Đề bài
Cho tam giác ABC cân ở A có (widehat {BAC} = 120^circ ). Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).
a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?
c) Tính số đo các góc của tam giác IBC.
Lời giải chi tiết
a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.
•Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, (hat B = hat C).
Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = (frac{1}{2})AB.
Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = (frac{1}{2})AC.
Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.
• Xét ∆AQI và ∆API có:
(widehat {AQI} = widehat {API}left( { = 90^circ } right))
AI là cạnh chung,
AQ = AP (chứng minh trên)
Do đó ∆AQI= ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).
• Xét ∆BQD và ∆CPE có:
(widehat {BQ{rm{D}}} = widehat {CPE}left( { = 90^circ } right)),
(hat B = hat C) (chứng minh trên),
BQ = CP (chứng minh trên)
Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).
• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.
Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)
Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.
Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.
Suy ra IA = IB = IC
Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C
Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.
c) Vì ∆AQI= ∆API (chứng minh câu a)
Nên (widehat {QAI} = widehat {PAI}) (hai góc tương ứng)
Do đó AI là tia phân giác của góc BAC và (widehat {BAI} = widehat {CAI} = frac{1}{2}widehat {BAC} = frac{1}{2}.120^circ = 60^circ )
Xét tam giác ABI có IA = IB (chứng minh câu b) nên tam giác ABI cân tại I.
Lại có (widehat {BAI} = 60^circ ) nên tam giác ABI là tam giác đều.
Do đó IA = IB = AB.
Mà AB = AC, IA = IB = IC nên IA = IB = IC = AB = AC.
Xét ∆BAC và ∆BIC có:
AB = IB (chứng minh trên),
AC = IC (chứng minh trên),
BC là cạnh chung
Do đó ∆BAC = ∆BIC (c.c.c)
Suy ra (widehat {ABC} = widehat {IBC},widehat {BAC} = widehat {BIC}widehat {,ACB} = widehat {ICB}) (các cặp góc tương ứng)
Xét ∆ABC có (widehat {ABC} + widehat {ACB} + widehat {BAC} = 180^circ ) (tổng ba góc của một tam giác).
Mà (widehat {BAC} = 120^circ ) (giả thiết) và (widehat {ABC} = widehat {ACB}) (do ∆ABCcân tại A).
Suy ra (widehat {ABC} = widehat {ACB} = frac{{180^circ – widehat {BAC}}}{2} = frac{{180^circ – 120^circ }}{2} = 30^circ )
Do đó (widehat {IBC} = widehat {ICB} = 30^circ ,widehat {BIC} = 120^circ )
Vậy (widehat {IBC} = widehat {ICB} = 30^circ ,widehat {BIC} = 120^circ ).
