Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.
Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Bản quyền thuộc về VnDoc.Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên (mathbb{R})
– Định lí: Cho hàm số (y=fleft( x right)) có đạo hàm trên khoảng (left( a,b right):)
+ Hàm số (y=fleft( x right)) đồng biến trên khoảng (left( a,b right)) khi và chỉ khi (f’left( x right)ge 0) với mọi giá trị x thuộc khoảng (left( a,b right)). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số (y=fleft( x right)) nghịch biến trên khoảng (left( a,b right)) khi và chỉ khi (f’left( x right)le 0) với mọi giá trị x thuộc khoảng (left( a,b right)). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
– Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f(x) đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên (mathbb{R}).
+ Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên (mathbb{R}). Khi đó hàm số y=f(x) đơn điệu trên (mathbb{R}) khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Hàm số y=f(x) xác định trên (mathbb{R}).
- Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên (mathbb{R}).
+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:
- Hàm số y = ax + b ((a ne 0)) đồng biến trên (mathbb{R}) khi và chỉ khi a > 0.
- Hàm số y = ax + b ((a ne 0)) nghịch biến trên (mathbb{R}) khi và chỉ khi a < 0.
– Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:
Xét hàm số (y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dRightarrow y’=3a{{x}^{2}}+2bx+c)
TH1: (a=0) (nếu có tham số)
TH2: (ane 0)
+ Hàm số đồng biến trên (mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{matrix} a>0 Delta le 0 end{matrix} right.)
+ Hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{matrix} a<0 Delta le 0 end{matrix} right.)
Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.
– Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên (mathbb{R})
Bước 1. Tìm tập xác định (mathbb{R}).Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.
II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên (mathbb{R})
Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (y = (m – 1)x^{3} – 3(m – 1)x^{2} + 3x + 2); ((m) là tham số) đồng biến trên tập số thực?
Hướng dẫn giải
Ta có: (y’ = 3(m – 1)x^{2} – 6(m – 1)x + 3)
Hàm số đã cho đồng biến trên (mathbb{R}) khi và chỉ khi (y’ geq 0;forall xmathbb{in R})
(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} m – 1 = 0 left{ begin{matrix} m – 1 > 0 Delta’ leq 0 end{matrix} right. end{matrix} right. Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} m = 1 left{ begin{matrix} m > 1 9(m – 1)^{2} – 9(m – 1) leq 0 end{matrix} right. end{matrix} right.)
(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} m = 1 left{ begin{matrix} m > 1 1 leq m leq 2 end{matrix} right. end{matrix} right. Leftrightarrow 1 leq m leq 2)
Vậy đáp án cần tìm là (1 leq m leq 2).
Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số (m) để hàm số (y = frac{1}{3}x^{3} – 2mx^{2} + 4x – 5) nghịch biến trên (mathbb{R})?
Hướng dẫn giải
Ta có: (y’ = – x^{2} – 4x + m)
Hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}) khi và chỉ khi (y’ leq 0;forall xmathbb{in R})
(Leftrightarrow – x^{2} – 4x + m leq 0;forall xmathbb{in R})
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} – 1 < 0 Delta leq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow 16 + 4m leq 0 Leftrightarrow m in ( – infty; – 4rbrack)
Vậy đáp án cần tìm là (m in ( – infty; – 4rbrack).
Ví dụ. Số giá trị nguyên của tham số (m) để hàm số (y = frac{1}{3}x^{3} – 2mx^{2} + 4x – 5) đồng biến trên (mathbb{R})?
Hướng dẫn giải
Theo yêu cầu bài toán (Leftrightarrow y’ = x^{2} – 4mx + 4 geq 0;forall xmathbb{in R})
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a = 1 > 0 Delta’ leq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow 4m^{2} – 4 leq 0 Leftrightarrow – 1 leq m leq 1)
Mà (mmathbb{in Z Rightarrow}m in left{ – 1;0;1 right})
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ. Cho hàm số (y = – x^{3} – mx^{2} + (4m + 9)x + 5). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (m) để hàm số đã cho đồng biến trên (mathbb{R})?
