Chào bạn. Hồi nãy tớ nghĩ về toán và nhận ra có nhiều thuật ngữ mà tớ cứ mặc định hiểu nghĩa của nó. Hai từ như vậy là “hàm số” và “phương trình”. Chúng được dùng thay thế cho nhau trong nhiều ngữ cảnh, và tớ không nhớ là đã từng đọc về sự khác biệt giữa chúng. Vì vậy, tớ quyết định tự tìm hiểu xem sao. Đây là những gì tớ nghĩ ra:
Nói một cách đơn giản, hàm số là một thứ, một đối tượng toán học liên kết các phần tử của một tập hợp (hoặc các tập hợp). Ngược lại, phương trình không phải là một đối tượng, nó là một phát biểu về các đối tượng toán học, và giống như tất cả các phát biểu, nó có thể đúng hoặc sai hoặc hoàn toàn vô nghĩa. Vậy thì, giải một phương trình là tìm ra các điều kiện mà nó đúng, và những điều kiện này là những gì chúng ta gọi là nghiệm của nó. Hàm số không đúng hay sai, chúng chỉ được xác định hoặc không xác định. Bạn nhập một đầu vào và nhận được một đầu ra; không có chỗ cho sự thật hay sai lầm trong đó.
Ví dụ, f(x) = x2 và y = x2 là các hàm số. Hàm số cụ thể này lấy các phần tử từ tất cả các số thực đến các số thực dương (bao gồm 0), đó là cách nó được định nghĩa. Mặt khác, một phương trình sẽ là một cái gì đó như x2 = 2. Nó là một phát biểu chỉ đúng khi tồn tại một phần tử trong miền của hàm số (tập hợp mà đầu vào được lấy) mà, khi được đưa vào hàm số, trả về 2. Và tất nhiên là có một phần tử như vậy, thực tế là hai: căn bậc hai dương và âm của 2.
Bây giờ hãy xem xét phương trình x2 = -2. Hàm số của chúng ta trong trường hợp này vẫn giống nhau, lấy các số thực dương hoặc âm thành các số thực dương. Nhưng khoan, phương trình của chúng ta có hàm số bằng một số âm. Rõ ràng, nó không bao giờ có thể đúng… khi nói về các số thực. Nhưng nó có thể đúng nếu chúng ta xem xét các số trong sự phức tạp đầy đủ của chúng.
Tóm lại: hàm số là một quy tắc liên kết các phần tử giữa các tập hợp và có thể được coi là một đối tượng toán học theo đúng nghĩa của nó, và các phương trình là các phát biểu đúng/sai liên quan đến các đối tượng toán học. Bạn có đồng ý không? Nếu không, bạn sẽ mô tả sự khác biệt giữa chúng như thế nào?
