Tui biết cái này là câu hỏi thường gặp. Nhưng mà tui tìm hoài trên mạng hổng thấy giải thích nào thuyết phục hết, làm tui vẫn còn thắc mắc. Mấy thứ trong cái chứng minh bằng phản chứng dưới đây nó cứ sai sai sao á.
Chứng minh nè:
Giả sử √2 là số hữu tỉ, nghĩa là có một cặp số nguyên mà tỉ lệ của chúng là √2. Vậy thì √2 có thể viết dưới dạng phân số tối giản a/b, trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung). Suy ra a² / b² = 2, và do đó a² = 2b². Vậy thì a² là số chẵn. Suy ra a phải là số chẵn (vì bình phương của số lẻ thì không bao giờ là số chẵn). Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số nguyên k sao cho a = 2k. Thay 2k vào a trong phương trình thứ hai: 2b² = (2k)², suy ra 2b² = 4k², vậy b² = 2k². Vì 2c² chia hết cho hai và do đó là số chẵn, và vì 2c² = b², suy ra b² cũng là số chẵn, nghĩa là b là số chẵn. Vậy a và b đều là số chẵn, điều này mâu thuẫn với việc a/b là phân số tối giản như đã nói ban đầu.
Ý kiến phản đối:
“a và b đều là số chẵn, điều này mâu thuẫn với việc a/b là phân số tối giản”. Nhưng mà… bằng cách chia cả a và b cho 2, chúng ta thực sự có được một phân số tối giản a/b. Vậy thì mâu thuẫn ở đâu? Ví dụ: 2/6 là số hữu tỉ. Chia cho 2 được 1/3 (cũng là số hữu tỉ). Vậy nên, việc a và b đều là số chẵn, chẳng chứng minh được gì hết.
Với cách chứng minh này, bạn cũng có thể chứng minh căn bậc hai của 4 là số vô tỉ. Tui nghĩ là bạn có thể rút ra kết luận tương tự (mà nó sai bét, vì căn bậc hai của 4 là số hữu tỉ). Nếu bạn dùng cách chứng minh này với căn bậc hai của 4 thì sao? Có khi bạn sẽ được cái gì đó như 8/2? Cả hai đều là số chẵn, nhưng chia cho 2 được 4/1, tức là 4.
Giả định rằng a/b phải là số nguyên tố cùng nhau có vẻ như là một sự gượng ép. Thật ra, một số hữu tỉ có thể được biểu diễn mà không gặp vấn đề gì dưới dạng phân số a/b không rút gọn về dạng tối giản. Ví dụ: 2/6 hoặc 6/2. Trong tiếng Ý, loại phân số này được gọi là phân số biểu kiến (trong tiếng Anh tui chưa tìm thấy khái niệm tương tự). Vậy nên, bất kỳ phân số biểu kiến nào như 2/6 đều có thể được thay đổi thành một phân số tối giản.
Tui bị thiếu cái gì vậy? Cảm ơn trước vì bất kỳ câu trả lời thuyết phục nào sẽ làm rõ những thắc mắc này cho tui.
