Tao biết câu hỏi này liên quan nhiều hơn đến vật lý hoặc khoa học tổng quát, nhưng mình thấy các nhà toán học cũng có thể đưa ra một góc nhìn độc đáo.
Thông thường, đơn vị đo góc được coi là không có đơn vị, vì ví dụ trong phương trình s=rθ, nếu r và s có cùng đơn vị, thì θ phải không có đơn vị.
Nhưng hãy so sánh với trường hợp độ dốc hoặc vận tốc. Độ dốc của một đường thẳng thỏa mãn phương trình y=mx có thể được đo bằng khoảng cách thẳng đứng trên khoảng cách nằm ngang. Vì vậy, nó sẽ không có đơn vị nếu ta đo khoảng cách nằm ngang và thẳng đứng bằng cùng một thước đo, nhưng không phải nếu không. Trong vật lý, vận tốc thường được coi là có thứ nguyên, trừ khi bạn sử dụng các đơn vị mà c=1 và thời gian = chiều dài. Khi đó nó không có thứ nguyên.
Đơn vị đo góc cũng có thể như vậy, phải không? Nếu bạn đo khoảng cách phương vị quanh vòng tròn bằng cùng một thước đo uốn cong mà bạn dùng để đo khoảng cách xuyên tâm, thì các góc không có đơn vị (và các góc tính bằng radian), nhưng nếu không thì không.
Nói chung hơn, đơn vị là gì? Tại sao lại được phép chia mét cho giây, nhưng không được cộng chúng lại? Đối tượng toán học nào là như vậy? Nếu không có định nghĩa toán học về thứ nguyên/đơn vị, thì khó mà biết được câu trả lời. Mình đang nghĩ có lẽ một thứ nguyên tương ứng với một biểu diễn của R (bạn không được phép cộng các vectơ từ các biểu diễn khác nhau, nhưng bạn có thể tensor chúng), nhưng mô tả đó về các hàm tuyến tính không cho phép các đơn vị làm những việc như dịch chuyển số không, như Kelvin so với Celsius. Terry Tao có một bài đăng trên blog, Một sự hình thức hóa toán học về phân tích thứ nguyên, trong đó ông mô tả các đại lượng có thứ nguyên là các phần tử của tích tenxơ của các không gian vectơ thực có thứ tự hoàn toàn có chiều 1.
Có một chủ đề trong sub này Đơn vị của năng lượng động học góc? vài hôm trước đã bị xóa vì ít nỗ lực hoặc ngoài chủ đề. Nhưng mình nghĩ có một số thảo luận thú vị trong chủ đề đó, vì vậy bài đăng này có thể ở đây để tiếp tục thảo luận.
