Sửa: Cảm ơn các câu trả lời. Cần thời gian để suy nghĩ và trả lời lại.
Sửa 2: Video mà u/cottonplucking chia sẻ rất hữu ích và mình đã trả lời ở đây với sự hiểu biết của mình về ý nghĩa của tích vô hướng như một giá trị tự thân (một cách hiểu khác nhưng hy vọng là tương thích, tách biệt với phép chiếu và biến đổi, mà hiện tại mình thấy có thể là những khái niệm sử dụng tích vô hướng nhưng không định nghĩa nó). Rất cảm ơn bất kỳ suy nghĩ hay nhận xét nào! Cảm ơn bạn.
Sửa 3: Trời ơi. Phép nhân về cơ bản có phải là phép chiếu không? 3 x 2 thực sự chỉ là việc mở rộng một số tùy ý 2 lên một thang đo có kích thước gấp 3 lần thang đo mà 2 đang nằm. Trong thế giới của 3, 2 là 6. Vì vậy, 3 và 2 có thể cùng nằm trên cùng một chiều nhưng vẫn có ý nghĩa khi được nhân với nhau, vì vậy nó không hoàn toàn là phép chiếu như X lên Y với tích vô hướng, nhưng giúp mình hiểu các tích từng cặp trong tích vô hướng.
Có rất nhiều bài đăng như thế này, nhưng mình muốn xem xét nó ở một góc độ hơi khác (không cố ý chơi chữ). Mình chủ yếu tò mò tại sao người ta lại nhân từng cặp giá trị với nhau rồi cộng chúng lại. Giá trị thu được có hữu ích tự thân nó như một điểm đến cuối cùng không? Mặc dù tích vô hướng rất hữu ích như một bước trung gian để xác định độ dài và góc liên quan đến vectơ, nhưng giá trị của tích vô hướng dường như không đại diện cho bất cứ thứ gì hữu hình trong thế giới thực đối với mình (afaik). Nó không hẳn là độ lớn, vì nó vô thứ nguyên. Vậy có khi nào người ta tính tích vô hướng của hai vectơ để đưa ra kết luận trực tiếp từ giá trị đó không? Mình đang tìm kiếm một lời giải thích kết hợp với một số khái niệm quen thuộc hơn, như số học cơ bản. Ví dụ: mình hiểu phép nhân vì nó được mở rộng từ khái niệm phép cộng, và trên thực tế là phép cộng lặp lại. Mình hiểu về tập hợp và số học, và có thể là khái niệm cơ bản về trường. Mình có thể tưởng tượng được tính hữu dụng của việc cộng các trường từng cặp. Có vẻ như kết quả có thể sử dụng trực tiếp. (ví dụ: cộng các vectơ, cộng số lượng sản phẩm được bán, v.v.). Hy vọng sẽ xây dựng từ mức độ hiểu biết này.
Phân tích thành 2 bước, mình thấy có một bước đầu tiên là nhân từng phần tử của hai vectơ, nhưng điều này tự nó cũng không có vẻ hữu ích. Tại sao lại nhân hai số nếu chúng cùng chiều (trừ khi để sau này tính độ dài và góc của vectơ thông qua tích vô hướng, v.v.)? Sau đó có một bước khác là cộng các tích này lại với nhau, điều mà mình cũng không hiểu trực giác như một phép toán tự thân. Tại sao bạn lại cộng hai số có chiều khác nhau (trừ khi để sau này tính trung bình)?
