div R$ các em nhấn ALPHA và dấu phân số; trong cả hai cách trên các em có thể CALC với $x=100$
Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức $dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{2x+1}$
Bước 1: Nhập $dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{2x+1}$ và CALC với $x=1000$
Bước 2: Phần nguyên của kết quả là $Tleft( x right)=997001={{10}^{6}}-3000+1={{x}^{2}}-3x+1$
Bước 3: Phần dư là $Rleft( x right)=left( 2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3 right)-left( 2x+1 right)left( {{x}^{2}}-3x+1 right)$ và CALC với $x=1000$ cho kết quả $Rleft( x right)=2$
Vậy $dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{2x+1}={{x}^{2}}-3x+1+dfrac{2}{2x+1}.$
Ví dụ 2: Thực hiện phép chia đa thức $dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}$
Bước 1: Nhập $dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}$ và CALC với $x=1000$
Bước 2: Phần nguyên của kết quả là $Tleft( x right)=1991=2000-9=2x-9$
Bước 3: Phần dư là $Rleft( x right)=left( 2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3 right)-left( {{x}^{2}}+2x-3 right)left( 2x-9 right)$ và CALC với $x=1000$ cho kết quả $Rleft( x right)=22976=23000-24=23x-24$
Vậy $dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}=2x-9+dfrac{23x-24}{{{x}^{2}}+2x-3}.$
Ví dụ 3: Thực hiện phép chia đa thức $dfrac{2{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+2x-1}{{{x}^{2}}-3x}$
Bước 1: Nhập $left( 2{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+2x-1 right)div Rleft( {{x}^{2}}-3x right)$ và CALC với $x=100$
Bước 2: Kết quả $Tleft( x right)=20612=20000+600+12=2{{x}^{2}}+6x+12$ và $Rleft( x right)=3799=3800-1=38x-1$
Vậy $dfrac{2{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+2x-1}{{{x}^{2}}-3x}=2{{x}^{2}}+6x+12+dfrac{38x-1}{{{x}^{2}}-3x}.$
*Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, thực hiện theo 3 khả năng sau:
Dạng 1: $intlimits_{a}^{b}{dfrac{P(x)}{alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})…(x-{{x}_{n}})}dx}$ phân tích $dfrac{P(x)}{alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})…(x-{{x}_{n}})}=dfrac{{{A}_{1}}}{x-{{x}_{1}}}+dfrac{{{A}_{2}}}{x-{{x}_{2}}}+…+dfrac{{{A}_{n}}}{x-{{x}_{n}}}.$
Dạng 2: $intlimits_{a}^{b}{dfrac{P(x)}{alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})…{{(x-{{x}_{k}})}^{s}}…(x-{{x}_{n}})}dx}$ phân tích
$dfrac{P(x)}{alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})…{{(x-{{x}_{k}})}^{s}}…(x-{{x}_{n}})}=dfrac{{{A}_{1}}}{x-{{x}_{1}}}+…left[ dfrac{{{A}_{k1}}}{x-{{x}_{k}}}+dfrac{{{A}_{k2}}}{{{(x-{{x}_{k}})}^{2}}}+…+dfrac{{{A}_{ks}}}{{{(x-{{x}_{k}})}^{s}}} right]+…+dfrac{{{A}_{n}}}{x-{{x}_{n}}}.$
Dạng 3: $intlimits_{a}^{b}{dfrac{P(x)}{alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})…(m{{x}^{2}}+nx+p)…(x-{{x}_{n}})}dx}$ với $mne 0;Delta ={{n}^{2}}-4mp<0$ phân tích
$dfrac{P(x)}{alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})…(m{{x}^{2}}+nx+p)…(x-{{x}_{n}})}=dfrac{{{A}_{1}}}{x-{{x}_{1}}}+…+left[ dfrac{Ax+B}{m{{x}^{2}}+nx+p} right]+…+dfrac{{{A}_{n}}}{x-{{x}_{n}}}.$
Các hệ số trong các phân tích trên tìm ra bằng cách quy đồng rút gọn sau đó đồng nhất hệ số của ${{x}^{n}}$ hai vế hoặc chọn các giá trị của $x$ đưa về giải hệ phương trình hoặc sử dụng MTCT.
