Tại sao lại giống với một điều không thể khác: bạn không thể giải một đa thức bậc năm chỉ bằng số học và lấy căn (tức là không có công thức tương tự như công thức bậc hai cho các đa thức bậc 5 trở lên). Chi tiết thì khá là cao siêu nhưng ý tưởng là đa thức có tính đối xứng (tính đối xứng có nghĩa là những thay đổi không thực sự làm thay đổi bản chất, ví dụ bạn có thể xoay các số phức một góc nào đó và bản thân đa thức không thay đổi.) Nếu bạn có thể giải một đa thức bằng một chuỗi các phép tính số học và căn bậc hai, căn bậc ba, v.v. thì điều đó có nghĩa là các tính đối xứng phải có một cấu trúc nhất định. Sau đó, bạn có thể xem xét một số đa thức bậc 5 và nói: những tính đối xứng này không có cấu trúc đó nên không thể giải được. Ý tưởng/lĩnh vực toán học này được gọi là lý thuyết Galois.
Ý tưởng này tương tự với tích phân để xác định cái nào có thể giải được bằng các hàm sơ cấp (tức là một số kết hợp của số học, căn bậc n, hàm lượng giác, hàm mũ và logarit). Tích phân này liên quan đến phương trình vi phân dy/dx – ex / ln x = 0. Ý tưởng tương tự: nếu y có thể được giải bằng các hàm sơ cấp, thì các tính đối xứng sẽ phải có một cấu trúc cụ thể. Sau đó, bạn có thể xem xét các tính đối xứng của phương trình vi phân này và thấy nó không có. Ý tưởng/lĩnh vực toán học cụ thể này được gọi là đại số vi phân hoặc lý thuyết Galois vi phân. Định lý cụ thể được gọi là Định lý Liouville; có một số định lý trong các lĩnh vực toán học khác nhau được đặt tên này – đây là định lý cụ thể: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(differential_algebra)
