Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi, là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau… Bên cạnh hình vuông, chữ nhật, tam giác… thì hình thoi là một trong những hình quan trọng trong toán học và cuộc sống.
Bên cạnh công thức tính chu vi, diện tích hình thoi thì cách tính đường chéo hình thoi – đường nối các đỉnh đối diện của hình thoi lại với nhau, cũng rất quan trọng.
Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn tìm hiểu về cách tính đường chéo hình thoi kèm theo các ví dụ cụ thể, mời tham khảo.
Đường chéo của hình thoi
- Đường chéo của hình thoi là đường nối hai đỉnh đối diện của hình thoi.
- Hình thoi có hai đường chéo, và chúng cắt nhau tại trung điểm của hình thoi.
- Đường chéo chia hình thoi thành hai tam giác đều với các cạnh bằng nhau.
Tính chất hai đường chéo hình thoi
Hai đường chéo trong hình thoi có các tính chất sau:
- Hai đường chéo bằng nhau: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài bằng nhau.
- Góc giữa hai đường chéo là góc vuông: Hai đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của hình thoi và tạo thành một góc vuông.
- Đường chéo là trục đối xứng của hình thoi: Mỗi đường chéo của hình thoi là trục đối xứng của hình thoi, chia hình thoi thành hai nửa đối xứng.
- Đường chéo là đường chéo của hai tam giác đều: Mỗi đường chéo của hình thoi là đường chéo của hai tam giác đều, được tạo thành bởi các cạnh bằng nhau.
- Tích của độ dài hai đường chéo bằng tích của độ dài hai cạnh góc vuông của hình thoi: Tích của độ dài hai đường chéo của hình thoi bằng tích của độ dài hai cạnh góc vuông của hình thoi. Tức là, nếu chúng ta ký hiệu đường chéo là d, cạnh góc vuông là a và b, ta có d² = a² + b².
Những tính chất này là những tính chất đặc trưng của hình thoi và được sử dụng trong nhiều bài toán hình học liên quan đến hình thoi.
Công thức tính đường chéo hình thoi
Mời các bạn cũng xét ví dụ dưới đây để từ đó đưa ra được công thức tính đường chéo hình thoi.
Giả sử ta cần tính độ dài đường chéo hình thoi ABCD có cạnh a và một góc ABC = 60 độ -> công thức tính đường chéo hình thoi trong trường hợp này như thế nào?
Lời giải:
Vì ABCD là hình thoi nên các cạnh đều bằng a.
Xét tam giác ABC có: AB = BC = a
Lại có: ABC = 60 độ => Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a.
=> AB = AC = BC = a
=> Độ dài đường chéo hình thoi chính là AC = BD = a.
Cách giải trên là một trong những công thức tính đường chéo hình thoi đơn giản và dễ hiểu nhất.
Công thức tính đường chéo hình thoi khi biết diện tích và đường chéo còn lại
Từ công thức tính diện tích hình thoi:
S = (a x b) : 2
Ta có công thức độ dài đường chéo như sau :
a = S x 2 : b
hoặc
b = S x 2 : a
Trong đó:
- S là diện tích
- a và b là độ dài 2 đường chéo
Sử dụng các tính chất hình học của hình thoi để tính độ dài đường chéo mà không cần sử dụng định lý Pythagoras. Cụ thể:
Đường chéo của hình thoi là trung bình cộng của hai đường cao.
Đường chéo = căn bậc hai của (đường cao dài + đường cao ngắn)²
Đường chéo của hình thoi là nửa chu vi của hình thoi.
Đường chéo = 1/2 x chu vi hình thoi.
Bài toán về tính đường chéo hình thoi
Bài toán 1: Cho một hình thoi có diện tích là 360 cm vuông, độ dài một đường chéo là 24 cm . Tính độ dài đường chéo thứ hai
Lời giải :
Theo công thức diện tích hình thoi: a x b : 2
Ta có đường chéo thứ 2: 360 x 2 : 24 = 30cm
Đáp án: 30cm
Bài toán 2:
Một hình thoi có diện tích 4dm , độ dài một đường chéo là 3/5 dm. Tính độ dài đường chéo thứ hai.Lời Giải :
Độ dài đường chéo thứ hai là:
(4 x 2) : 3/5 =40/3 (dm)
Bài 3: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài là 160cm và 120 cm. Tính chiều cao của hình thoi, biết tỉ số giữa chiều cao và độ dài cạnh hình thoi là 24:25.
Lời giải:
Diện tích hình thoi là: 160.120:2 = 9 600 (cm2).
Vì tỉ số giữa chiều cao và độ dài cạnh hình thoi là 24:25 nên có thể coi chiều cao hình thoi là 24a và cạnh hình thoi là 25a.
Khi đó ta có diện tích hình thoi là: 25a.24a = 9 600 a2 = 16 a = 4 cm.
Chiều cao của hình thoi là: 24.4 = 96 (cm).
Vậy chiều cao của hình thoi là 96cm.
Bài 4:
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 12,5cm, đường cao bằng 6,72 cm và AC nhỏ hơn BD. Hỏi độ dài hai đường chéo AC và BD lần lượt bằng bao nhiêu?
Giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi: S = h.a = 6,72 x 12, 5 = 84cm.=> 1/2 AC x BD = 84 => 2AC.BD = 336
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi.
Ta có được AOB là tam giác vuông tại O nên AB2 = OA2 + OB2
Trong đó, OA = 1/2 AC, OB = 1/2 BD
=> 12,52 = 1/4 (AC2 + BD2) <=> 625 = AC2 + BD2
AC2 + BD2 = 625 <=> AC2 + BD2+ 2AC.BD = 625 + 336 <=> (AC + BD)2 = 961 <=> AC + BD = 31 (1)
AC2 + BD2 = 625 <=> AC2 + BD2- AC.BD = 625 -336 <=> (BD – AC)2 = 289 <=> BD – AC = 17 (Theo đề bài BD > AC) (2)
Từ (1) và (2), ta có:
BD = 24, AC = 7cm.
Bài 5:
Hình thoi ABCD có cạnh bằng 10 đơn vị. Tính độ dài đường chéo của hình thoi.
Giải: Độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là:
Đường chéo = căn bậc hai của 2(10²) = căn bậc hai của 200 = 14.14 đơn vị độ dài.
Vậy độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là 14.14 đơn vị độ dài.
Bài 6:
Hình thoi ABCD có đường chéo bằng 12 đơn vị. Tính chu vi của hình thoi.
Giải: Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau, chu vi của nó sẽ là tổng độ dài bốn cạnh, tức là:
Chu vi = 4 x độ dài cạnh = 4 x 6 = 24 đơn vị độ dài.
Vậy chu vi của hình thoi ABCD là 24 đơn vị độ dài.
