Lý thuyết về vi phân – Toán 11

1. Định nghĩa vi phân

1.1 Định nghĩa:

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại x (a;b)

– Giả sử x là số gia của x sao cho x + x (a;b)

– Ta gọi f'(x).x là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia x và kí hiệu là dy hoặc df(x)

dy = df(x) = f'(x).x

1.2 Chú ý:

– Nếu y = x thì ta sẽ có:

dx = dy = x’.x = 1. x = x

– Vì vậy với mọi hàm số y = f(x), ta có dy = df(x) = f'(x).x = f'(x).dx

2. Ứng dụng của vi phân

– Ứng dụng của vi phân vào phép toán gần đúng:

f(xo + x) f(xo) + f'(xo).x

Nắm trọn kiến thức môn Toán 11 cùng khóa học DUO 11 độc quyền của VUIHOC bạn nhé!

3. Các dạng bài tập vi phân

3.1 Dạng toán tìm vi phân của hàm số y = f(x)

a. Phương pháp

• Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)

• Bước 2: Tính vi phân của hàm số y = f(x) tại x là df(x) = f'(x)dx

• Bước 3: Tính vi phân của hàm số y = f(x) tại xo là df(xo) = f'(xo)dx

b. Vận dụng

Tìm vi phân của các hàm số sau:

1. f(x) = sinx -xcosx

2. y = x3 +2×2

4. Tìm vi phân của hàm số tại x =-3

5. y = x3 – 2×2 + 2. Tinh vi phân của hàm số tại điểm xo = 1 ứng với gia số x bằng 0.02

6. y = f(x) = (x -1)2

7. y = tan2x

Lời giải:

1. f'(x) = cosx – (cosx – xsinx) = xsinx nên df(x) = xsinx

2. Ta có f'(x) = 3×2 + 4x => dy = (3×2 + 4x)dx

4. => y'(-3) = 1/7 => dy = 1/7dx

5. Ta có y’ = 3×2 -4x => df(1) = f'(1).x = (3.12 -4.1). 0,02 = -0.02

6. f'(x) = 2(x – 1)(x – 1)’ = 2(x – 1) => dy = f'(x)dx = 2(x – 1).dx

7. y’ = 2tanx(tanx)’ = 2tan. 1/cos2x => dy = d(tan2x) = y’dx = 2tan. 1/cos2xdx

3.2 Dạng bài tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

a. Phương pháp

• Bước 1: Lập hàm số y = f(x) và chọn xo, x thích hợp

• Bước 2: Tính đạo hàm f'(x), f'(xo) và f(xo)

• Bước 3: Tính giá trị gần đúng của biểu thức: P = f(xo +x) f(xo) + f'(xo).x

Tham khảo ngay bộ sách tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi bài tập toán trong đề thi Toán THPT Quốc Gia

b. Vận dụng

Tính giá trị gần đúng của các hàm số sau:

1. sin46o

Lời giải:

1. Đặt f(x) = . Chọn xo = 4 và x = 0,01. Khi đó 4,01 = 4 + 0,01 = xo + x => f(4) = 2 =>

2. Ta có:

3. Ta có Xét hàm số f(x) = Ta có:

Trên đây là toàn bộ kiến thức về vi phân và các dạng bài tập vận dụng lý thuyết này. Hy vọng qua bài học này, VUIHOC tin rằng các em có thể vận dụng để giải các dạng bài tập liên quan đến vi phân, đạo hàm trong chương trình toán 11. Để học thêm nhiều bài học bổ ích khác, các em hãy truy cập vào trang web vuihoc.vn hàng ngày nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán – Lý – Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>> Mời các bạn tham khảo thêm:

• Quy tắc tính đạo hàm và bài tập vận dụng
• Dãy số
• Phương pháp quy nạp toán học: Lý thuyết và bài tập