“Ngoài 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thông dụng ra thì còn có một số hằng đẳng thức khác. Hãy tham khảo bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn về đẳng thức lập phương a 3 b 3 (a mũ 3 cộng trừ b mũ 3) nhé!”
Hằng đẳng thức a^3 + b^3 (a mũ 3 cộng b mũ 3)
A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 )
A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 )
- Lập phương của một tổng bằng lập phương của biểu thức thứ nhất cộng 3 lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai cộng 3 lần tích biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai rồi cộng với lập phương của biểu thức thứ hai.
Ví dụ:
a) Tính 33+ 43.
b) Viết biểu thức ( x + 1 )( x2- x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương.
Lời giải:
a) Ta có: 33+ 43= ( 3 + 4 )( 32 – 3.4 + 42 ) = 7.13 = 91.
b) Ta có: ( x + 1 )( x2- x + 1 ) = x3+ 13 = x3 + 1.
Hằng đẳng thức a^3 – b^3 (a mũ 3 trừ b mũ 3)
(A – B^3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
Lập phương của một hiệu bằng lập phương của biểu thức thứ nhất trừ 3 lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai cộng 3 lần tích biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai rồi trừ với lập phương của biểu thức thứ hai.
Ví dụ :
a) Khai triển hằng đẳng thức (2x – 3y)3
b) Viết biểu thức 8 – 12x + 6×2 – x3 dưới dạng lập phương của một tổng.
Lời giải:
a) Khai triển hằng đẳng thức (2x – 3y)3 ta được:
(2x – 3y)3
= (2x)3 – 3.(2x)2(3y) + 3(2x).(3y)2 – (3y)3
= 8×3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3
b) Viết biểu thức 8 – 12x + 6×2 – x3 dưới dạng lập phương của một tổng ta được:
8 – 12x + 6×2 – x3
= 23 – 3.22.x + 3.2.x2 – x3
= (2 – x)3
Hằng đẳng thức a^3 + b^3 + c^3
A3+B3 +C3 – 3ABC = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 – AB – BC – CA)
Ví dụ: Chứng minh biểu thức a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc -ca).
Ta sẽ phân tích a3+b3 +c3 – 3abc (1) thành nhân tử, ta có:
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 suy ra:
a3 + b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) (áp dụng hằng đẳng thức)
Như vậy: (1) tương đương (a+b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc
= (a+b)3 + c3 – (3ab(a+b) + 3abc)
= (a+b+c)(a2+2ab +b2- (a+b)c+c2) – 3ab(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+2ab+b2- (a+b)c+ c2- 3ab)
= (a+b+c)( a2+2ab+b2- ac – bc+ c2 – 3ab)
= (a+b+c)( a+b2 c2- ac – bc- ab) = vế phải. (điều phải chứng minh)
→ Kết luận: a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Một số bài tập minh hoạ (Có đáp án)
Bài tập minh họa
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) A = x3 – 3×2 + 3x + 2 tại x = 11
b) B = x3 – 9×2 + 27x – 27 tại x = 4
Lời giải:
a) Ta có:
A = x3 – 3×2 + 3x + 2
A = x3 – 3×2 + 3x -1 + 3
A = (x – 1)3 + 3
Thay x = 1 vào biểu thức ra có:
A = (1 – 1)3 + 3
A = 03 + 3
A = 3
Vậy A = 3
b) Ta có:
B = x3 – 9×2 + 27x – 27
B = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33
B = (x – 3)3
Thay x = 4 vào biểu thức ta có:
B = (4 – 3)3 = 13 = 1
Vậy B = 1
Hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 2: Tìm x biết
a) ( x – 3 )( x2+ 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
b) ( x + 1 )3- ( x – 1 )3- 6( x – 1 )2 = – 10.
Lời giải:
a) Áp dụng các hằng đẳng thức ( a – b )( a2+ ab + b2) = a3 – b3.
( a – b )( a + b ) = a2 – b2.
Khi đó ta có ( x – 3 )( x2 + 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
⇔ x3 – 33 + x( 22 – x2 ) = 0 ⇔ x3 – 27 + x( 4 – x2 ) = 0
⇔ x3 – x3 + 4x – 27 = 0
⇔ 4x – 27 = 0
Vậy x= 27/4
b) Áp dụng hằng đẳng thức ( a – b )3= a3- 3a2b + 3ab2 – b3
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
Khi đó ta có: ( x + 1 )3 – ( x – 1 )3 – 6( x – 1 )2 = – 10.
⇔ ( x3 + 3×2 + 3x + 1 ) – ( x3 – 3×2 + 3x – 1 ) – 6( x2 – 2x + 1 ) = – 10
⇔ 6×2 + 2 – 6×2 + 12x – 6 = – 10
⇔ 12x = – 6
Vậy x= -1/2
Hy vọng đây là tài liệu bổ ích, hướng dẫn các bạn ôn tập trên lớp hoặc sử dụng tại nhà làm tài liệu tự học ôn luyện các bài tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
