Nguyên hàm được sử dụng để phân tích chuyển động của một vật thể di chuyển trên một đường thẳng. Chúng ta nhớ rằng nếu vật thể có hàm vị trí là s=f(t) thì hàm vật tốc là của nó là v(t)=s’(t). Điều này có nghĩa là hàm vị trí là một nguyên hàm của hàm vận tốc. Tương tự như vậy, hàm gia tốc có dạng a(t)=v’(t), vì vậy hàm vận tốc là một nguyên hàm của hàm gia tốc. Nếu chúng ta biết gia tốc và các giá trị ban đầu s(0) và v(0) thì chúng ta có thể tìm được hàm vị trí bằng cách lấy nguyên hàm hai lần.
Bài toán: Một quả bóng được ném lên cao với vận tốc là 48 ft/s từ một vị trí cách mặt đất 432ft. Tìm độ cao của quả bóng so với mặt đất sau t giây. Khi nào thì quả bóng đạt độ cao cực đại? Khi nào thì quả bóng chạm mặt đất? (biết gia tốc của quả bóng là 32 ft/s2)
Giải: Quả bóng chuyển động theo phương thẳng đứng và ta chọn hướng dương là hướng lên. Tại thời điểm t, khoảng cách của quả bóng so với mặt đất là s(t) và vận tốc của nó v(t) đang giảm dần. Vì vậy gia tốc của quả bóng phải âm và ta có:
a(t) = -32
Lấy nguyên hàm ta có
v(t) = -32t+C
Để tìm C chúng ta sử dụng thông tin đề bài cho v(0) = 48. Như vậy C = 48. Do đó
v(t) = -32t+48
Quả bóng đạt độ cao cực đại khi v(t) = 0, có nghĩa là sau 1.5s. Vì s’(t) = v(t), ta lấy nguyên hàm lần nữa và có
s(t) = -16t2 + 48t + D
Sử dụng thông tin s(0) = 432 ta tính được D = 432 nên
s(t) = -16t2 +48t + 432
Biểu thức s(t) luôn đúng cho đến khi quả bóng chạm đất. Điều này xảy ra khi s(t)=0, tức là
-16t2 + 48t + 432 = 0
Giải phương trình trên và chúng ta loại bỏ đáp án âm. Vậy quả bóng chạm đất sau gần 6.9s.
