Lượng giác
- Khái quát
- Lịch sử
- Ứng dụng
- Hàm
- Hàm ngược
Tham khảo
- Đẳng thức
- Giá trị đặc biệt
- Bảng
- Đường tròn đơn vị
Định lý
- Sin
- Cos
- Tang
- Cotang
- Pythagoras
Vi tích phân
- Phép thế lượng giác
- Tích phân
- Hàm nghịch đảo
- Đạo hàm
Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x).
Biết được đạo hàm của sin(x) và cos(x), chúng ta dễ dàng tìm được đạo hàm của các hàm lượng giác còn lại do chúng được biểu diễn bằng hai hàm trên, bằng cách dùng quy tắc thương. Phép chứng minh đạo hàm của sin(x) và cos(x) được diễn giải ở bên dưới, và từ đó cho phép tính đạo hàm của các hàm lương giác khác. Việc tính đạo hàm của hàm lượng giác ngược và một số hàm lượng giác thông dụng khác cũng được trình bày ở bên dưới.
( sin ( x ) ) ′ = cos ( x ) {displaystyle left(sin(x)right)’=cos(x)} ( cos ( x ) ) ′ = − sin ( x ) {displaystyle left(cos(x)right)’=-sin(x)} ( tan ( x ) ) ′ = ( sin ( x ) cos ( x ) ) ′ = cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) cos 2 ( x ) = 1 cos 2 ( x ) = sec 2 ( x ) {displaystyle left(tan(x)right)’=left({frac {sin(x)}{cos(x)}}right)’={frac {cos ^{2}(x)+sin ^{2}(x)}{cos ^{2}(x)}}={frac {1}{cos ^{2}(x)}}=sec ^{2}(x)} ( cot ( x ) ) ′ = ( cos ( x ) sin ( x ) ) ′ = − sin 2 ( x ) − cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) = − ( 1 + cot 2 ( x ) ) = − csc 2 ( x ) {displaystyle left(cot(x)right)’=left({frac {cos(x)}{sin(x)}}right)’={frac {-sin ^{2}(x)-cos ^{2}(x)}{sin ^{2}(x)}}=-(1+cot ^{2}(x))=-csc ^{2}(x)} ( sec ( x ) ) ′ = ( 1 cos ( x ) ) ′ = sin ( x ) cos 2 ( x ) = 1 cos ( x ) . sin ( x ) cos ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {displaystyle left(sec(x)right)’=left({frac {1}{cos(x)}}right)’={frac {sin(x)}{cos ^{2}(x)}}={frac {1}{cos(x)}}.{frac {sin(x)}{cos(x)}}=sec(x)tan(x)} ( csc ( x ) ) ′ = ( 1 sin ( x ) ) ′ = − cos ( x ) sin 2 ( x ) = − 1 sin ( x ) . cos ( x ) sin ( x ) = − csc ( x ) cot ( x ) {displaystyle left(csc(x)right)’=left({frac {1}{sin(x)}}right)’=-{frac {cos(x)}{sin ^{2}(x)}}=-{frac {1}{sin(x)}}.{frac {cos(x)}{sin(x)}}=-csc(x)cot(x)} ( arcsin ( x ) ) ′ = 1 1 − x 2 {displaystyle left(arcsin(x)right)’={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}} ( arccos ( x ) ) ′ = − 1 1 − x 2 {displaystyle left(arccos(x)right)’={frac {-1}{sqrt {1-x^{2}}}}} ( arctan ( x ) ) ′ = 1 x 2 + 1 {displaystyle left(arctan(x)right)’={frac {1}{x^{2}+1}}} ( sec − 1 x ) ′ = 1 | x | x 2 − 1 ( csc − 1 x ) ′ = − 1 | x | x 2 − 1 ( arccot − 1 x ) ′ = − 1 1 + x 2 {displaystyle {begin{aligned}&({{sec }^{-1}}x)’={frac {1}{left|xright|{sqrt {{{x}^{2}}-1}}}}&({{csc }^{-1}}x)’={frac {-1}{left|xright|{sqrt {{{x}^{2}}-1}}}}&({{operatorname {arccot} }^{-1}}x)’={frac {-1}{1+{{x}^{2}}}}end{aligned}}}
Cho đường tròn tâm O bán kính r (hình bên). Gọi θ là góc tại O tạo bởi OA và OK. Do ta giả định θ tiến dần tới 0, có thể xem θ là một số dương rất nhỏ: 0 < θ ≪ 1.