ĐẶC BIỆT: [dfrac{1}{(x-a)(x-b)}=dfrac{1}{a-b}(dfrac{1}{x-a}-dfrac{1}{x-b});dfrac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=dfrac{1}{2a}left( dfrac{1}{x-a}-dfrac{1}{x+a} right)]
Xác định các hệ số trong phân tích bằng MTCT
Dạng 1: $dfrac{Pleft( x right)}{left( x-a right)left( x-b right)}=dfrac{A}{x-a}+dfrac{B}{x-b}$ các hệ số $A,B$ xác định nhanh bằng MTCT như sau:
$A = dfrac{{P(x)}}{{x – b}}left| begin{gathered} hfill x = a hfill end{gathered} right.,B = dfrac{{P(x)}}{{x – a}}left| begin{gathered} hfill x = b hfill end{gathered} right..$
Dạng 2: $dfrac{P(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)}=dfrac{A}{x-a}+dfrac{B}{x-b}+dfrac{C}{x-c}$ các hệ số $A,B,C$ xác định nhanh bằng MTCT như sau:
$A = dfrac{{P(x)}}{{(x – b)(x – c)}}left| begin{gathered} hfill x = a hfill end{gathered} right.,B = dfrac{{P(x)}}{{(x – a)(x – c)}}left| begin{gathered} hfill x = b hfill end{gathered} right.,C = dfrac{{P(x)}}{{(x – a)(x – b)}}left| begin{gathered} hfill x = c hfill end{gathered} right..$
Dạng 3: $dfrac{P(x)}{(x-m)(a{{x}^{2}}+bx+c)}=dfrac{A}{x-m}+dfrac{Bx+C}{a{{x}^{2}}+bx+c}$ các hệ số $A,B,C$ xác định nhanh bằng MTCT như sau:
$A = dfrac{{P(x)}}{{a{x^2} + bx + c}}left| begin{gathered} hfill x = m hfill end{gathered} right.,Bx + C = dfrac{{P(x) – A(a{x^2} + bx + c)}}{{x – m}}left| begin{gathered} hfill x = 1000 hfill end{gathered} right..$
Dạng 4: $dfrac{P(x)}{(x-m)(x-n)(a{{x}^{2}}+bx+c)}=dfrac{A}{x-m}+dfrac{B}{x-n}+dfrac{Cx+D}{a{{x}^{2}}+bx+c}$ các hệ số $A,B,C,D$ xác định nhanh bằng MTCT như sau:
$A = dfrac{{P(x)}}{{left( {x – n} right)left( {a{x^2} + bx + c} right)}}left| begin{gathered} hfill x = m hfill end{gathered} right.,B = dfrac{{Pleft( x right)}}{{left( {x – m} right)left( {a{x^2} + bx + c} right)}}left| begin{gathered} hfill x = n hfill end{gathered} right.$
và [Cx + D = dfrac{{P(x) – Aleft( {x – n} right)left( {a{x^2} + bx + c} right) – Bleft( {x – m} right)left( {a{x^2} + bx + c} right)}}{{left( {x – m} right)left( {x – n} right)}}left| begin{gathered} hfill x = 1000 hfill end{gathered} right..]
