Bài 1 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2
Cho Hình 86.
a) Chứng minh (triangle)MNP (sim) (triangle)ABC.
b) Tìm x.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: (widehat{M}=widehat{A}=60^{circ}); (widehat{N}=widehat{B}=45^{circ})
Suy ra: (triangle)MNP (sim) (triangle)ABC (g.g)
b) (triangle)MNP (sim) (triangle)ABC nên (frac{MP}{AC}=frac{NP}{BC}) hay (frac{x}{4sqrt{2}}=frac{3sqrt{3}}{4sqrt{3}})
Do đó: x = (3sqrt{2}).
Bài 2 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2
Cho hai tam giác ABC và PMN thỏa mãn (widehat{A}=70^{circ}), (widehat{B}=80^{circ}), (widehat{M}=80^{circ}), (widehat{N}=30^{circ}). Chứng minh (frac{AB}{PM}=frac{BC}{MN}=frac{CA}{NP}).
Hướng dẫn giải:
Tam giác MNP có: (widehat{M}+widehat{N}+widehat{P}=180^{circ})
Mà (widehat{M}=80^{circ}), (widehat{N}=30^{circ})
Suy ra: (widehat{P}=70^{circ}).
Ta có: (widehat{A}=widehat{P}=70^{circ}); (widehat{B}=widehat{M}=80^{circ})
Suy ra: (triangle)ABC (sim) (triangle)PMN (g.g)
Do đó: (frac{AB}{PM}=frac{BC}{MN}=frac{CA}{NP}).
Bài 3 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2
Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) (triangle)ACD (sim) (triangle)BCE và CA . CE = CB . CD;
b) (triangle)ACD (sim) (triangle)AHE và AC . AE = AD . AH.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: (widehat{ADC}=widehat{BEC}=90^{circ}); chung góc C
Suy ra: (triangle)ACD (sim) (triangle)BCE (g.g)
Do đó: (frac{CA}{CB}=frac{CD}{CE}) hay CA . CE = CB . CD.
b) Ta có: (widehat{ADC}=widehat{AEH}=90^{circ}); chung góc A
Suy ra: (triangle)ACD (sim) (triangle)AHE (g.g)
Do đó: (frac{AC}{AH}=frac{AD}{AE}) hay AC . AE = AD . AH.
Bài 4 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2
Cho Hình 87 với (widehat{OAD}=widehat{OCB}). Chứng minh:
a) (triangle)OAD (sim) (triangle)OCB;
b) (frac{OA}{OD}=frac{OC}{OB});
c) (triangle)OAC (sim) (triangle)ODB.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: (widehat{OAD}=widehat{OCB}); chung góc O
Suy ra: (triangle)OAD (sim) (triangle)OCB (g.g)
b) Do (triangle)OAD (sim) (triangle)OCB nên (frac{OA}{OC}=frac{OD}{OB})
Hay (frac{OA}{OD}=frac{OC}{OB}).
c) Ta có: (frac{OA}{OD}=frac{OC}{OB}) (cmt) và chung góc O
Suy ra: (triangle)OAC (sim) (triangle)ODB (c.g.c)
Bài 5 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:
a) (triangle)ABC (sim) (triangle)HBA và (AB^{2}) = BC . BH;
b) (triangle)ABC (sim) (triangle)HAC và (AC^{2}) = BC . CH;
c) (triangle)ABH (sim) (triangle)CAH và (AH^{2}) = BH . CH;
d) (frac{1}{AH^{2}}=frac{1}{AB^{2}}+frac{1}{AC^{2}}).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: (widehat{BAC}=widehat{BHA}=90^{circ}); chung góc B
Suy ra: (triangle)ABC (sim) (triangle)HBA (g.g)
Do đó: (frac{AB}{HB}=frac{BC}{BA})
Hay (AB^{2}) = BC . BH.
b) Ta có: (widehat{BAC}=widehat{AHC}=90^{circ}); chung góc C
Suy ra: (triangle)ABC (sim) (triangle)HAC (g.g)
Do đó: (frac{AC}{HC}=frac{BC}{AC})
Hay (AC^{2}) = BC . CH.
c) Ta có: (triangle)ABC (sim) (triangle)HBA
Mà (triangle)ABC (sim) (triangle)HAC
Suy ra: (triangle)ABH (sim) (triangle)CAH
Do đó: (frac{AH}{CH}=frac{BH}{AH})
Hay (AH^{2}) = BH . CH.
d) Ta có: (AB^{2}) = BC . BH. Suy ra: (frac{1}{AB^{2}}=frac{1}{BC.BH})
(AC^{2}) = BC . CH. Suy ra: (frac{1}{AC^{2}}=frac{1}{BC.CH})
(AH^{2}) = BH . CH. Suy ra: (frac{1}{AH^{2}}=frac{1}{BH.CH}) (1)
Ta có: (frac{1}{AB^{2}}+frac{1}{AC^{2}}=frac{1}{BC.BH}+frac{1}{BC.CH}=frac{CH+BH}{BC.BH.CH}=frac{BC}{BC.BH.CH}=frac{1}{BH.CH}) (2)
Từ (1)(2) suy ra: (frac{1}{AH^{2}}=frac{1}{AB^{2}}+frac{1}{AC^{2}}).
Bài 6 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2
Trong Hình 89, bạn Minh dùng một dụng cụ để đo chiều cao của cây. Cho biết khoảng cách từ mắt bạn Minh đến cây và đến mặt đất lần lượt là AH = 2,8 m và AK = 1,6 m. Em hãy tính chiều cao của cây.
Hướng dẫn giải:
Chiều cao của cây là đoạn thẳng BC.
Ta có: AHBK là hình chữ nhật nên AK = BH = 1,6 m
Tam giác AHB vuông tại H: AB = (sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=sqrt{2,8^{2}+1,6^{2}}=frac{2sqrt{65}}{5})
Ta có: (widehat{AHB}=widehat{CAB}=90^{circ}); chung góc B
Suy ra: (triangle)HBA (sim) (triangle)ABC
Do đó: (frac{HB}{AB}=frac{BA}{BC})
Suy ra: BC = (frac{AB^{2}}{HB}) = 6,5 m.