Hướng dẫn giải
Ta có: (y’ = – 3x^{2} – 2mx + 4m + 9)
Hàm số đã cho nghịch biến trên (mathbb{R}) khi và chỉ khi
(left{ begin{matrix} a < 0 Delta’ leq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} – 1 < 0 m^{2} + 3(4m + 9) leq 0 end{matrix} right.)
(Leftrightarrow m^{2} + 12m + 27 leq 0 Leftrightarrow m in lbrack – 9; – 3rbrack)
Mà (mmathbb{in Z Rightarrow}m = left{ – 9; – 8;…; – 3 right})
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ. Cho hàm số (y = – x^{3} – 3(m + 1)x^{2} + 3(2m – 1)x + 2020). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên (( – infty; + infty))?
Hướng dẫn giải
Ta có: (y’ = – 3x^{2} – 6(m + 1)x + 3(2m – 1))
Để hàm số đã cho nghịch biến trên (( – infty; + infty))
(Leftrightarrow y’ leq 0 Leftrightarrow Delta’ leq 0)
(Leftrightarrow 9left( m^{2} + 2m + 1 right) + 18m – 9 leq 0)
(Leftrightarrow 9m^{2} + 36m leq 0 Leftrightarrow – 4 leq m leq 0)
Do (mmathbb{in Z}) nên có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.
Ví dụ. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình (x^{6} + 2020x^{2} = (5x – 6)^{3} – 2020(6 – 5x))?
Hướng dẫn giải
Xét hàm số (f(t) = t^{3} + 2020t Rightarrow f'(t) = 3t^{2} + 2020 > 0;forall tmathbb{in R})
Nên hàm số (y = f(t)) đồng biến trên (mathbb{R})
Phương trình (x^{6} + 2020x^{2} = (5x – 6)^{3} – 2020(6 – 5x)) có dạng
(fleft( x^{2} right) = f(5x – 6) Leftrightarrow x^{2} = 5x – 6 Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} x = 2 x = 3 end{matrix} right.)
Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng (5).
Ví dụ: Cho hàm số (y=-frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+left( 3m-2 right)x+1). Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}.)
(A. left( -2,-1 right)) (B. left[ -2,-1 right]) (C.left( -infty ,-2 right)cup left( -1,+infty right)) (D. left( -infty ,-2 right]cup left[ -1,+infty right))
Hướng dẫn giải
Ta có: (y’=-{{x}^{2}}+2mx+3m-2)
Hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{matrix} a<0 Delta le 0 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} -1<0 4{{m}^{2}}-4left( 3m-2 right)le 0 end{matrix}Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2le 0 right.Leftrightarrow min left[ -2,-1 right])
Đáp án B
Ví dụ: Cho hàm số (y=frac{1}{3}left( m-1 right){{x}^{3}}-left( m-1 right){{x}^{2}}-x+1). Tìm m để hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}).
(A. -3le mle 1) (B. 0le mle 1) (C.left( 0,1 right]) (D. left[ 0,1 right))
Hướng dẫn giải
Ta có: (y’=left( m-1 right){{x}^{2}}-2left( m-1 right)x-1)
TH1: (m-1=0Rightarrow m=1Rightarrow y’=-1<0). Hàm số nghịch biến trên (mathbb{R})
TH2: (mne 1). Hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}) khi:
(left{ begin{matrix} a<0 Delta ‘le 0 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<1 {{left( m-1 right)}^{2}}+left( m-1 right)le 0 end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<1 {{m}^{2}}-mle 0 end{matrix} right. right.Leftrightarrow min left[ 0,1 right))
Đáp án D
Ví dụ: Tìm m để hàm số (y={{x}^{3}}+2left( m+1 right){{x}^{2}}-3mx+5m-2) đồng biến trên (mathbb{R}).
