1. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất 4m. Cùng thời điểm đó, một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 60m. Hãy cho biết tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3m. (Hình vẽ minh họa)
Gọi h là chiều cao tòa nhà cần tìm, (alpha )là góc tia nắng mặt trời tạo với mặt đáy lúc ấy.
Khi đó ta có: (tan alpha = frac{7}{4} = frac{h}{{60}} Rightarrow h = 105,,(m))
Vậy tòa nhà có (105:3 = 35) (tầng)
2. Cho (Delta ABC,,(AB < AC)) nội tiếp đường tròn (left( O right)) có BC là đường kính, vẽ đường cao AH của (Delta ABC). ((H in BC))
a) Biết (AB = 6cm,,,AC = 8cm). Tính độ dài AH và HB.
(Delta ABC,) nội tiếp đường tròn (left( O right)) có BC là đường kính
( Rightarrow angle BAC = {90^o}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
( Rightarrow Delta ABC) vuông tại A
Áp dụng định lý Py-ta-go vào (Delta ABC) vuông tại A ta được:
(BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = sqrt {{6^2} + {8^2}} = sqrt {100} = 10,,(cm))
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A,
đường cao AH ta được:
(A{B^2} = HB.BC Rightarrow HB = frac{{A{B^2}}}{{BC}} = frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6,,(cm))
Áp dụng định lý Py-ta-go vào (Delta ABH) vuông tại H ta được:
(AH = sqrt {A{B^2} – A{C^2}} = sqrt {{6^2} – 3,{6^2}} = sqrt {23,04} = 4,8,,(cm))
b) Tiếp tuyến tại A của (left( O right)) cắt các tiếp tuyến tại B và C lần lượt tại M và N. Chứng minh (MN = MB + NC) và (angle MON = {90^o})
Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của (left( O right)) cắt nhau tại M
( Rightarrow ) (MA = MB) và OM là phân giác của (angle AOB) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có NA, NC là hai tiếp tuyến của (left( O right)) cắt nhau tại N
( Rightarrow ) (NA = NC) và ON là phân giác của (angle AOC) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà (MN = MA + NA,,,(A in MN)) nên (MN = MB + NC;;left( {dpcm} right))
OM, ON lần lượt là phân giác (angle AOB) và (angle AOC) (cmt)
Mà (angle AOB) và (angle AOC) là 2 góc kề bù nên (angle MON = {90^o}.)
c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho (AB = AE), gọi I là trung điểm của BE. Chứng minh 3 điểm M, I, O thẳng hàng.
Có I là trung điểm của BE ( Rightarrow ) AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác (Delta ABE) vuông tại A
( Rightarrow ) (IA = IB = IE = frac{1}{2}BE) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Ta có (MA = MB) (cmt) ( Rightarrow ) M thuộc đường trung trực của AB (1)
(OA = OB,,( = R)) ( Rightarrow ) O thuộc đường trung trực của AB (2)
(IA = IB) (cmt) ( Rightarrow ) I thuộc đường trung trực của AB (3)
Từ (1), (2), (3) ( Rightarrow ) 3 điểm M, I, O thẳng hàng.
d) Chứng minh HI là tia phân giác của (angle AHC)
Từ E kẻ (EP bot BC) tại P và (EQ bot AH) tại Q.
( Rightarrow HPEQ) là hình chữ nhật ( Rightarrow ) (QE = HP)
Ta có (angle ABC + angle ACB = {90^o}) ((Delta ABC) vuông tại A)
(angle HAC + angle ACB = {90^o}) ((Delta AHC) vuông tại H)
( Rightarrow angle ABC = angle HAC) hay (angle ABH = angle QAE)
Xét (Delta BHA) và (Delta AQE) có: (angle BHA = angle AQE,,( = {90^o})); (angle ABH = angle QAE) (cmt); (AB = AE) (gt)
( Rightarrow Delta BHA = Delta AQE) (ch-gn) ( Rightarrow AH = QE = HP)
Ta có (Delta BPE) vuông tại P, I là trung điểm của BE
( Rightarrow ) (PI = frac{1}{2}BE) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Mà (AI = frac{1}{2}BE) (cmt) ( Rightarrow AI = PI)
Xét (Delta AHI) và (Delta PHI) có: HI chung; (AI = PI) (cmt); (AH = HP) (cmt)
( Rightarrow Delta AHI = Delta PHI) (c-c-c) ( Rightarrow angle AHI = angle PHI) (2 góc tương ứng)
( Rightarrow ) HI là tia phân giác của (angle AHC;;left( {dpcm} right).)
