Trọn bộ công thức Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số quan trọng với lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán 12.
Tổng hợp công thức Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (quan trọng)
-
Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
-
Phương pháp tính cực trị của hàm số
-
Phương pháp tính GTNN – GTLN của hàm số
-
Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số
-
Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị
-
Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
1. Lý thuyết
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K ta có:
+ Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: ∀x1,x2 ∈ K, x1 < x2 => f(x1) < f(x2) .
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: ∀x1,x2 ∈ K, x1 < x2 => f(x1) > f(x2) .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Nhận xét:
+ Hàm số f(x) đồng biến trên K ∀x1,x2 ∈ K, x1 ≠ x2.
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Hàm số f(x) nghịch biến trên K
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
⁕ Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số:
• Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ (a,b) hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)
• Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ (a,b) hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)
• Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ (a,b) hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b)
• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) => f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a,b)
• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a,b) => f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a,b)
• Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
• Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.
• Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.
Phương pháp giải chung
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y’ = f'(x).
Bước 2. Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y’.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y’.
Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y’.
Chú ý:
• Đối với hàm phân thức hữu tỉ thì dấu “=” khi xét dấu đạo hàm y’ không xảy ra.
• Giả sử y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d => f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
+ Hàm số đồng biến trên R
+ Hàm số nghịch biến trên
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:
Bước 1: Tính y’ = f'(x,m) = ax2 + bx + c
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên (x1,x2) ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1
Bước 4: Giả (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.
Phương pháp tính cực trị của hàm số
1. Lý thuyết
– Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a là -∞ ; b là +∞) và điểm xo ∈ (a,b)
a. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) ∀x ∈ (x0 – h, x0 + h ) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0
b. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) ∀x ∈ (x0 – h, x0 + h ) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0
Chú ý:
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số. Kí hiệu là fCĐ(fCT), còn điểm M(x0,f(x0) ) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f'(x0) = 0
Thật vậy giả sử f(x) đạt cực đại tại x0. Khi đó theo định nghĩa ta có:
+ TH1: Δx > 0 => f'(x0+) = 0
+ TH2: Δx < 0 => f'(x0-) = 0
Mà f(x) có đạo hàm nên suy ra f'(x) = 0.
2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị
a. Điều kiện cần
– f (x) đạt cực trị tại x0, có đạo hàm tại x0 thì f'(x0) = 0.
b. Điều kiện đủ
– Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h, x0 + h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên K với h > 0
+ Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 – h, x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0, x0 + h ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
+ Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 – h, x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0, x0 + h ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
– Nói một cách dễ hiểu thì: Đi từ trái qua phải:
+ Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang – khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại
+ Nếu f'(x) đổi dấu từ – sang + khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu.
– Tóm lại muốn hàm số có cực trị tại x0 thì f'(x) phải đổi dấu khi qua x0
– Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 – h, x0 + h ), với h > 0. Khi đó:
+) Nếu thì x0 là điểm cực đại;
+) Nếu thì là x0 điểm cực tiểu.
3. Quy tắc tìm cực trị
a. Quy tắc 1. (Dựa vào định lí 1)
+B1: Tìm tập xác định
+B2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
+B3: Lập bảng xét dấu f'(x)
+B4: Từ bảng xét dấu suy ra các điểm cực trị.
b. Quy tắc 2 (Dựa vào định lí 2)
+B1: Tìm tập xác định
+B2: Tính f'(x) và giải phương trình f'(x) = 0 được nghiệm xi
+B3: Tính f”(x) và f”(xi) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi rồi kết luận.
– Chú ý: Nếu f”(xi) = 0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị.
– Lưu ý: Hàm trùng phương
+) Có 1 cực trị khi a.b ≥ 0
+) Có 3 cực trị khi a.b < 0
……………………..
……………………..
……………………..
Trên đây là tóm lược một số nội dung có trong tổng hợp công thức Toán lớp 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, mời quí bạn đọc vào từng bài để xem đầy đủ, chi tiết!