(A. -4le mle -frac{1}{4}) (B. -4< m< -frac{1}{4}) (C.left[ begin{matrix} m<-4 m>-frac{1}{4} end{matrix} right.) (D. left[ begin{matrix} mle -4 mge -dfrac{1}{4} end{matrix} right.)
Hướng dẫn giải
(y’=3{{x}^{2}}+4left( m+1 right)x-3m)
Để hàm số đồng biến trên (mathbb{R}) thì:
(left{ begin{matrix} a>0 Delta ‘le 0 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 1>0 4{{left( m+1 right)}^{2}}+9m end{matrix}Leftrightarrow min left[ -4,-frac{1}{4} right] right.)
Đáp án A
Ví dụ: Cho hàm số (y=frac{1-m}{3}{{x}^{3}}-2left( 2-m right){{x}^{2}}+2left( 2-m right)x+5). Tìm tất cả giá trị của m sao cho hàm số luôn nghịch biến.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: (D=mathbb{R})
Tính đạo hàm: (y’=left( 1-m right){{x}^{2}}-4left( 2-m right)x+4-2m)
TH1: Với m = 1 ta có (y’=-4x+2le 0Leftrightarrow xge frac{1}{2})
Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài.
TH2: Với (mne 1) ta có:
Hàm số luôn nghịch biến (Leftrightarrow left{ begin{matrix} 1-m<0 2{{m}^{2}}-10m+12le 0 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} m>1 2le mle 3 end{matrix}Leftrightarrow right.2le mle 3)
Ví dụ: Tìm m để hàm số (y=frac{1}{3}left( m+3 right){{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+mx) nghịch biến trên (mathbb{R})
Hướng dẫn giải
Tập xác định: (D=mathbb{R})
Đạo hàm: (y’=left( m+3 right){{x}^{2}}-4x+m)
TH1: Với m = -3 (Rightarrow y’=-4x-3Rightarrow m=-3)(thỏa mãn)
Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên (mathbb{R})
TH2: Với (mne -3)
Hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}) khi (y’le 0,forall x)
(begin{align} & Rightarrow left( m+3 right){{x}^{2}}-4x+mle 0,forall xRightarrow left{ begin{matrix} m+3<0 -{{m}^{2}}-3m+4le 0 end{matrix} right. & Leftrightarrow mle -4 end{align})
Ví dụ. Cho hàm số (y = – frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + (3m + 2)x + 1). Tìm tất cả giá trị của (m) để hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}).
A. (leftlbrack begin{matrix} m geq – 1 m leq – 2 end{matrix} ight.). B. (- 2 leq m leq – 1).
C. (- 2 < m < – 1). D. (leftlbrack begin{matrix} m > – 1 m < – 2 end{matrix} ight.).
Hướng dẫn giải
TXĐ: (D = mathbb{R}) , (y’ = – x^{2} + 2mx + 3m + 2) .
Hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}) khi và chỉ khi (y’ leq 0) , (forall xmathbb{in R})
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a = – 1 < 0 Delta’ = m^{2} + 3m + 2 leq 0 end{matrix} ight.) (Leftrightarrow – 2 leq m leq – 1) .
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (m) sao cho hàm số (f(x) = frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + 4x + 3) đồng biến trên (mathbb{R}).
Hướng dẫn giải
Ta có (f'(x) = x^{2} + 2mx + 4) .
Hàm số đã cho đồng biến trên (mathbb{R}) khi và chỉ khi (f'(x) geq 0, forall xmathbb{in R}) (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm).
Ta có (f'(x) geq 0, forall xmathbb{in R Leftrightarrow}Delta’ leq 0)
(Leftrightarrow Delta’ = m^{2} – 4 leq 0)
(Leftrightarrow – 2 leq m leq 2) .
