Trong chương cuối của Đại số 10, chúng ta đã được học về các giá trị lượng giác như sin x, cos x, tan x, cot x và các công thức lượng giác. Ở chương đầu tiên của Đại số 11, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các hàm số lượng giác như y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x. Khác với các hàm số mà chúng ta được làm quen trước đây, các hàm số lượng giác này là các hàm số tuần hoàn. Chúng thường xuất hiện trong các môn khoa học, công nghệ. Chuyên đề trước, ta đã được tìm hiểu về hàm số y = sin x, bài viết này ta sẽ tiếp tục tìm hiểu về hàm số y = cos x.
1. Khái niệm hàm số y = cos x
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với giá trị lượng giác cos x của cung x
cos :
x y = cos x
được ta gọi là hàm số côsin và kí hiệu là y = cos x.
2. Tập xác định và tập giá trị của hàm số y = cos x
– Tập xác định của hàm số y = cos x là: D = .
– Tập giá trị của hàm số y = cos x là: T = [- 1 ; 1] , ta hiểu là , với mọi .
3. Tính tuần hoàn của hàm số y = cos x
Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì , ta hiểu là , với mọi .
4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cos x
– Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
– Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. Do đó, đồ thị của hàm số y = cos x nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
– Dưới đây là hình ảnh minh họa đồ thị hàm số y = cos x:
Nhận xét: Ta thấy rằng, bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số y = sin x sang bên trái một đoạn có độ dài bằng và song song với trục hoành thì ta sẽ được đồ thị của hàm số y = cos x.
Chú ý: Đồ thị của hàm số y = cos x được gọi là đường hình sin.
5. Một số dạng toán về hàm số y = cos x
5.1. Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số y = cos x
* Phương pháp giải:
+ Hàm số y = cos [t(x)] có nghĩa khi và chỉ khi t(x) có nghĩa.
+ Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi .
+ Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi .
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Hãy tìm tập xác định của mỗi hàm số dưới đây:
a) y = 5cos (2 – 7x) + x;
b) y = cos ;
c) y = cos .
ĐÁP ÁN
a) Hàm số y = 5cos (2 – 7x) + x xác định với mọi .
Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: D = .
b) Hàm số y = cos xác định khi và chỉ khi .
Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: D = [- 3 ; 3].
c) Hàm số y = cos xác định khi và chỉ khi .
Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: D = {2}.
5.2. Dạng 2: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số y = cos x
* Phương pháp giải:
Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
Bài tập vận dụng:
Bài 2. Hãy tìm phát biểu chính xác về hàm số y = cos x trong các phát biểu sau:
- Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng .
- Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng .
- Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng .
- Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng .
ĐÁP ÁN
Ta có hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng . Do đó:
+ Đáp án A sai, vì .
+ Đáp án B đúng, với k = 1 hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng .
+ Đáp án C sai, vì .
+ Đáp án D sai, vì .
Chọn đáp án B.
Bài 3. Hãy xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số trên .
ĐÁP ÁN
Theo giả thiết, ta có , ta suy ra .
Khi đó, đặt , ta được đồ thị của hàm số y = cos t dưới đây:
Ta thấy rằng:
+ Nếu x biến thiên trên khoảng thì t biến thiên trên khoảng , do đó hàm số đồng biến trên khoảng .
+ Nếu x biến thiên trên khoảng thì t biến thiên trên khoảng , do đó hàm số nghịch biến trên khoảng .
5.3. Dạng 3: Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y = cos x
* Phương pháp giải:
Muốn xét tính chẵn – lẻ của hàm số ta làm như sau:
Bước 1. Ta đi tìm tập xác định D của hàm số, nếu:
+ D là tập đối xứng (nghĩa là ), thì ta tiếp tục thực hiện bước 2.
+ D không phải là tập đối xứng (nghĩa là nhưng ), thì ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Bước 2. Ta xác định f (- x), nếu:
+ f (- x) = f (x) thì ta kết luận hàm số là hàm số chẵn.
+ f (- x) = – f (x) thì ta kết luận hàm số là hàm số lẻ.
+ Xảy ra trường hợp khác hai trường hợp trên thì ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Bài tập vận dụng:
Bài 4. Hãy xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau đây:
a) y = cos 5x;
b) y = 2x + cos 7x.
ĐÁP ÁN
a) Hàm số y = cos 5x có tập xác định là D = .
Vì , nên ta suy ra D là một tập đối xứng.
Ta có f (- x) = cos(- 5x) = cos 5x = f (x).
Do đó, hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) Hàm số y = 2x + cos 7x có tập xác định là D = .
Vì , nên ta suy ra D là một tập đối xứng.
Ta có f (- x) = – 2x + cos(- 7x) = – 2x + cos 7x (khác f (x) và khác – f (x)).
Do đó, hàm số đã cho là hàm số không chẵn cũng không lẻ.
5.4. Dạng 4: Tìm chu kỳ của hàm số y = cos x
* Phương pháp giải:
+ Hàm số là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ .
+ Nếu hàm số y = f (x) tuần hoàn với chu kỳ T thì hàm số y = f (x) + m (với m là hằng số) cũng là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T.
Bài tập vận dụng:
Bài 5. Hãy xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số .
ĐÁP ÁN
Ta có .
Hàm số y = – cos 2x tuần hoàn với chu kỳ , do đó hàm số y = 11 – cos 2x cũng tuần hoàn với chu kỳ .
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kỳ .
5.5. Dạng 5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = cos x
Bài 6. Hãy tìm GTLN và GTNN của mỗi hàm số sau đây:
a) y = 7cos (2x – 1);
b) y = cos2 x + cos x + 5.
ĐÁP ÁN
a) Ta có
Do đó, max y = 7 và min y = – 7.
b) Đặt t = cos x, với t thuộc [- 1 ; 1].
Ta xét hàm số y = t2 + t + 5 trên [- 1 ; 1]. Khi đó, ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra max y = 7 và min y = .
Như vậy, qua bài viết này VOH Giáo Dục đã chia sẻ đến các bạn học sinh về khái niệm, tính chất của hàm số y = cos x. Hy vọng, các em sẽ nắm rõ lý thuyết cũng như làm thành thạo các dạng toán liên quan đến hàm số y = cos x.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