Các nguyên hàm phân thức hữu tỉ cần ghi nhớ để áp dụng
- $int{dfrac{du}{u}}=ln left| u right|+C.$
- $int{dfrac{1}{ax+b}dx}=dfrac{1}{a}ln left| ax+b right|+C.$
- $int{dfrac{1}{{{(ax+b)}^{n}}}dx}=-dfrac{1}{a}.dfrac{1}{(n-1){{(ax+b)}^{n-1}}}+C.$
- $int{dfrac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx}=dfrac{1}{2a}ln left| dfrac{x-a}{x+a} right|+C.$
- $int{dfrac{1}{(x-a)(x-b)}dx}=dfrac{1}{a-b}ln left| dfrac{x-a}{x-b} right|+C.$
- $int{dfrac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx}=dfrac{1}{a}arctan dfrac{x}{a}+C.$
- $int{dfrac{du}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}=dfrac{1}{a}arctan dfrac{u}{a}+C.$
- $int{dfrac{1}{{{(ax+b)}^{2}}+{{c}^{2}}}dx}=dfrac{1}{ac}.arctan left( dfrac{ax+b}{c} right)+C.$
Các ví dụ phải sử dụng phép chia đa thức trước (bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu)
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $int{dfrac{{{x}^{3}}+3x-1}{x+2}dx}$
Giải. Dùng phép chia đa thức ta có ${{x}^{3}}+3x-1=left( {{x}^{2}}-2x+7 right)left( x+2 right)-15$
$Rightarrow dfrac{{{x}^{3}}+3x-1}{x+2}={{x}^{2}}-2x+7-dfrac{15}{x+2}$
$Rightarrow int{dfrac{{{x}^{3}}+3x-1}{x+2}dx}=int{left( {{x}^{2}}-2x+7-dfrac{15}{x+2} right)dx}$
$=dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+7x-15ln left| x+2 right|+C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $int{dfrac{{{x}^{2}}+2x-3}{xleft( x-2 right)}dx}$
Giải. Thực hiện phép chia đa thức ta có thương và dư là $Tleft( x right)=1,Rleft( x right)=4x-3$ kết hợp với phân tích ta có:
$dfrac{{{x}^{2}}+2x-3}{xleft( x-2 right)}=1+dfrac{4x-3}{xleft( x-2 right)}=dfrac{a}{x}+dfrac{b}{x-2}$
$ Rightarrow a = dfrac{{4x – 3}}{{x – 2}}left| begin{gathered} hfill x = 0 hfill end{gathered} right. = dfrac{3}{2};b = dfrac{{4x – 3}}{x}left| begin{gathered} hfill x = 2 hfill end{gathered} right. = dfrac{5}{2}$
$Rightarrow int{dfrac{{{x}^{2}}+2x-3}{xleft( x-2 right)}dx}=int{left[ 1+dfrac{3}{2x}+dfrac{5}{2left( x-2 right)} right]dx}=x+dfrac{3}{2}ln left| x right|+dfrac{5}{2}ln left| x-2 right|+C.$
Đối với nguyên hàm dạng $int{dfrac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}}dx,text{ }left( ane 0;Delta ={{b}^{2}}-4ac<0 right).$
Bước 1: Phân tích $mx+n=dfrac{m}{2a}left( 2ax+b right)+n-dfrac{bm}{2a}.$
Bước 2: Khi đó $int{dfrac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}}dx=dfrac{m}{2a}int{dfrac{d(a{{x}^{2}}+bx+c)}{a{{x}^{2}}+bx+c}}+left( n-dfrac{bm}{2a} right)int{dfrac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}$ và áp dụng các nguyên hàm phía trên.
Ví dụ 1: $int{dfrac{2x+1}{{{x}^{2}}+1}dx}=int{dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}dx}+int{dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}dx}=ln left( {{x}^{2}}+1 right)+arctan x+C.$
Ví dụ 2: $int{dfrac{2x+1}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=int{dfrac{left( 2x+2 right)-1}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=int{dfrac{2x+2}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}-int{dfrac{1}{{{left( x+1 right)}^{2}}+{{1}^{2}}}dx}$
$=ln left( {{x}^{2}}+2x+2 right)-arctan left( x+1 right)+C.$
Ví dụ 3: Biết rằng [intlimits_{0}^{2}{dfrac{2x+1}{(x+2)({{x}^{2}}+4)}dx}=dfrac{1}{a}left( bpi -cln 2 right)] với $a,b,c$ là các số nguyên dương và $dfrac{b}{a}$ là phân số tối giản. Giá trị của $a+b+c$ bằng
A. $37.$
B. $40.$
C. $42.$
D. $43.$
Giải. Phân tích: [dfrac{2x+1}{(x+2)({{x}^{2}}+4)}=dfrac{a}{x+2}+dfrac{bx+c}{{{x}^{2}}+4}Leftrightarrow 2x+1=aleft( {{x}^{2}}+4 right)+left( bx+c right)left( x+2 right).]
