Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là tài liệu vô cùng hữu ích tổng hợp kiến thức lý thuyết, các cách chứng minh, ví dụ minh họa có đáp án giải chi tiết kèm theo bài tập tự luyện.
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9 thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập hình học về chứng minh phương trình đường thằng đi qua hai điểm được thuận tiện, chính xác hơn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là: (ax + by + c = 0;left( {{a^2} + {b^2} ne 0} right)) nhận 
(overrightarrow n = left( {a;b} right)) làm vectơ pháp tuyến.
1. Xác định hàm số y = ax + b biết hệ số góc a và đồ thị của nó đi qua điểm A(m; n)
+ Thay hệ số góc vào hàm số
+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta sẽ tìm được b
2. Đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = a’x + b’ và đi qua A(m; n)
+ Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = a’x + b’ nên a = a’
+ Thay a = a’ vào hàm số
+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta sẽ tìm được b
3. Đồ thị của hàm số y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = a’x + b’ và đi qua A(m; n)
+ Đồ thị hàm số y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = a’x + b’ nên a.a’ = -1 sau đó thay a vừa tìm được vào hàm số
+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta sẽ tìm được b
4. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(m; n) và B(p; q)
+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta được phương trình thứ nhất
+ Vì đồ thị của nó đi qua B(p; q) nên thay x = p và y = q vào hàm số ta được phương trình thứ hai
+ Giải hệ phương trình gồm hai phương trình trên ta sẽ tìm được a và b
5. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua A(m; n) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng c
+ Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng c nên nó đi qua điểm B(0; c)
+ Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(m; n) và B(0; c)
6. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua A(m; n) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c
+ Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c nên nó đi qua điểm B(c; 0)
+ Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(m; n) và B(c; )
2. Phương trình tham số của đường thẳng
– Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (Aleft( {{x_0},{y_0}} right)) nhận (overrightarrow u (a,b)) làm vecto chỉ phương, Ta có:
(Bleft( {x,y} right) in d Leftrightarrow overrightarrow {AB} = toverrightarrow u Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x – {x_0} = at} {y – {y_0} = bt} end{array}} right.)
(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = {x_0} + at} {y = {y_0} + bt} end{array}} right.;left( {{a^2} + {b^2} ne 0,t in mathbb{R}} right))
– Đường thẳng d đi qua điểm (Aleft( {{x_0},{y_0}} right)), nhận (overrightarrow u (a,b)) là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là (frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b}) với ((a,b ne 0))
3. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
a. Sử dụng định nghĩa
Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Phương pháp:
Bước 1: Tính: (overrightarrow {AB} = left( {c – a;d – b} right)) (vectơ chỉ phương của đường thẳng d)
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: (overrightarrow n = left( {b – d;c – a} right))
Bước 3: Phương trình đường thẳng d:
(left( {b – d} right)left( {x – a} right) + left( {c – a} right)left( {y – b} right) = 0)
b. Sử dụng phương trình tổng quát
Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Phương pháp:
Bước 1: Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng d là y = mx + n (*)
Bước 2: Thay tọa độ A, B vào phương trình tổng quát ta thu được hệ phương trình ẩn m, n
(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {b = am + n} {d = cm + n} end{array}} right. Rightarrow left( {m;n} right) = left( {?;?} right))
Thay m, n vừa tìm được vào phương trình (*) ta suy ra phương trình cần tìm.
4. Bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A (1;2) và B (2;3). Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng định nghĩa Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát
(overrightarrow {AB} = left( {1,1} right))
Phương trình tham số: (frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{1})
(overrightarrow n = left( { – 1,1} right))
Phương trình tổng quát:
(begin{matrix} – 1.left( {x – 1} right) + 1.left( {y – 2} right) = 0 hfill Rightarrow y = x + 1 hfill end{matrix})
(overrightarrow {AB} = left( {1,1} right))
Phương trình tham số: (frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{1})
Gọi phương trình tổng quát là:
y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2 = a.1 + b} {3 = a.2 + b} end{array}} right. Rightarrow left( {a;b} right) = left( {1;1} right))
Vậy PT tổng quát cần tìm là: (y = x + 1)
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết
a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.
b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1
Hướng dẫn giải
a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2 = – 3a + b} { – 4 = 5a + b} end{array}} right. Rightarrow left( {a;b} right) = left( { – frac{3}{4}; – frac{1}{4}} right))
Vậy PT tổng quát cần tìm là: (y = – frac{3}{4}x – frac{1}{4})
Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: (y = 0 Rightarrow x = – frac{1}{3} Rightarrow Aleft( { – frac{1}{3};0} right))
(Rightarrow overrightarrow {OA} = left( { – frac{1}{3};0} right) Rightarrow left| {overrightarrow {OA} } right| = frac{1}{3})
Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: (x = 0 Rightarrow y = – frac{1}{4} Rightarrow Bleft( {0; – frac{1}{4}} right))
(Rightarrow overrightarrow {OB} = left( {0; – frac{1}{4}} right) Rightarrow left| {overrightarrow {OB} } right| = frac{1}{4})
(Rightarrow {S_{OAB}} = frac{1}{2}.OA.OB = frac{1}{2}.frac{1}{3}.frac{1}{4} = frac{1}{{24}})
b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1
⇒ a = -2
Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b
Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)
⇒ 1 = 3.(-2) + b⇒ b = 7
Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7
Bài 3: Cho hàm số (y=2 x^{3}+3(m-1) x^{2}+6(m-2) x-1). Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1
Cách giải:
Ta có :(y^{prime}=6 x^{2}+6(m-1) x+6(m-2))
Hàm số có hai cực trị (Leftrightarrow Delta=(m-1)^{2}-4(m-2)>0)
(Leftrightarrow(m-3)^{2}>0 Leftrightarrow m neq 3)
Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4
Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :
(-4=frac{2}{3}left[6(m-2)-frac{9(m-1)^{2}}{6}right]=4(m-2)-(m-1)^{2} Leftrightarrow-(m-3)^{2}=-4 Leftrightarrowleft[begin{array}{l}m=1 m=5end{array}right.)
5. Bài tập tự luyện viết phương trình của đường thẳng
Bài 1: Cho hàm số y = 2×2 + 3.(m-1).x2 + 6 .(m-2).x-1 Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4x + 1
Bài 2: Cho đường thẳng AB với A(-2, 3) và B(4, -1). Hãy tìm phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
Bài 3: Cho phương trình tổng quát của đường thẳng là 2x – 3y + 6 = 0. Tìm vị trí của các điểm cắt của đường thẳng với trục hoành và trục tung.
Bài 4: Cho Parabol (P): y = -x2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A ( -2; 0; 3) và B (1; 1; 5). Tìm mệnh đề sai?
A. Phương trình tham số của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiể
B. Phương trình chính tắc của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Đường thẳng d đi qua điểm H( – 5; -1; 1)
D. Đường thẳng d đi qua điểm K( -11; -3; -3)
Bài 6: Cho tam giác ABC có A(2; -1; 3), B(0; 5; 3), C(2; 1; 4). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến CN
A. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
B. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
D. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0;0) và A(-1; 2; -4)?
A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
D. Tất cả sai
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A (2; 3; 5); B ( 0; -1; -3) và C ( 4; -1; -3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?
A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
D. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