Vì (mmathbb{in Z}) nên (m in left{ – 2; – 1; 0; 1; 2 ight}) , vậy có (5) giá trị nguyên của (m) thỏa mãn.
Ví dụ: Cho hàm số (y = – x^{3} – mx^{2} + (4m + 9)x + 5), với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (( – infty; + infty))
Hướng dẫn giải
Ta có:
+) TXĐ: (D = mathbb{R})
+) (y’ = – 3x^{2} – 2mx + 4m + 9).
Hàm số nghịch biến trên (( – infty; + infty)) khi (y’ leq 0, forall x in ( – infty; + infty))
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a = – 3 < 0 Delta’ = m^{2} + 3(4m + 9) leq 0 end{matrix} ight.)
(Leftrightarrow m in lbrack – 9; – 3brack) (Rightarrow) có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Ví dụ: Tìm (m) để hàm số (y = x^{3} – 3mx^{2} + 3(2m – 1) + 1) đồng biến trên (mathbb{R}) .
Hướng dẫn giải
Ta có:
(y’ = 3x^{2} – 6mx + 3(2m – 1))
Ta có: (Delta’ = ( – 3m)^{2} – 3.3.(2m – 1)) .
Để hàm số luôn đồng biến trên (mathbb{R}) thì (Delta’ leq 0)
(Leftrightarrow 9m^{2} – 18m + 9 < 0 Leftrightarrow 9left( m^{2} – 2m + 1 ight) leq 0)
(Leftrightarrow 9(m – 1)^{2} leq 0 Leftrightarrow m = 1) .
Ví dụ. Hỏi có bao nhiêu số nguyên (m) để hàm số (y = left( m^{2} – 1 right)x^{3} + (m – 1)x^{2} – x + 4) nghịch biến trên khoảng (( – infty; + infty)) .
Hướng dẫn giải
TH1: (m = 1) . Ta có: (y = – x + 4) là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên (mathbb{R}) .
Do đó nhận (m = 1) .
TH2: (m = – 1) . Ta có: (y = – 2x^{2} – x + 4) là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên (mathbb{R}) .
Do đó loại (m = – 1) .
TH3: (m eq pm 1) . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (( – infty; + infty) Leftrightarrow y’ leq 0 forall xmathbb{in R}) , dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên (mathbb{R}) .
(Leftrightarrow 3left( m^{2} – 1 ight)x^{2} + 2(m – 1)x – 1 leq 0) , (forall xmathbb{in R })
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a < 0 Delta’ leq 0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m^{2} – 1 < 0 (m – 1)^{2} + 3left( m^{2} – 1 ight) leq 0 end{matrix} ight.)
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m^{2} – 1 < 0 (m – 1)(4m + 2) leq 0 end{matrix} ight.)
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} – 1 < m < 1 – frac{1}{2} leq m leq 1 end{matrix} ight. Leftrightarrow – frac{1}{2} leq m < 1)
Vì (mmathbb{in Z}) nên (m = 0) .
Vậy có (2) giá trị (m) nguyên cần tìm là (m = 0) hoặc (m = 1) .
II. Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số
Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên (mathbb{R})?
(A. fleft( x right)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4) (B. fleft( x right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+2) (C.fleft( x right)=-frac{4}{5}{{x}^{5}}+frac{4}{3}{{x}^{3}}-x) (D. fleft( x right)={{x}^{3}}+10x-{{cos }^{2}}x)
Câu 2: Cho hàm số (y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d). Hỏi hàm số đồng biến trên khi nào?
(A. left[ begin{matrix} a=b=c=0 a<0,{{b}^{2}}-3ac<0 end{matrix} right.) (B. left[ begin{matrix} a=b=0,c>0 a<0,{{b}^{2}}-3acle 0 end{matrix} right.) (C. left[ begin{matrix} a=b=0,c>0 a>0,{{b}^{2}}-3acle 0 end{matrix} right.) (D. left[ begin{matrix} a=b=0,c>0 a>0,{{b}^{2}}-3acge 0 end{matrix} right.)
