Giải chi tiết:
Cho đường tròn (left( {O;R} right)) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuốc đường tròn (C khác A và B). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E.
1. Chứng minh bốn điểm A, E, C, O cùng thuộc một đường tròn.
AE là tiếp tuyến tại A của (left( {O;R} right) Rightarrow angle EAO = {90^o})
CE là tiếp tuyến tại C của (left( {O;R} right) Rightarrow angle ECO = {90^o})
( Rightarrow ) C, A cùng thuộc đường tròn đường kính OE
( Rightarrow ) A, E, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính OE
2. Chứng minh (BC.BD = 4{R^2}) và OE song song với BD.
Ta có điểm C thuộc (left( O right)) đường kính (AB = 2R)
( Rightarrow )(angle ACB = {90^o} Rightarrow AC bot BD)
( Rightarrow ) AC là đường cao trong (Delta ABD)
Xét (Delta ABD) vuông tại A đường cao AC ta có:
(BC.BD = A{B^2} = {left( {2R} right)^2} = 4{R^2})
Ta có AE là tiếp tuyến tại A của (left( {O;R} right))
CE là tiếp tuyến tại C của (left( {O;R} right))
(AE cap CE = left{ E right})
( Rightarrow ) (OE bot AC) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà (BD bot AC) (chứng minh trên) ( Rightarrow ) (OE// BD) (từ vuông góc đến song song)
3. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia EC ở F. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn (left( {O;R} right))
Ta có (OF bot BC) tại N (gt) ( Rightarrow )(angle BOF = angle COF = frac{1}{2}angle BOC) (đường cao đồng thời là đường trung tuyến trong tam giác cân)
Mặt khác (angle BCF = frac{1}{2}angle BOC) (CF là tiếp của (left( O right)) tại C)
( Rightarrow angle BOF = angle BCFleft( { = frac{1}{2}angle BOC} right)) ( Rightarrow ) BOCF là tứ giác nội tiếp
( Rightarrow angle OBF + angle OCF = {180^o} Leftrightarrow angle OBF + {90^o} = {180^o}) ((angle OCF = {90^o}) do CF là tiếp tuyến của (left( O right)) tại C)
( Rightarrow angle OBF = {90^o} Rightarrow BF) là tiếp tuyến của (left( {O;R} right))
4. Gọi H là hình chiếu của C trên AB, M là giao của AC và OE. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn (left( {O;R} right)) và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua một điểm cố định.
Ta có (OEparallel CA) (chứng minh trên) ( Rightarrow angle OMC = {90^o})
Mặt khác (angle MCN = angle ONC = {90^o}) ( Rightarrow ,OMCN) là hình chữ nhật ( Rightarrow ) (angle OMN = angle OCN) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (ON))
Ta có (angle OHC = angle ONC = {90^o}) ( Rightarrow ) OHCN là tứ giác nội tiếp ( Rightarrow ) (angle OHN = angle OCN) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (ON))
( Rightarrow angle OMN = angle OHNleft( { = angle OCN} right))
( Rightarrow ) HMNO là tứ giác nội tiếp (dhnb)
( Rightarrow ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua O là điểm cố định. (đpcm)
