1. Các công thức tính tổ hợp
1.1. Tổ hợp lặp
Cho tập và số tự nhiên K bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:
1.2. Tổ hợp không lặp
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm phần tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
Quy ước:
Tính chất:
2. Các công thức tính xác suất
Trong đó:
-
n(A): là phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến Q
-
n(
): là số phân tử của không gian mẫu $Omega$ cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T
Ngoài ra khi giải bài toán xác suất các em sẽ phải vận dụng một số công thức về tính chất của xác suất:
-
-
-
-
-
A và B độc lập
3. Một số bài tập về tổ hợp xác suất từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)
Sau khi nắm được lý thuyết tổ hợp xác suất và các công thức thì các em hãy tham khảo thêm một số bài tập dưới đây nhé!
Câu 1: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.
Giải:
Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kỳ từ 16 quả là C164
Gọi A là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:
– Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là:
– Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là:
– Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là:
Vậy xác suất của biến cố A là:
Câu 2: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ.
Giải:
Gọi là không gian mẫu của phép thử
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X khi đó:
Gọi A là biến cố số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ khi đó:
-
Chọn 3 số lẻ đôi một khác từ các số 1, 3, 5, 7, 7, 9 có
cách.
-
Chọn 3 chữ số chẵn đôi một khác nhau từ các chữ số 2, 4, 6, 8 có
cách.
Do đó
Vậy xác suất cần tìm là:
Câu 3: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm.
Giải:
Gọi số cần tìm của S có dạng
Số cách chọn chữ số a có 6 cách
Số cách chọn chữ số b có 6 cách (vì )
Số cách chọn chữ số c có 5 cách (vì )
Vậy S có 6.6.5 = 180 số
Số phần tử của không gian mẫu là = 180
Gọi A là biến cố số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm. Khi đó ta có 3 bộ số thỏa mãn biến cố A là: và trong mỗi bộ thì b có 5 cách chọn nên có 3.5 = 15 (số). Các kết quả có lợi cho biến cố A là
Vậy
Câu 4: Cho tập A có 20 phân tử. Có bao nhiêu tập con của A khác rỗng và số phân tử là số chẵn?
Giải:
Số tập con của A khác rỗng và số phân tử là số chẵn được tính như sau:
Bên cạnh đó, ta lại có:
Cộng 2 vế ta có:
Do đó:
Câu 5: Trong hệ tọa độ Oxy có 8 điểm nằm trên tia Ox và 5 điểm nằm trên tia Oy. Nối một điểm trên tia Ox và một điểm trên tia Oy ta được 40 đoạn thẳng. Hỏi 40 đoạn thẳng này cắt nhau tại bao nhiêu giao điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ xOy (Biết rằng không có bất kì 3 đoạn thẳng nào đồng quy tại 1 điểm).
Giải:
Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 13 điểm đã cho là
Mỗi tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy
Vậy số giao điểm là 280.
Trên đây là tổng hợp công thức tính tổ hợp xác suất cũng như các dạng bài tập thường gặp trong chương trình Toán 11. Để đạt kết quả tốt nhất, các em có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề mỗi ngày! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.
>> Xem thêm: Hoán vị – chỉnh hợp và tổ hợp Toán học lớp 11
