Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip cực hay
Với Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
Phương pháp giải
+ Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1;F2, với F1F2 = 2c (c > 0). Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
Hai điểm F1;F2, được gọi là tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của Elip.
+ Phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F1 (c;0);F2 (-c;0) :
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn |z – 4| + |z + 4| = 10 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô – đun của số phức z là
A.10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 D. 5 và 3.
Hướng dẫn:
Giải theo tự luận
Cách 1: Giả sử z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x ;y) . Giả sử F1 (4;0); F2 (0;-4) khi đó tập hợp các điểm M thỏa mãn là MF1 + MF2 = 10 là đường elip có các tiêu điểm là F1;F2, và trục lớn bằng 10.
Từ đó ta tìm được 2c = F1F2 = 8 <=> c = 4 .
2a = 10 nên a = 5
suy ra b2 = a2 – c2 = 25 – 16 – 9 => b = 3 .
Từ đó
Vì M di động trên (E) nên z = |OM| lớn nhất, nhỏ nhất khi OM lần lượt là độ dài nửa bán trục lớn, nửa bán trục nhỏ. Hay max |z| = 5 ; min|z| = 3 .
Chọn D.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức “tam giác” dạng |A| + |B| ≥ |A+B| suy ra
10 = |z – 4| + |z + 4| ≥ |(z – 4) + (z + 4)| = |2z| = 2|z| > |z| ≤ 5. Vậy |z| = 5 .
Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).
Hướng dẫn:
Giả sử z = a + bi, khi đó , giả thiết của bài toán là
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a; b) thuộc miền trong của elip (kể cả các điểm trên biên).
+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .
Chọn A.
Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy, tâp hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho z2 là số thuần ảo là hai đường thẳng d1;d2 . Góc giữa 2 đường thẳng d1;d2 là bao nhiêu?
A.α = 45o . B.α = 60o . C.α = 90o . D.α = 30o .
Hướng dẫn:
Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi
Ta có: z2 = (x2 – y2) + 2xyi là số thuần ảo =>
x2 – y2 = 0 ∧ xy ≠ 0 => y = ± x => α = 90o
Chọn C.
Ví dụ 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z – 2| = 5 trên mặt phẳng tọa độ là một
A. đường thẳng. B. đường tròn. C. elip. D. hypebol.
Hướng dẫn:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi.
Đặt F1 (-2;0);F2 (2;0) khi đó (1) <=> MF1 + MF2 = 5 ;
suy ra M nằm trên Elip có hai tiêu điểm là F1;F2 và bán kính trục lớn là .
Phương trình của elip đó là
Chọn C.
Ví dụ 5: Trên mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức |z – 2| + |z + 2| = 10 thỏa mãn điều kiện .
Hướng dẫn:
Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi,x;y ∈ R .
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2
Gọi B là điểm biểu diễn số phức -2
Ta có:|z – 2| + |z + 2| = 10 <=> MA + MB = 10 .
Ta có AB = 4.
Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A(2; 0), B( -2; 0) tiêu cự AB = 4 = 2c, độ dài trục lớn là 10 = 2a , độ dài trục bé là
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 2| + |z + 2| = 10 là elip có phương trình
Chọn D
Ví dụ 6:Cho số phức z thỏa mãn |z – 2| + |z + 2| = 8 . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z là?
Hướng dẫn:
Gọi M(x,y), F1(-2;0) , F2(-2;0)
Ta có :
Do đó điểm M(x; y) nằm trên elip (E ) có 2a = 8 nên a=4
Ta có F1F2 = 2c <=> 4 = 2c <=> c = 2 .
Ta có b2 = a2 – c2 = 16 – 4 = 12
Vậy tập hợp các điểm M là elip
Chọn A.
Ví dụ 7:Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện: là hình gì?
A. Một đường thẳng. B. Một đường Parabol.
C. Một đường Elip. D. Một đường tròn.
Hướng dẫn:
Theo giả thiết
<=> a2 + (b – 1)2 = (b + 1)2
<=> a2 = 4b
Quỹ tích các số phức z là một đường Parabol.
Chọn B.
Ví dụ 8:Cho số phức z = m – 2 + (m2 – 1)i với m ∈ R . Gọi (C) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox.
Hướng dẫn:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z.
Chọn B.
Ví dụ 9: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn . Tập hợp tất cả những điểm M như vậy là
A. một parabol. B. một đường thẳng. C. một đường tròn. D. một elip.
Hướng dẫn:
Gọi số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ:
Theo đề bài ta có:
Vậy tập hợp các điểm M(x;y) biểu diễn số phức z theo yêu cầu của đề bài là parabol .
Chọn A.
Ví dụ 10: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
A. Là đường Hyperbol.
B. Là đường Hyperbol.
C. Là đường tròn tâm 0 bán kính R = 4.
D. Là hai đường Hyperbol
Hướng dẫn:
Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi
Ta có:
Chọn D