Câu 3: Cho các hàm số sau:
((1): y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+1)
((2): y=-sqrt{{{x}^{3}}+2})
((3): y=-2x+sin x)
((4): y=frac{2-x}{x-1})
Hàm số nào nghịch biến trên (mathbb{R})?
(A. left( 1 right),left( 2 right)) (B. left( 1 right),left( 2 right),left( 3 right)) (C. left( 1 right),left( 2 right),left( 4 right)) (D. left( 2 right),left( 3 right))
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số (y=-frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+left( 2m-3 right)x+2-m) luôn nghịch biến trên (mathbb{R})
(A. -3le mle 1) (B. mle 1) (C.-3< m< 1) (D. mge -3)
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (y=fleft( x right)=mcos x+x) luôn đồng biến trên (mathbb{R})
(A. -1le mle 1) (B. m>frac{sqrt{3}}{2}) (C.m<frac{1}{2}) (D. left[ begin{matrix} mge 1 mle -1 end{matrix} right.)
Câu 6: Cho hàm số (y=frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-mx-m). Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số luôn đồng biến trên (mathbb{R})
(A. m=0) (B. m=-1) (C.m=-5) (D. m=-6)
Câu 7: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 6×2 + 9x – 1. Phương trình f(x) = -13 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 8: Xác định giá trị của m để hàm số y = (dfrac{1}{2}) x3 – mx2 + (m + 2)x – (3m – 1) đồng biến trên (mathbb{R})
A. m < -1 B. m > 2 C. -1 ≤ m ≤ 2 D.-1 < m < 2
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = (dfrac{1}{3}) x3 – mx2 +(2m – 3) – m + 2 luôn nghịch biến trên (mathbb{R})
A. -3 ≤ m ≤ 1 B. m ≤ 2 C. m ≤ -3; m ≥ 1 D. -3 < m < 1
Câu 10: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng y = x3 – 3mx2 đồng biến trên (mathbb{R})
A. m ≥ 0 B. m ≤ 0 C. m < 0 D. m =0
Câu 11: Cho hàm số: y = (dfrac{-1}{3}) x3 + (m +1)x2 – (m + 1) + 2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
A. m > 4 B. -2 ≤ m ≤ -1 C. m < 2 D. m < 4
Câu 12: Cho hàm số: y = (dfrac{-1}{3})x3 + 2×2 – mx + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
A. m ≥ 4 B. m ≤ 4 C. m > 4 D. m < 4
Câu 13: Tìm tham số m để hàm số (y=frac{{x – m}}{{x + 1}}) đồng biến trên tập xác định của chúng:
A. m ≥ -1 B. m ≤ -1 C. m ≤ 1 D. m ≥ 2
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
a. y = (m + 2).(frac{x^3}{3}) – ( m + 2)x2 – (3m – 1)x + m2 đồng biến trên (mathbb{R}) .
b. y = (m – 1)x3 – 3(m – 1)x2 + 3(2m – 3)x + m nghịch biến trên (mathbb{R}).
Kiểm tra kiến thức về đồng biến, nghịch biến:
Bài trắc nghiệm được biên soạn bởi KhoaHoc.vn – Chuyên trang học online!
–
Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Bài viết cho chúng ta thấy được cách tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R, phương pháp giải bài toán tìm m cùng với các bài tập tự luyện. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 12 nhé. Mời bạn đọc cùng tham khảo thêm mục Giải bài tập Toán lớp 12…
Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:
- 45 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án môn Toán lớp 12: Tính đơn điệu của hàm số
- Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- 100 bài tập trắc nghiệm chuyên đề hàm số có đáp án
- Trắc nghiệm Toán 12 chương 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- 300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số
- Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Cực trị của hàm s