Cho [left{ begin{gathered} x = 0 Rightarrow 1 = 4a + 2c hfill x = 1 Rightarrow 3 = 5a + 3left( {b + c} right) hfill x = 2 Rightarrow 5 = 8a + 4left( {2b + c} right) hfill end{gathered} right. Leftrightarrow (a;b;c) = left( { – dfrac{3}{8};dfrac{3}{8};dfrac{5}{4}} right).] Vậy
[begin{gathered} I = intlimits_0^2 {left( { – dfrac{3}{{8(x + 2)}} + dfrac{{3x}}{{8({x^2} + 4)}} + dfrac{5}{{4({x^2} + 4)}}} right)dx} = intlimits_0^2 {left( { – dfrac{3}{{8(x + 2)}} + dfrac{3}{{16}}.dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}} + dfrac{5}{4}.dfrac{1}{{{x^2} + 4}}} right)dx} = left( { – dfrac{3}{8}ln left| {x + 2} right| + dfrac{3}{{16}}ln left| {{x^2} + 4} right| + dfrac{5}{8}arctan dfrac{x}{2}} right)left| begin{gathered} 2 hfill 0 hfill end{gathered} right. = dfrac{1}{{32}}(5pi – 6ln 2) Rightarrow a + b + c = 32 + 5 + 6 = 43. end{gathered} ]
Chọn đáp án D.
Ví dụ 4: Cho $intlimits_{0}^{dfrac{sqrt{3}}{3}}{dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}-1}dx}=dfrac{1}{4}ln left( a-sqrt{b} right)+dfrac{pi }{c}$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng
A. $29.$
B. $19.$
C. $17.$
D. $27.$
Giải. Ta có phân tích: [dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}-1}=dfrac{{{x}^{2}}}{(x-1)(x+1)({{x}^{2}}+1)}=dfrac{A}{x-1}+dfrac{B}{x+1}+dfrac{Cx+D}{{{x}^{2}}+1}]
trong đó [A=dfrac{{{x}^{2}}}{(x+1)({{x}^{2}}+1)}left| begin{gathered} hfill x=1 hfill end{gathered} right.=dfrac{1}{4},B=dfrac{{{x}^{2}}}{(x-1)({{x}^{2}}+1)}left| begin{gathered} hfill x=-1 hfill end{gathered} right.=-dfrac{1}{4}]
và [Cx+D=dfrac{{{x}^{2}}-dfrac{1}{4}(x+1)({{x}^{2}}+1)+dfrac{1}{4}(x-1)({{x}^{2}}+1)}{(x-1)(x+1)}=dfrac{1}{2}left( CALCtext{ }X=1000 right)]
Vậy [I=intlimits_{0}^{dfrac{sqrt{3}}{3}}{left[ dfrac{1}{4(x-1)}-dfrac{1}{4(x+1)}+dfrac{1}{2({{x}^{2}}+1)} right]dx}=left( dfrac{1}{4}ln left| dfrac{x-1}{x+1} right|+dfrac{1}{2}arctan x right)left| begin{gathered} dfrac{sqrt{3}}{3} hfill 0 hfill end{gathered} right.] [=dfrac{1}{4}ln left( dfrac{1-dfrac{sqrt{3}}{3}}{dfrac{sqrt{3}}{3}+1} right)+dfrac{1}{2}left( arctan dfrac{sqrt{3}}{3}-arctan 0 right)=dfrac{1}{4}ln left( 2-sqrt{3} right)+dfrac{1}{2}left( dfrac{pi }{6}-0 right)=dfrac{1}{4}ln left( 2-sqrt{3} right)+dfrac{pi }{12}.]