Gọi: R1 là diện tích tam giác OAK, R2 là diện tích hình quạt OAK, R3 là diện tích tam giác OAL. Dễ thấy:
( R 1 ) < ( R 2 ) < ( R 3 ) . {displaystyle (R_{1})<(R_{2})<(R_{3}),.}
Dùng công thức lượng giác, tính được diện tích tam giác OAK là
1 2 × | | O A | | × | | O K | | × sin θ = 1 2 r 2 sin θ . {displaystyle {frac {1}{2}}times ||OA||times ||OK||times sin theta ={frac {1}{2}}r^{2}sin theta ,.}
Diện tích hình quạt OAK là 1 2 r 2 θ {displaystyle {frac {1}{2}}r^{2}theta } , còn diện tích tam giác OAL là
1 2 × | | O A | | × | | A L | | = 1 2 × r × r tan θ = 1 2 r 2 tan θ . {displaystyle {frac {1}{2}}times ||OA||times ||AL||={frac {1}{2}}times rtimes rtan theta ={frac {1}{2}}r^{2}tan theta ,.}
Từ đó ta có:
( R 1 ) < R 2 ) < ( R 3 ) ⟺ 1 2 r 2 sin θ < 1 2 r 2 θ < 1 2 r 2 tan θ . {displaystyle (R_{1})<R_{2})<(R_{3})iff {frac {1}{2}}r^{2}sin theta <{frac {1}{2}}r^{2}theta <{frac {1}{2}}r^{2}tan theta ,.}
Vì r > 0 ta chia bất đẳng thức trên cho ½·r2. Ngoài ra, vì 0 < θ ≪ 1 dẫn đến sin(θ) > 0, ta có thể chia bất đẳng thức cho sin(θ), từ đó:
1 < θ sin θ < 1 cos θ ⟹ 1 > sin θ θ > cos θ . {displaystyle 1<{frac {theta }{sin theta }}<{frac {1}{cos theta }}implies 1>{frac {sin theta }{theta }}>cos theta ,.}
Theo định lý kẹp ta có
lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {displaystyle lim _{theta to 0^{+}}{frac {sin theta }{theta }}=1,.}
Trong trường hợp θ là số âm rất nhỏ là tiến dần tới 0, tức là: -1 ≪ θ < 0, sử dụng tính chất lẻ của hàm sin ta được:
lim θ → 0 − sin θ θ = lim θ → 0 + sin ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − sin θ − θ = lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {displaystyle lim _{theta to 0^{-}}{frac {sin theta }{theta }}=lim _{theta to 0^{+}}{frac {sin(-theta )}{-theta }}=lim _{theta to 0^{+}}{frac {-sin theta }{-theta }}=lim _{theta to 0^{+}}{frac {sin theta }{theta }}=1,.}
Và do đó:
lim θ → 0 sin θ θ = 1 . {displaystyle lim _{theta to 0}{frac {sin theta }{theta }}=1,.}
Ta có
lim θ → 0 ( cos θ − 1 θ ) = lim θ → 0 [ ( cos θ − 1 θ ) ( cos θ + 1 cos θ + 1 ) ] = lim θ → 0 ( cos 2 θ − 1 θ ( cos θ + 1 ) ) . {displaystyle lim _{theta to 0}left({frac {cos theta -1}{theta }}right)=lim _{theta to 0}left[left({frac {cos theta -1}{theta }}right)left({frac {cos theta +1}{cos theta +1}}right)right]=lim _{theta to 0}left({frac {cos ^{2}theta -1}{theta (cos theta +1)}}right).}
Vì sin2θ + cos2θ = 1 nên cos2θ – 1 = -sin2θ. Do đó
lim θ → 0 ( cos θ − 1 θ ) = lim θ → 0 ( − sin 2 θ θ ( cos θ + 1 ) ) = lim θ → 0 ( − sin θ θ ) × lim θ → 0 ( sin θ cos θ + 1 ) = ( − 1 ) × 0 2 = 0 . {displaystyle lim _{theta to 0}left({frac {cos theta -1}{theta }}right)=lim _{theta to 0}left({frac {-sin ^{2}theta }{theta (cos theta +1)}}right)=lim _{theta to 0}left({frac {-sin theta }{theta }}right)times lim _{theta to 0}left({frac {sin theta }{cos theta +1}}right)=(-1)times {frac {0}{2}}=0,.}
Theo định nghĩa đạo hàm:
d d θ sin θ = lim δ → 0 ( sin ( θ + δ ) − sin θ δ ) . {displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}left({frac {sin(theta +delta )-sin theta }{delta }}right).}
Dùng công thức biến đổi lượng giác sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được
