Trích bài giảng và đề thi khoá PRO X tại Vted.vn
Đề thi này đề cập đến riêng mặt phẳng đoạn chắn
Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục toạ độ $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)text{ }(abcne 0)$ có phương trình
[dfrac{x}{a}+dfrac{y}{b}+dfrac{z}{c}=1.]
mặt phẳng này có một véctơ pháp tuyến $overrightarrow{n}=left( dfrac{1}{a};dfrac{1}{b};dfrac{1}{c} right).$
- Điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ thuộc mặt phẳng này khi và chỉ khi $dfrac{{{x}_{0}}}{a}+dfrac{{{y}_{0}}}{b}+dfrac{{{z}_{0}}}{c}=1.$
các trường hợp đặc biệt hay gặp:
- $M$ là trọng tâm tam giác $ABCLeftrightarrow left{ begin{align}& a=3{{x}_{0}} &b=3{{y}_{0}} & c=3{{z}_{0}} end{align} right.Rightarrow (P):frac{x}{3{{x}_{0}}}+frac{y}{3{{y}_{0}}}+frac{z}{3{{z}_{0}}}=1.$
- $M$ là trực tâm tam giác $ABCLeftrightarrow OMbot (P)Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
- $min frac{1}{O{{A}^{2}}}+frac{1}{O{{B}^{2}}}+frac{1}{O{{C}^{2}}}=frac{1}{O{{M}^{2}}}Leftrightarrow OMbot (P)Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
- $OA=OB=OC.$ Với $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})ne 0$ có bốn mặt phẳng thoả mãn. Ngược lại $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})=0$ có ba mặt phẳng thoả mãn.
- Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có tâm $Ileft( frac{a}{2};frac{b}{2};frac{c}{2} right)$ và bán kính $R=frac{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}.$
- Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ là $r=frac{left| abc right|}{left| ab right|+left| bc right|+left| ca right|+sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}.$
Ví dụ: Trong không gian $Oxyz,$ có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm $Mleft( 4;-4;1 right)$ và chắn trên ba trục tọa độ $Ox,text{ }Oy,text{ }Oz$ theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $dfrac{1}{2}?$
A. $3.$
B. $1.$
C. $2.$
D. $4.$
Giải. Gọi $Aleft( a;0;0 right),Bleft( 0;b;0 right),Cleft( 0;0;c right)Rightarrow left( P right):dfrac{x}{a}+dfrac{y}{b}+dfrac{z}{c}=1$
Vì $Mleft( 4;-4;1 right)in left( P right)Rightarrow dfrac{4}{a}-dfrac{4}{b}+dfrac{1}{c}=1text{ }left( 1 right)$
Và $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $dfrac{1}{2}$ nên $OC=dfrac{1}{2}OB=dfrac{1}{2}left( dfrac{1}{2}OA right)$
$ Leftrightarrow left| c right| = dfrac{1}{2}left| b right| = dfrac{1}{4}left| a right| Leftrightarrow left| a right| = left| {2b} right| = left| {4c} right| Leftrightarrow left[ begin{gathered} a = 2b = 4c hfill a = 2b = – 4c hfill 2b = 4c = – a hfill 4c = a = – 2b hfill end{gathered} right.left( 2 right)$
Giải $left( 1 right),left( 2 right)Rightarrow left( a;b;c right)=left( -8;-4;2 right);left( 8;-4;-2 right);left( 16;-8;4 right).$ Vậy có 3 mặt phẳng thoả mãn. Chọn đáp án A.
*Các em xem lại Bài giảng Mặt phẳng đoạn chắn khoá PRO X.
XEM TRỰC TUYẾN
Một số câu hỏi có trong đề thi:
$square square_0$Câu 70 [Q650287417] Trong không gian $O x y z$, mặt phẳng $(alpha): a x+b y+c z-1=0,(c>0)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $(beta): 2 x-y+z-1=0$ và $(O x y)$ đồng thời tạo với ba mặt phẳng toạ độ một tứ diện có thể tích bằng $frac{1}{60}$. Mặt phẳng $(alpha)$ đi qua điểm nào dưới đây?A. $R(2 ; 8 ;-1)$.B. $S(1 ;-1 ; 1)$.C. $T(1 ;-1 ;-3)$.D. $Q(2 ;-2 ;-1)$.
Câu 71 [Q526215779] Trong không gian $O x y z$, cho điểm $M(1 ; 4 ; 2)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu qua $O$ và cắt các tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho $M, A, B, C$ dồng phẳng và $O A+O B+2 O C$ nhỏ nhất. Bán kính mặt cầu $(S)$ bằngA. $frac{sqrt{5}}{2}$.B. $frac{sqrt{3}}{2}$.C. $frac{sqrt{2}}{2}$.D. $frac{5 sqrt{6}}{2}$.
Câu 72 [Q381711538] Trong không gian $O x y z$, cho $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c)$ với $a, b, c>0$ sao cho $2 O A-O B+O C+5 sqrt{O B^2+O C^2}=36$.Tính $a-b+c$ khi thể tích khối chóp $O$. $A B C$ đạt giá trị lớn nhấtA. 1 .B. 5 .C. $frac{-36+36 sqrt{2}}{5}$.D. 7 .
Câu 73 [Q005709350] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A(2 ; 0 ; 0), M(1 ; 1 ; 1)$. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường thẳng $A M$ và cắt các trục $O y, O z$ lần lượt tại $B$ và $C$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ có diện tích bằng A. 1.C. 2 .D. 4 .
Câu 74 [Q760756727] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $M(1 ;-2 ; 2)$ và $S(2 ;-1 ; 3)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt các trục tọa độ $O x, O y, O z$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $M$ là trực tâm tam giác $A B C$. Thể tích khối chóp $S$. $A B C$ bằng
BIÊN SOẠN: THÂY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN| 10
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|11A. $frac{7}{2}$.B. $frac{27}{8}$.C. $frac{81}{4}$.D. $frac{27}{4}$.$qquad$Câu 75 [Q564424651] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A(2 ;-3 ;-2), H(1 ;-5 ;-7)$ và các đường thẳng $Delta_1, Delta_2, Delta_3$ cùng đi qua điểm $A$ và lần lượt song song với $O x, O y, O z$. Mặt phẳng $(alpha)$ đi qua $H$ cắt $Delta_1, Delta_2, Delta_3$ lần lượt tại $M, N, P$ sao cho $H$ là trực tâm $Delta M N P$ có dạng $a x+b y+5 z+d=0$. Giá trị biểu thức $P=a+b+d$ bằng路和A. 50 .B. 46 .C. 52 .D. 47 .
[PRO X] Phương trình mặt phẳng đoạn chắn (Đề số 01)
Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS
PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)
XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)
LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)