Vậy $a=2,b=3,c=12$ và $a+b+c=17.$ Chọn đáp án C.
Các trường hợp đặc biệt của nguyên hàm – tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Dạng 1: $int{dfrac{{{left( ax+b right)}^{m}}}{{{left( cx+d right)}^{n}}}dx}$ với $m,n$ là các số nguyên dương lớn
Phương pháp chung là đổi biến $t=dfrac{ax+b}{cx+d}$ cùng quan sát các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho [intlimits_{0}^{1}{dfrac{{{x}^{2023}}}{{{left( x+2 right)}^{2025}}}dx}=dfrac{1}{a}{{.3}^{b}}] với $a,text{ }b$ là các số nguyên, $a$ và $3$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Giá trị $a+b$ bằng
A. $2024.$
B. $0.$
C. $2022.$
D. $2023.$
Giải. Ta có $intlimits_{0}^{1}{dfrac{{{x}^{2023}}}{{{left( x+2 right)}^{2025}}}dx}=intlimits_{0}^{1}{{{left( dfrac{x}{x+2} right)}^{2023}}.dfrac{1}{{{left( x+2 right)}^{2}}}dx}=dfrac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{{{left( dfrac{x}{x+2} right)}^{2023}}dleft( dfrac{x}{x+2} right)}$
$=dfrac{1}{2}.dfrac{1}{2024}{{left( dfrac{x}{x+2} right)}^{2024}}left| begin{gathered}hfill 1 hfill 0 end{gathered} right.=dfrac{1}{{{4048.3}^{2024}}}=dfrac{1}{4048}{{.3}^{-2024}}Rightarrow a+b=4048-2024=2024.$ Chọn đáp án A.
Tương tự như vậy xét ví dụ dưới đây:
Ví dụ 2: Giá trị của tích phân [intlimits_{1}^{2}{dfrac{{{x}^{2019}}}{{{(1+{{x}^{2}})}^{1011}}}dx}] bằng
A. [dfrac{1}{2020}left[ {{left( dfrac{4}{5} right)}^{1010}}-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{1010}} right].]
C. [dfrac{1}{2020}{{left( dfrac{4}{5} right)}^{1010}}.]
B. [dfrac{1}{2018}left[ {{left( dfrac{4}{5} right)}^{1009}}-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{1009}} right].]
D. [dfrac{1}{2018}{{left( dfrac{4}{5} right)}^{1009}}.].
Ta có biến đổi [I=intlimits_{1}^{2}{dfrac{{{x}^{2019}}}{{{(1+{{x}^{2}})}^{1011}}}dx}=intlimits_{1}^{2}{{{left( dfrac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} right)}^{1009}}.dfrac{x}{{{left( {{x}^{2}}+1 right)}^{2}}}dx}.] Và [dleft( dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} right)={{left( dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} right)}^{prime }}dx=dfrac{2x}{{{left( {{x}^{2}}+1 right)}^{2}}}dx,] Vậy [I=dfrac{1}{2}intlimits_{1}^{2}{{{left( dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} right)}^{1009}}dleft( dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} right)}=dfrac{1}{2020}{{left( dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} right)}^{1010}}left| begin{gathered} 2 hfill 1 hfill end{gathered} right.=dfrac{1}{2020}left[ {{left( dfrac{4}{5} right)}^{1010}}-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{1010}} right].] Chọn đáp án A.