d d θ sin θ = lim δ → 0 ( sin θ cos δ + sin δ cos θ − sin θ δ ) = lim δ → 0 [ ( sin δ δ cos θ ) + ( cos δ − 1 δ sin θ ) ] = ( 1 × cos θ ) + ( 0 × sin θ ) = cos θ . {displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}left({frac {sin theta cos delta +sin delta cos theta -sin theta }{delta }}right)=lim _{delta to 0}left[left({frac {sin delta }{delta }}cos theta right)+left({frac {cos delta -1}{delta }}sin theta right)right]=(1times cos theta )+(0times sin theta )=cos theta ,.}
Theo định nghĩa:
d d θ cos θ = lim δ → 0 ( cos ( θ + δ ) − cos θ δ ) . {displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}left({frac {cos(theta +delta )-cos theta }{delta }}right).}
Dùng công thức biến đổi lượng giác cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được
d d θ cos θ = lim δ → 0 ( cos θ cos δ − sin θ sin δ − cos θ δ ) = lim δ → 0 [ ( cos δ − 1 δ cos θ ) − ( sin δ δ sin θ ) ] = ( 0 × cos θ ) − ( 1 × sin θ ) = − sin θ . {displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}left({frac {cos theta cos delta -sin theta sin delta -cos theta }{delta }}right)=lim _{delta to 0}left[left({frac {cos delta -1}{delta }}cos theta right)-left({frac {sin delta }{delta }}sin theta right)right]=(0times cos theta )-(1times sin theta )=-sin theta ,.}
Cho
y = arcsin x {displaystyle y=arcsin x,!}
Trong đó
− π 2 ≤ y ≤ π 2 {displaystyle -{frac {pi }{2}}leq yleq {frac {pi }{2}}}
Thì ta có
sin y = x {displaystyle sin y=x,!}
Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx:
d d x sin y = d d x x {displaystyle {d over dx}sin y={d over dx}x} d y d x cos y = 1 {displaystyle {dy over dx}cos y=1,!}
Thế cos y = 1 − sin 2 y {displaystyle cos y={sqrt {1-sin ^{2}y}}} ,
d y d x 1 − sin 2 y = 1 {displaystyle {dy over dx}{sqrt {1-sin ^{2}y}}=1}
Thế x = sin y {displaystyle x=sin y} ,
d y d x 1 − x 2 = 1 {displaystyle {dy over dx}{sqrt {1-x^{2}}}=1} d y d x = 1 1 − x 2 {displaystyle {dy over dx}={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}
Cho
y = arccos x {displaystyle y=arccos x,!}
Trong đó
0 ≤ y ≤ π {displaystyle 0leq yleq pi }
Thì ta có
cos y = x {displaystyle cos y=x,!}
Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx:
d d x cos y = d d x x {displaystyle {d over dx}cos y={d over dx}x} − d y d x sin y = 1 {displaystyle -{dy over dx}sin y=1}
Thế sin y = 1 − cos 2 y {displaystyle sin y={sqrt {1-cos ^{2}y}},!} ,
− d y d x 1 − cos 2 y = 1 {displaystyle -{dy over dx}{sqrt {1-cos ^{2}y}}=1}
Thế x = cos y {displaystyle x=cos y,!} ,
− d y d x 1 − x 2 = 1 {displaystyle -{dy over dx}{sqrt {1-x^{2}}}=1} d y d x = − 1 1 − x 2 {displaystyle {dy over dx}=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}
Cho
y = arctan x {displaystyle y=arctan x,!}
Trong đó
− π 2 < y < π 2 {displaystyle -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}}
Thì ta có
tan y = x {displaystyle tan y=x,!}
Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx
d d x tan y = d d x x {displaystyle {d over dx}tan y={d over dx}x} d y d x sec 2 y = 1 {displaystyle {dy over dx}sec ^{2}y=1}
Thế 1 + tan 2 y = sec 2 y {displaystyle 1+tan ^{2}y=sec ^{2}y,!} ,
d y d x ( 1 + tan 2 y ) = 1 {displaystyle {dy over dx}(1+tan ^{2}y)=1}
Thế x = tan y {displaystyle x=tan y,!} ,
d y d x ( 1 + x 2 ) = 1 {displaystyle {dy over dx}(1+x^{2})=1} d y d x = 1 1 + x 2 {displaystyle {dy over dx}={frac {1}{1+x^{2}}}}
- Lượng giác
- Vi tích phân
- Đạo hàm và vi phân của hàm số