Một số bài toán có luỹ thừa bậc cao của hàm phân thức hữu tỉ, ta chú ý các phép đổi biến hoặc đưa về biểu thức vi phân hay thực hiện phép chia cho ${{x}^{2}},{{x}^{3}},…$
Ví dụ 1: Biết $int{dfrac{2x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+1}dx}=-dfrac{1}{g(x)}+C.$ Tổng các nghiệm của phương trình $g(x)=0$ là
A. $1.$
B. $3.$
C. $-3.$
D. $-1.$
Giải. Các em đừng sợ nhé, đơn giản bằng biến đổi như sau:
$begin{gathered} int {frac{{2x + 3}}{{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1}}dx} = int {frac{{2x + 3}}{{({x^2} + 3x)({x^2} + 3x + 2) + 1}}dx} = int {frac{{2x + 3}}{{{{({x^2} + 3x)}^2} + 2({x^2} + 3x) + 1}}dx} = int {frac{{2x + 3}}{{{{({x^2} + 3x + 1)}^2}}}dx} = int {frac{1}{{{{({x^2} + 3x + 1)}^2}}}d({x^2} + 3x + 1)} = – frac{1}{{{x^2} + 3x + 1}} + C. end{gathered} $
Vậy $g(x)={{x}^{2}}+3x+1Rightarrow g(x)=0Leftrightarrow x=dfrac{-3pm sqrt{5}}{2}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Một nguyên hàm của hàm số [fleft( x right)=dfrac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-10{{x}^{2}}-2x+1}] có dạng [Fleft( x right)=dfrac{a}{b}ln left| dfrac{{{x}^{2}}-cx-1}{{{x}^{2}}+dx-1} right|], trong đó [a,b,c,d] là các số nguyên dương và phân số [dfrac{a}{b}] tối giản. Tính [a+b+c+d].
A. [24.]
B. [21.]
C. [15.]
D. [13.]
Giải. Ta có $Fleft( x right)=int{dfrac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-10{{x}^{2}}-2x+1}dx}=int{dfrac{1+dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+2x-10-dfrac{2}{x}+dfrac{1}{{{x}^{2}}}}dx}$
$=int{dfrac{1+dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{{{left( x-dfrac{1}{x} right)}^{2}}+2left( x-dfrac{1}{x} right)-8}dx}=int{dfrac{1}{{{left( x-dfrac{1}{x} right)}^{2}}+2left( x-dfrac{1}{x} right)-8}dleft( x-dfrac{1}{x} right)}$
$=int{dfrac{1}{{{t}^{2}}+2t-8}dt}=int{dfrac{1}{left( t-2 right)left( t+4 right)}dt}=dfrac{1}{6}ln left| dfrac{t-2}{t+4} right|+C,left( t=x-dfrac{1}{x} right)$
$=dfrac{1}{6}ln left| dfrac{x-dfrac{1}{x}-2}{x-dfrac{1}{x}+4} right|+C=dfrac{1}{6}ln left| dfrac{{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}+4x-1} right|+CRightarrow a+b+c+d=1+6+2+4=13.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Cho $intlimits_{1}^{dfrac{1+sqrt{5}}{2}}{dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x+1}}dx=dfrac{1}{4}left( ln a+ln (sqrt{b}-c) right)$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng
A. $12.$
B. $11.$
C. $9.$
C. $13.$
[begin{gathered} intlimits_1^{dfrac{{1 + sqrt 5 }}{2}} {dfrac{{{x^2} – 1}}{{{x^4} + 2{x^3} – {x^2} + 2x + 1}}dx} = intlimits_1^{dfrac{{1 + sqrt 5 }}{2}} {dfrac{{left( {1 – dfrac{1}{{{x^2}}}} right)dx}}{{{x^2} + 2x – 1 + dfrac{2}{x} + dfrac{1}{{{x^2}}}}}} hfill = intlimits_1^{dfrac{{1 + sqrt 5 }}{2}} {dfrac{{dleft( {x + dfrac{1}{x}} right)}}{{{{left( {x + dfrac{1}{x}} right)}^2} + 2left( {x + dfrac{1}{x}} right) – 3}} = dfrac{1}{4}ln left| {dfrac{{x + dfrac{1}{x} – 1}}{{x + dfrac{1}{x} + 3}}} right|} left| begin{gathered} dfrac{{1 + sqrt 5 }}{2} hfill 1 hfill end{gathered} right. = dfrac{1}{4}left( {ln ( – 2 + sqrt 5 ) + ln 5} right). hfill end{gathered} ] Vậy $a=5,b=5,c=2$ và $a+b+c=12.$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 4: Tích phân bằng $intlimits_{0}^{1}{dfrac{{{x}^{n}}}{1+x+dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+…+dfrac{{{x}^{n}}}{n!}}dx}$ bằng
A. $(n+1)!ln left( 2+dfrac{1}{2!}+dfrac{1}{3!}+…+dfrac{1}{n!} right).$
C. $(n-1)!ln left( 2+dfrac{1}{2!}+dfrac{1}{3!}+…+dfrac{1}{n!} right).$
B. $ln left( 2+dfrac{1}{2!}+dfrac{1}{3!}+…+dfrac{1}{n!} right).$
D. $n!left( 1-ln left( 2+dfrac{1}{2!}+dfrac{1}{3!}+…+dfrac{1}{n!} right) right).$
Đặt [g(x)=1+x+dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+…+dfrac{{{x}^{n}}}{n!}Rightarrow {g}'(x)=1+x+dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+…+dfrac{{{x}^{n-1}}}{(n-1)!}=g(x)-dfrac{{{x}^{n}}}{n!}.] Suy ra [{{x}^{n}}=n!left( g(x)-{g}'(x) right).] Vì vậy tích phân cần tính [begin{gathered} I = intlimits_0^1 {dfrac{{n!left( {g(x) – g'(x)} right)}}{{g(x)}}dx} = n!intlimits_0^1 {dx} – n!intlimits_0^1 {dfrac{{g'(x)}}{{g(x)}}dx} = n! – n!ln left| {g(x)} right|left| begin{gathered} 1 hfill 0 hfill end{gathered} right. = n! – n!ln dfrac{{g(1)}}{{g(0)}} = n! – n!ln left( {2 + dfrac{1}{{2!}} + dfrac{1}{{3!}} + … + dfrac{1}{{n!}}} right). end{gathered} ] Chọn đáp án D.
Ví dụ 5: Cho $intlimits_{1}^{2}{dfrac{{{x}^{3}}-x}{{{x}^{6}}+1}dx}=dfrac{a}{b}left( 2ln c+ln d-2ln e right)$ với $a,b$ là các số nguyên dương, $dfrac{a}{b}$ tối giản và $c,d,e$ là các số nguyên tố. Tính $T=a+b+c+d+e.$
A. $T=25.$
B. $T=33.$
C. $T=17.$
D. $T=27.$
Giải. Ta có $intlimits_{1}^{2}{dfrac{{{x}^{3}}-x}{{{x}^{6}}+1}dx}=intlimits_{1}^{2}{dfrac{1-dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{3}}+dfrac{1}{{{x}^{3}}}}dx}=intlimits_{1}^{2}{dfrac{left( 1-dfrac{1}{{{x}^{2}}} right)dx}{{{left( x+dfrac{1}{x} right)}^{3}}-3left( x+dfrac{1}{x} right)}}.$
Đặt $t=x+dfrac{1}{x}Rightarrow dt=left( 1-dfrac{1}{{{x}^{2}}} right)dx.$ Đổi cận $x=1Rightarrow t=2;x=2Rightarrow t=dfrac{5}{2}.$
Khi đó [I = intlimits_2^{dfrac{5}{2}} {dfrac{1}{{{t^3} – 3t}}dt} = dfrac{1}{6}intlimits_2^{dfrac{5}{2}} {left( {dfrac{{2t}}{{{t^2} – 3}} – dfrac{2}{t}} right)dt} = dfrac{1}{6}left( {ln left| {{t^2} – 3} right| – 2ln left| t right|} right)left| begin{gathered} dfrac{5}{2} hfill 2 hfill end{gathered} right. = dfrac{1}{6}left( {2ln 2 + ln 13 – 2ln 5} right).]
Vậy $a=1,b=6,c=2,d=13,e=5$ và $T=1+6+2+13+5=27.$ Chọn đáp án D.
>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết
